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6. 如图,某市计划利用现有的一段“L”字形的古城墙和总长为280米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆DBEF(粗线ABC表示古城墙,已知AB⊥BC,AB=60米,BC=20米,细线表示仿古城墙,展览馆中间GH也是用仿古城墙隔开).
(1)如图①,若点D在线段AB上,所围成的展览馆DBEF的面积为4800平方米,求DF的长.
(2)如图②,若点D在线段BA的延长线上,DF为多少时,展览馆DBEF的面积最大?最大面积为多少平方米?
(1)如图①,若点D在线段AB上,所围成的展览馆DBEF的面积为4800平方米,求DF的长.
(2)如图②,若点D在线段BA的延长线上,DF为多少时,展览馆DBEF的面积最大?最大面积为多少平方米?
答案
(1)设 $DF$ 的长为 $x$ 米,
∵ 点 $D$ 在线段 $AB$ 上,
∴ $EF = 280-2x-(x-20) = (300-3x)$ 米.
∵ $AB = 60$(米),
∴ $EF ≤ 60$ 米,即 $300-3x ≤60$,
∴ $x≥80$,故根据题意得展览馆 $DBEF$ 的面积为 $x(300-3x)=4\ 800$,解得 $x_1=80$, $x_2=20(x≥80,故舍去)$,
∴ $DF$ 长 80 米.
(2)设展览馆 $DBEF$ 的面积为 $S$ 平方米,$DF$ 的长为 $x$ 米,当点 $D$ 在线段 $BA$ 延长线上时,$EF = \frac{280-2x-(x-20)+60}{2} = 180 - \frac{3}{2}x$,由 $EF＞60$,得此时 $x＜80$, 则 $S = x(180 - \frac{3}{2}x )$,可化为 $S = -\frac{3}{2}(x-60)^2 + 5\ 400$,故当 $x = 60$ 时,$S$ 有最大值,即 $S=5\ 400$,
∴ 当 $DF$ 为 60 米时,展览馆 $DBEF$ 的面积最大,最大面积为5 400 平方米.
∵ 点 $D$ 在线段 $AB$ 上,
∴ $EF = 280-2x-(x-20) = (300-3x)$ 米.
∵ $AB = 60$(米),
∴ $EF ≤ 60$ 米,即 $300-3x ≤60$,
∴ $x≥80$,故根据题意得展览馆 $DBEF$ 的面积为 $x(300-3x)=4\ 800$,解得 $x_1=80$, $x_2=20(x≥80,故舍去)$,
∴ $DF$ 长 80 米.
(2)设展览馆 $DBEF$ 的面积为 $S$ 平方米,$DF$ 的长为 $x$ 米,当点 $D$ 在线段 $BA$ 延长线上时,$EF = \frac{280-2x-(x-20)+60}{2} = 180 - \frac{3}{2}x$,由 $EF＞60$,得此时 $x＜80$, 则 $S = x(180 - \frac{3}{2}x )$,可化为 $S = -\frac{3}{2}(x-60)^2 + 5\ 400$,故当 $x = 60$ 时,$S$ 有最大值,即 $S=5\ 400$,
∴ 当 $DF$ 为 60 米时,展览馆 $DBEF$ 的面积最大,最大面积为5 400 平方米.
解析
【分析】
(1) 第一问先设DF的长为x米，首先明确仿古城墙的组成：水平方向需修建DF、GH、CE三段，竖直方向仅需修建EF段（左侧DB段利用现有古城墙AB）。结合BC长20米，可将CE长度表示为x-20米，再根据仿古城墙总长280米，推导出竖直边EF的长度表达式；再根据点D在线段AB上，可知EF的长度不超过AB的长60米，得到x的取值范围；最后根据矩形面积公式列一元二次方程求解，舍去不符合取值范围的解即可。
(2) 第二问当点D在BA延长线上时，左侧竖直边DB有超出AB的部分需要修建，同样设DF长为x米，先根据仿古城墙总长推导出竖直边EF的表达式，结合EF＞60得到x的取值范围；再将面积S表示为关于x的二次函数，利用二次函数的性质求出最大值即可。
【解析】
(1) 设 $DF$ 的长为 $x$ 米，
∵ 点 $D$ 在线段 $AB$ 上，左侧 $DB$ 段利用古城墙，水平方向需修建 $DF$、$GH$、$CE$ 三段，其中 $CE = DF - BC = x - 20$，
∴ 竖直边 $EF$ 的长度为 $280 - DF - GH - CE = 280 - x - x - (x - 20) = (300 - 3x)$ 米，
∵ $AB = 60$ 米，$EF = DB ≤ AB$，
∴ $300 - 3x ≤ 60$，解得 $x ≥ 80$，
根据矩形面积公式，展览馆面积为 $DF × EF = x(300 - 3x) = 4800$，
整理得 $x^2 - 100x + 1600 = 0$，解得 $x_1 = 80$，$x_2 = 20$，
∵ $x ≥ 80$，故 $x_2 = 20$ 舍去，
∴ $DF$ 长为80米。
(2) 设展览馆 $DBEF$ 的面积为 $S$ 平方米，$DF$ 的长为 $x$ 米，
当点 $D$ 在线段 $BA$ 延长线上时，左侧竖直边需修建超出 $AB$ 的部分，长度为 $EF - AB = EF - 60$，右侧需修建完整的 $EF$ 段，水平段仿古城墙总长仍为 $x + x + (x - 20) = 3x - 20$，
∴ $3x - 20 + (EF - 60) + EF = 280$，
整理得 $EF = 180 - \frac{3}{2}x$，
由 $EF ＞ 60$，得 $180 - \frac{3}{2}x ＞ 60$，解得 $x ＜ 80$，
矩形面积 $S = x · EF = x(180 - \frac{3}{2}x) = -\frac{3}{2}x^2 + 180x$，
将函数化为顶点式：$S = -\frac{3}{2}(x - 60)^2 + 5400$，
∵ $-\frac{3}{2} ＜ 0$，抛物线开口向下，且 $x = 60 ＜ 80$，符合取值范围，
∴ 当 $x = 60$ 时，$S$ 取得最大值，最大值为5400平方米，
即当 $DF$ 为60米时，展览馆面积最大，最大面积为5400平方米。
【答案】
(1) $\boxed{80}$米；
(2) $DF$为$\boxed{60}$米时，最大面积为$\boxed{5400}$平方米。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；矩形面积计算
【点评】
本题结合实际建造场景考查代数与几何的综合应用，解题的核心是准确梳理仿古城墙的构成，正确用含自变量的式子表示各边长度，同时要注意结合实际情况确定自变量的取值范围，避免增解或忽略范围求最值的错误。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问先设DF的长为x米，首先明确仿古城墙的组成：水平方向需修建DF、GH、CE三段，竖直方向仅需修建EF段（左侧DB段利用现有古城墙AB）。结合BC长20米，可将CE长度表示为x-20米，再根据仿古城墙总长280米，推导出竖直边EF的长度表达式；再根据点D在线段AB上，可知EF的长度不超过AB的长60米，得到x的取值范围；最后根据矩形面积公式列一元二次方程求解，舍去不符合取值范围的解即可。
(2) 第二问当点D在BA延长线上时，左侧竖直边DB有超出AB的部分需要修建，同样设DF长为x米，先根据仿古城墙总长推导出竖直边EF的表达式，结合EF＞60得到x的取值范围；再将面积S表示为关于x的二次函数，利用二次函数的性质求出最大值即可。
【解析】
(1) 设 $DF$ 的长为 $x$ 米，
∵ 点 $D$ 在线段 $AB$ 上，左侧 $DB$ 段利用古城墙，水平方向需修建 $DF$、$GH$、$CE$ 三段，其中 $CE = DF - BC = x - 20$，
∴ 竖直边 $EF$ 的长度为 $280 - DF - GH - CE = 280 - x - x - (x - 20) = (300 - 3x)$ 米，
∵ $AB = 60$ 米，$EF = DB ≤ AB$，
∴ $300 - 3x ≤ 60$，解得 $x ≥ 80$，
根据矩形面积公式，展览馆面积为 $DF × EF = x(300 - 3x) = 4800$，
整理得 $x^2 - 100x + 1600 = 0$，解得 $x_1 = 80$，$x_2 = 20$，
∵ $x ≥ 80$，故 $x_2 = 20$ 舍去，
∴ $DF$ 长为80米。
(2) 设展览馆 $DBEF$ 的面积为 $S$ 平方米，$DF$ 的长为 $x$ 米，
当点 $D$ 在线段 $BA$ 延长线上时，左侧竖直边需修建超出 $AB$ 的部分，长度为 $EF - AB = EF - 60$，右侧需修建完整的 $EF$ 段，水平段仿古城墙总长仍为 $x + x + (x - 20) = 3x - 20$，
∴ $3x - 20 + (EF - 60) + EF = 280$，
整理得 $EF = 180 - \frac{3}{2}x$，
由 $EF ＞ 60$，得 $180 - \frac{3}{2}x ＞ 60$，解得 $x ＜ 80$，
矩形面积 $S = x · EF = x(180 - \frac{3}{2}x) = -\frac{3}{2}x^2 + 180x$，
将函数化为顶点式：$S = -\frac{3}{2}(x - 60)^2 + 5400$，
∵ $-\frac{3}{2} ＜ 0$，抛物线开口向下，且 $x = 60 ＜ 80$，符合取值范围，
∴ 当 $x = 60$ 时，$S$ 取得最大值，最大值为5400平方米，
即当 $DF$ 为60米时，展览馆面积最大，最大面积为5400平方米。
【答案】
(1) $\boxed{80}$米；
(2) $DF$为$\boxed{60}$米时，最大面积为$\boxed{5400}$平方米。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；矩形面积计算
【点评】
本题结合实际建造场景考查代数与几何的综合应用，解题的核心是准确梳理仿古城墙的构成，正确用含自变量的式子表示各边长度，同时要注意结合实际情况确定自变量的取值范围，避免增解或忽略范围求最值的错误。
【难度系数】
0.6
7. ★★ (2025·福州期中)根据以下的素材,制定方案,设计出面积最大的花圃:
素材1:有一堵长m米$(0＜m＜20)$的围墙,利用这堵墙和长为60米的篱笆围成矩形花圃,设花圃面积为$y$,甲、乙、丙三人讨论如何设计一个面积最大的花圃.
素材2:甲的设计方案,利用墙面作为矩形花圃的一边(如图①),求解过程如下:
设平行于墙面的篱笆长为$n$米,则垂直于墙面的篱笆长为$\frac{60-n}{2}$米,依题意得 $y=\frac{n(60-n)}{2}=-\frac{1}{2}n^2+30n(0＜n≤m＜20)$.
∵函数开口向下,对称轴为直线$n=30$,
∴当$0＜n≤m$时,$y$随$n$的增大而增大,
∴$n=m$时,$y$的最大值为$-\frac{1}{2}m^2+30m$.
素材3:受甲的方案的启发,乙、丙各自有了新的设计方案.乙的方案:利用全部围墙作为矩形一边的一部分(如图②);丙的方案:利用部分围墙作为矩形一边的一部分(如图③).
设墙左端篱笆$AM$长为$x$米,解决下列问题:
任务1:当$m=12$时,对于乙的方案,则可知$BC=AD=$
任务2:对于丙的方案,设所用墙的长度$MD$为$a$米$(a＜m)$,求该方案对应的花圃面积的最大值.
任务3:比较甲、乙、丙三种方案,判断哪种方案设计出的花圃面积更大?并说明理由.
素材1:有一堵长m米$(0＜m＜20)$的围墙,利用这堵墙和长为60米的篱笆围成矩形花圃,设花圃面积为$y$,甲、乙、丙三人讨论如何设计一个面积最大的花圃.
素材2:甲的设计方案,利用墙面作为矩形花圃的一边(如图①),求解过程如下:
设平行于墙面的篱笆长为$n$米,则垂直于墙面的篱笆长为$\frac{60-n}{2}$米,依题意得 $y=\frac{n(60-n)}{2}=-\frac{1}{2}n^2+30n(0＜n≤m＜20)$.
∵函数开口向下,对称轴为直线$n=30$,
∴当$0＜n≤m$时,$y$随$n$的增大而增大,
∴$n=m$时,$y$的最大值为$-\frac{1}{2}m^2+30m$.
素材3:受甲的方案的启发,乙、丙各自有了新的设计方案.乙的方案:利用全部围墙作为矩形一边的一部分(如图②);丙的方案:利用部分围墙作为矩形一边的一部分(如图③).
设墙左端篱笆$AM$长为$x$米,解决下列问题:
任务1:当$m=12$时,对于乙的方案,则可知$BC=AD=$
12+x
米(用含$x$的代数式表示),花圃面积$y=$-(x-6)²+324
平方米(用含$x$的代数式表示),求该方案对应的花圃面积的最大值.任务2:对于丙的方案,设所用墙的长度$MD$为$a$米$(a＜m)$,求该方案对应的花圃面积的最大值.
任务3:比较甲、乙、丙三种方案,判断哪种方案设计出的花圃面积更大?并说明理由.
答案
任务1:
∵ $AM = x$ 米,$MD = m = 12$ 米,
∴ $BC = AD = AM + MD = (12+x)$ 米.又
∵ 篱笆总长为 60 米,$AB = CD$,
∴ $AB = CD = [60-x-(12+x)]×\frac{1}{2} = (24-x)$ 米.
∵ 乙的方案:利用全部围墙作为矩形一边的一部分,
∴ $12 ≤ 12+x ＜ \frac{60+12}{2}$ ,$0＜24-x ≤ \frac{60-12}{2}$ ,
∴ $0 ≤ x ＜24$,
∴ 花圃面积 $y = AB · BC = (24-x)(12+x) = -x^2+12x+288$,即 $y = -(x-6)^2+324$.
∵ 函数图象开口向下,对称轴为直线 $x = 6$,
∴ $x = 6$ 时,$y_{最大值} = -(6-6)^2 + 324 = 324$.
故答案为 $12+x$;$-(x-6)^2+324$;该方案对应的花圃面积的最大值为 324 平方米.
任务2:
∵ $AM = x$ 米,$MD = a$ 米,
∴ $BC = AD = AM + MD = (a+x)$ 米.又
∵ 篱笆总长为 60 米,$AB = CD$,
∴ $AB = CD = [60-x-(a+x)]×\frac{1}{2} = (30- \frac{a}{2} -x )$米.
∵ 丙的方案:利用部分围墙作为矩形一边的一部分,
∴ $a ≤ a+x ＜ \frac{60+a}{2}$ ,$0＜30- \frac{a}{2} -x ≤ \frac{60-a}{2}$ ,
∴ $0 ≤ x ＜ \frac{60-a}{2}$ ,
∴ 花圃面积 $y = AB · BC = (a+x)(30- \frac{a}{2} -x ) = -x^2 + (30- \frac{3a}{2} )x + 30a - \frac{a^2}{2}$ ,即 $y = -(x + \frac{3a}{4} -15 )^2 + ( \frac{a}{4} +15 )^2$ .
∵ 函数图象开口向下,对称轴为直线 $x=15- \frac{3a}{4}$ ,
∴ 当 $x=15- \frac{3a}{4}$ 时,花圃面积 $y$ 取最大值 $( \frac{a}{4} +15 )^2$ 平方米.
任务3:
∵ 甲方案:$y$ 的最大值为 $-\frac{1}{2}m^2 +30m$;乙方案:结合任务2可知,最大值为 $( \frac{m}{4} +15 )^2$ ;丙方案:最大值为 $( \frac{a}{4} +15 )^2$ ,
∵ $m＞a$ ,
∴ $y_{乙max} ＞ y_{丙max}$ .又
∵ $0＜a＜m＜20$,
∴ 当 $a=m=20$ 时,$y_甲$ 的最大值为 $-\frac{1}{2} ×20^2 +30×20=400$(平方米),$y_丙$ 的最大值为 $( \frac{20}{4} +15 )^2 = 400$(平方米);当 $a=m=0$ 时,$y_甲$ 的最大值为 $-\frac{1}{2} ×0^2 +30×0=0$(平方米),$y_丙$ 的最大值为 $( \frac{0}{4} +15 )^2 = 225$(平方米).设 $y_甲$ 的最大值函数为 $y_甲 = -\frac{1}{2}x^2 +30x$,$y_丙$ 的最大值函数为 $y_丙 = ( \frac{x}{4} +15 )^2$ ,令 $y_甲 = y_丙$ ,则 $-\frac{1}{2}x^2 +30x = ( \frac{x}{4} +15 )^2$ ,即 $x^2 -40x +400=0$,
∴ $\Delta=40^2-4×1×400=0$,
∴ $y_甲$ 与 $y_丙$ 仅有$(20,400)$一个交点.
∵ 当$a=m=0$时,$y_丙=225＞y_甲=0$,
∴ 在$0＜a＜m＜20$取值范围内,$y_丙$ 的最大值函数图象在 $y_甲$ 的最大值函数图象的上方,
∴ 丙方案设计出的花圃面积比甲方案大.
综上可知,乙方案设计出的花圃面积最大.
∵ $AM = x$ 米,$MD = m = 12$ 米,
∴ $BC = AD = AM + MD = (12+x)$ 米.又
∵ 篱笆总长为 60 米,$AB = CD$,
∴ $AB = CD = [60-x-(12+x)]×\frac{1}{2} = (24-x)$ 米.
∵ 乙的方案:利用全部围墙作为矩形一边的一部分,
∴ $12 ≤ 12+x ＜ \frac{60+12}{2}$ ,$0＜24-x ≤ \frac{60-12}{2}$ ,
∴ $0 ≤ x ＜24$,
∴ 花圃面积 $y = AB · BC = (24-x)(12+x) = -x^2+12x+288$,即 $y = -(x-6)^2+324$.
∵ 函数图象开口向下,对称轴为直线 $x = 6$,
∴ $x = 6$ 时,$y_{最大值} = -(6-6)^2 + 324 = 324$.
故答案为 $12+x$;$-(x-6)^2+324$;该方案对应的花圃面积的最大值为 324 平方米.
任务2:
∵ $AM = x$ 米,$MD = a$ 米,
∴ $BC = AD = AM + MD = (a+x)$ 米.又
∵ 篱笆总长为 60 米,$AB = CD$,
∴ $AB = CD = [60-x-(a+x)]×\frac{1}{2} = (30- \frac{a}{2} -x )$米.
∵ 丙的方案:利用部分围墙作为矩形一边的一部分,
∴ $a ≤ a+x ＜ \frac{60+a}{2}$ ,$0＜30- \frac{a}{2} -x ≤ \frac{60-a}{2}$ ,
∴ $0 ≤ x ＜ \frac{60-a}{2}$ ,
∴ 花圃面积 $y = AB · BC = (a+x)(30- \frac{a}{2} -x ) = -x^2 + (30- \frac{3a}{2} )x + 30a - \frac{a^2}{2}$ ,即 $y = -(x + \frac{3a}{4} -15 )^2 + ( \frac{a}{4} +15 )^2$ .
∵ 函数图象开口向下,对称轴为直线 $x=15- \frac{3a}{4}$ ,
∴ 当 $x=15- \frac{3a}{4}$ 时,花圃面积 $y$ 取最大值 $( \frac{a}{4} +15 )^2$ 平方米.
任务3:
∵ 甲方案:$y$ 的最大值为 $-\frac{1}{2}m^2 +30m$;乙方案:结合任务2可知,最大值为 $( \frac{m}{4} +15 )^2$ ;丙方案:最大值为 $( \frac{a}{4} +15 )^2$ ,
∵ $m＞a$ ,
∴ $y_{乙max} ＞ y_{丙max}$ .又
∵ $0＜a＜m＜20$,
∴ 当 $a=m=20$ 时,$y_甲$ 的最大值为 $-\frac{1}{2} ×20^2 +30×20=400$(平方米),$y_丙$ 的最大值为 $( \frac{20}{4} +15 )^2 = 400$(平方米);当 $a=m=0$ 时,$y_甲$ 的最大值为 $-\frac{1}{2} ×0^2 +30×0=0$(平方米),$y_丙$ 的最大值为 $( \frac{0}{4} +15 )^2 = 225$(平方米).设 $y_甲$ 的最大值函数为 $y_甲 = -\frac{1}{2}x^2 +30x$,$y_丙$ 的最大值函数为 $y_丙 = ( \frac{x}{4} +15 )^2$ ,令 $y_甲 = y_丙$ ,则 $-\frac{1}{2}x^2 +30x = ( \frac{x}{4} +15 )^2$ ,即 $x^2 -40x +400=0$,
∴ $\Delta=40^2-4×1×400=0$,
∴ $y_甲$ 与 $y_丙$ 仅有$(20,400)$一个交点.
∵ 当$a=m=0$时,$y_丙=225＞y_甲=0$,
∴ 在$0＜a＜m＜20$取值范围内,$y_丙$ 的最大值函数图象在 $y_甲$ 的最大值函数图象的上方,
∴ 丙方案设计出的花圃面积比甲方案大.
综上可知,乙方案设计出的花圃面积最大.
解析
【分析】
解题时按三个任务逐步推导：1. 任务1针对乙的方案，先结合AM长度和围墙长12米表示平行于墙的边长，再根据篱笆总长表示垂直于墙的边长，列出面积的二次函数表达式，结合二次函数开口方向、对称轴和自变量取值范围求最值；2. 任务2类比任务1的思路，将围墙长度替换为a，重复“表示边长→列面积函数→配方求最值”的步骤即可；3. 任务3先整理三个方案的最大面积表达式，通过求函数交点、特值验证的方法比较三个最大值的大小，最终判断最优方案。
【解析】
任务1
已知$AM=x$米，围墙长$m=12$米，因此平行于墙的边长$BC=AD=AM+MD=(12+x)$米。
篱笆总长为60米，且$AB=CD$，因此垂直于墙的边长$AB=CD=\frac{1}{2}[60-x-(12+x)]=(24-x)$米，自变量取值范围为$0≤ x＜24$。
花圃面积$y=AB· BC=(24-x)(12+x)$，整理配方得：
$y=-x^2+12x+288=-(x-6)^2+324$
该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=6$，在$0≤ x＜24$范围内，当$x=6$时，$y$取最大值：$y_{\mathrm{max}}=-(6-6)^2+324=324$平方米。
任务2
已知$AM=x$米，所用围墙长度$MD=a$米，因此平行于墙的边长$BC=AD=AM+MD=(a+x)$米。
篱笆总长为60米，且$AB=CD$，因此垂直于墙的边长$AB=CD=\frac{1}{2}[60-x-(a+x)]=(30-\frac{a}{2}-x)$米，自变量取值范围为$0≤ x＜\frac{60-a}{2}$。
花圃面积$y=AB· BC=(a+x)(30-\frac{a}{2}-x)$，整理配方得：
$y=-(x+\frac{3a}{4}-15)^2+(\frac{a}{4}+15)^2$
该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=15-\frac{3a}{4}$，在自变量取值范围内，当$x=15-\frac{3a}{4}$时，$y$取最大值为$(\frac{a}{4}+15)^2$平方米。
任务3
整理三个方案的最大面积：
甲方案最大面积：$y_{甲\mathrm{max}}=-\frac{1}{2}m^2+30m$
乙方案最大面积（对应$a=m$）：$y_{乙\mathrm{max}}=(\frac{m}{4}+15)^2$
丙方案最大面积：$y_{丙\mathrm{max}}=(\frac{a}{4}+15)^2$（$a＜m$）
① 比较乙、丙：因为$m＞a$，所以$\frac{m}{4}+15＞\frac{a}{4}+15$，因此$y_{乙\mathrm{max}}＞y_{丙\mathrm{max}}$。
② 比较甲、乙：令$-\frac{1}{2}x^2+30x=(\frac{x}{4}+15)^2$，整理得$x^2-40x+400=0$，判别式$\Delta=40^2-4×1×400=0$，即两函数仅在$x=20$处有交点，此时$y_甲=y_乙=400$。
已知$0＜m＜20$，取$m=0$时$y_{甲\mathrm{max}}=0$、$y_{乙\mathrm{max}}=225$，可得在$0＜m＜20$范围内$y_{乙\mathrm{max}}＞y_{甲\mathrm{max}}$。
综上可知乙方案的花圃面积最大。
【答案】
任务1：$12+x$；$-x^2+12x+288$（或$-(x-6)^2+324$）；最大值为324平方米
任务2：花圃面积最大值为$(\frac{a}{4}+15)^2$平方米
任务3：乙方案设计出的花圃面积更大，理由见解析
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；列代数式
【点评】
本题以实际围建花圃的场景为载体，考查二次函数在几何最值问题中的应用，需要结合不同设计方案梳理边长的数量关系，同时要注意自变量取值范围对二次函数最值的影响，比较方案优劣时可通过函数交点或特值法判断大小，对逻辑分析能力和实际应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
解题时按三个任务逐步推导：1. 任务1针对乙的方案，先结合AM长度和围墙长12米表示平行于墙的边长，再根据篱笆总长表示垂直于墙的边长，列出面积的二次函数表达式，结合二次函数开口方向、对称轴和自变量取值范围求最值；2. 任务2类比任务1的思路，将围墙长度替换为a，重复“表示边长→列面积函数→配方求最值”的步骤即可；3. 任务3先整理三个方案的最大面积表达式，通过求函数交点、特值验证的方法比较三个最大值的大小，最终判断最优方案。
【解析】
任务1
已知$AM=x$米，围墙长$m=12$米，因此平行于墙的边长$BC=AD=AM+MD=(12+x)$米。
篱笆总长为60米，且$AB=CD$，因此垂直于墙的边长$AB=CD=\frac{1}{2}[60-x-(12+x)]=(24-x)$米，自变量取值范围为$0≤ x＜24$。
花圃面积$y=AB· BC=(24-x)(12+x)$，整理配方得：
$y=-x^2+12x+288=-(x-6)^2+324$
该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=6$，在$0≤ x＜24$范围内，当$x=6$时，$y$取最大值：$y_{\mathrm{max}}=-(6-6)^2+324=324$平方米。
任务2
已知$AM=x$米，所用围墙长度$MD=a$米，因此平行于墙的边长$BC=AD=AM+MD=(a+x)$米。
篱笆总长为60米，且$AB=CD$，因此垂直于墙的边长$AB=CD=\frac{1}{2}[60-x-(a+x)]=(30-\frac{a}{2}-x)$米，自变量取值范围为$0≤ x＜\frac{60-a}{2}$。
花圃面积$y=AB· BC=(a+x)(30-\frac{a}{2}-x)$，整理配方得：
$y=-(x+\frac{3a}{4}-15)^2+(\frac{a}{4}+15)^2$
该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=15-\frac{3a}{4}$，在自变量取值范围内，当$x=15-\frac{3a}{4}$时，$y$取最大值为$(\frac{a}{4}+15)^2$平方米。
任务3
整理三个方案的最大面积：
甲方案最大面积：$y_{甲\mathrm{max}}=-\frac{1}{2}m^2+30m$
乙方案最大面积（对应$a=m$）：$y_{乙\mathrm{max}}=(\frac{m}{4}+15)^2$
丙方案最大面积：$y_{丙\mathrm{max}}=(\frac{a}{4}+15)^2$（$a＜m$）
① 比较乙、丙：因为$m＞a$，所以$\frac{m}{4}+15＞\frac{a}{4}+15$，因此$y_{乙\mathrm{max}}＞y_{丙\mathrm{max}}$。
② 比较甲、乙：令$-\frac{1}{2}x^2+30x=(\frac{x}{4}+15)^2$，整理得$x^2-40x+400=0$，判别式$\Delta=40^2-4×1×400=0$，即两函数仅在$x=20$处有交点，此时$y_甲=y_乙=400$。
已知$0＜m＜20$，取$m=0$时$y_{甲\mathrm{max}}=0$、$y_{乙\mathrm{max}}=225$，可得在$0＜m＜20$范围内$y_{乙\mathrm{max}}＞y_{甲\mathrm{max}}$。
综上可知乙方案的花圃面积最大。
【答案】
任务1：$12+x$；$-x^2+12x+288$（或$-(x-6)^2+324$）；最大值为324平方米
任务2：花圃面积最大值为$(\frac{a}{4}+15)^2$平方米
任务3：乙方案设计出的花圃面积更大，理由见解析
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；列代数式
【点评】
本题以实际围建花圃的场景为载体，考查二次函数在几何最值问题中的应用，需要结合不同设计方案梳理边长的数量关系，同时要注意自变量取值范围对二次函数最值的影响，比较方案优劣时可通过函数交点或特值法判断大小，对逻辑分析能力和实际应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
