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1. 如图,某大桥的拱桥可以用抛物线的一部分表示,函数表达式为$y=-\dfrac{1}{25}x^2$,当水面宽度AB为20 m时,水面到拱桥顶的高度CO等于（
A.2 m
B.4 m
C.10 m
D.16 m
B
）A.2 m
B.4 m
C.10 m
D.16 m
答案
解析:根据题意知B的横坐标为10,将x=10代入$y=-\frac{1}{25}x^2$,得$y=-4$,$\therefore A(-10,-4),B(10,-4)$,即水面与拱桥顶的高度CO等于4 m,故选B.
解析
【分析】
本题考查二次函数在拱桥问题中的应用，解题思路如下：首先，抛物线$y=-\dfrac{1}{25}x^2$的对称轴为y轴，水面宽度AB为20m，根据对称性可得A、B两点的横坐标分别为-10、10；接下来将横坐标代入函数解析式，求出对应y值，该y值的绝对值就是水面到拱桥顶的高度。
【解析】
$\because$ 抛物线$y=-\dfrac{1}{25}x^2$的对称轴为y轴，水面宽度$AB=20\ \mathrm{m}$
$\therefore$ 点B的横坐标为$20÷2=10$
将$x=10$代入$y=-\dfrac{1}{25}x^2$得：
$y=-\dfrac{1}{25}×10^2=-\dfrac{1}{25}×100=-4$
即水面所在位置的纵坐标为-4，拱桥顶O的坐标为$(0,0)$
$\therefore$ 水面到拱桥顶的高度$CO=|0 - (-4)|=4\ \mathrm{m}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
抛物线对称性，函数值求解，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数的实际应用基础题，解题的核心是利用抛物线的对称性快速确定对应点的横坐标，再代入解析式计算即可，掌握二次函数的基本性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数在拱桥问题中的应用，解题思路如下：首先，抛物线$y=-\dfrac{1}{25}x^2$的对称轴为y轴，水面宽度AB为20m，根据对称性可得A、B两点的横坐标分别为-10、10；接下来将横坐标代入函数解析式，求出对应y值，该y值的绝对值就是水面到拱桥顶的高度。
【解析】
$\because$ 抛物线$y=-\dfrac{1}{25}x^2$的对称轴为y轴，水面宽度$AB=20\ \mathrm{m}$
$\therefore$ 点B的横坐标为$20÷2=10$
将$x=10$代入$y=-\dfrac{1}{25}x^2$得：
$y=-\dfrac{1}{25}×10^2=-\dfrac{1}{25}×100=-4$
即水面所在位置的纵坐标为-4，拱桥顶O的坐标为$(0,0)$
$\therefore$ 水面到拱桥顶的高度$CO=|0 - (-4)|=4\ \mathrm{m}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
抛物线对称性，函数值求解，二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数的实际应用基础题，解题的核心是利用抛物线的对称性快速确定对应点的横坐标，再代入解析式计算即可，掌握二次函数的基本性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.8
2. ★★ 某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB=48 m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12 m，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯(点E，F关于y轴对称)，警示灯F距水面AB的高度是9 m，则这两盏灯的水平距离EF是 (
A.24 m
B.20 m
C.18 m
D.16 m
A
)A.24 m
B.20 m
C.18 m
D.16 m
答案
解析:设该抛物线的表达式为$y=ax^2+12$,由题意可得,点A的坐标为$(-24,0)$,将$A(-24,0)$代入$y=ax^2+12$,得$a×(-24)^2+12=0$,解得$a=-\frac{1}{48}$,$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{48}x^2+12$.当$y=9$时,$-\frac{1}{48}x^2+12=9$,解得$x_1=12,x_2=-12$,$\therefore E(-12,9),F(12,9)$,$\therefore$ 这两盏灯的水平距离EF是$12-(-12)=24(\mathrm{m})$,故选A.
解析
【分析】
这是二次函数在实际问题中的应用，首先结合给出的平面直角坐标系可知，抛物线的顶点C在y轴上，坐标为(0,12)，因此可设抛物线的顶点式$y=ax^2+12$简化计算。接下来利用已知的点A坐标代入解析式求出参数$a$，得到完整的抛物线表达式。再根据警示灯距水面高度为9m，即$y=9$，代入解析式求出对应的$x$值，由于E、F关于y轴对称，两个$x$值的差就是EF的水平距离。
【解析】
解：设该抛物线的表达式为$y=ax^2+12$，
由题意知水面AB长48m，故点A的坐标为$(-24,0)$，
将$A(-24,0)$代入$y=ax^2+12$，得：
$a×(-24)^2 + 12 = 0$
解得$a=-\frac{1}{48}$，
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{48}x^2 + 12$。
已知警示灯距水面AB的高度是9m，即$y=9$，代入解析式得：
$-\frac{1}{48}x^2 + 12 = 9$
解得$x_1=12$，$x_2=-12$，
即点E坐标为$(-12,9)$，点F坐标为$(12,9)$，
则两盏灯的水平距离$EF = 12 - (-12) = 24(\mathrm{m})$。
【答案】A
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是抛物线模型的典型实际应用题，解题的核心是结合坐标系特点选择简便的解析式形式，再代入对应条件计算即可，侧重对二次函数基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
这是二次函数在实际问题中的应用，首先结合给出的平面直角坐标系可知，抛物线的顶点C在y轴上，坐标为(0,12)，因此可设抛物线的顶点式$y=ax^2+12$简化计算。接下来利用已知的点A坐标代入解析式求出参数$a$，得到完整的抛物线表达式。再根据警示灯距水面高度为9m，即$y=9$，代入解析式求出对应的$x$值，由于E、F关于y轴对称，两个$x$值的差就是EF的水平距离。
【解析】
解：设该抛物线的表达式为$y=ax^2+12$，
由题意知水面AB长48m，故点A的坐标为$(-24,0)$，
将$A(-24,0)$代入$y=ax^2+12$，得：
$a×(-24)^2 + 12 = 0$
解得$a=-\frac{1}{48}$，
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{48}x^2 + 12$。
已知警示灯距水面AB的高度是9m，即$y=9$，代入解析式得：
$-\frac{1}{48}x^2 + 12 = 9$
解得$x_1=12$，$x_2=-12$，
即点E坐标为$(-12,9)$，点F坐标为$(12,9)$，
则两盏灯的水平距离$EF = 12 - (-12) = 24(\mathrm{m})$。
【答案】A
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数求值
【点评】
本题是抛物线模型的典型实际应用题，解题的核心是结合坐标系特点选择简便的解析式形式，再代入对应条件计算即可，侧重对二次函数基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
3. |教材P39练习T2变式 如图,某校的围墙上部由一段段相同的拱形栅栏组成,其拱状图形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB之间按相同间隔(0.2米)用5根立柱加固,拱高OC为0.36米,求立柱EF的长.
答案
如图,以点C为坐标原点,建立平面直角坐标系.设抛物线表达式为$y=ax^2$,由题知,图象过点$B(0.6,0.36)$,代入$y=ax^2$,得$0.36=0.36a$,$\therefore a=1$,即$y=x^2$.$\because$ 点F的横坐标为-0.4,$\therefore$ 当$x=-0.4$时,$y=0.16$,$\therefore EF=0.36-0.16=0.2(\mathrm{m})$.
解析
【分析】
本题是利用二次函数解决实际拱形问题，解题思路如下：①首先建立合适的平面直角坐标系简化计算，选择拱的最低点C为坐标原点，水平方向为x轴，竖直向上为y轴，此时抛物线顶点在原点、对称轴为y轴，解析式可设为最简形式$y=ax^2$；②结合已知条件确定抛物线上已知点的坐标：AB间共5根立柱，间隔为0.2米，因此AB被分为6个0.2米的间隔，可得点B的横坐标为$3×0.2=0.6$，纵坐标为拱高0.36，即$B(0.6,0.36)$，代入解析式求出$a$的值，确定抛物线的完整解析式；③找到F点的横坐标：EF距离A点1个间隔，距离原点水平距离为$2×0.2=0.4$，在y轴左侧故横坐标为-0.4，代入解析式求出F点的纵坐标，即F到x轴的高度；④AB所在直线的高度为0.36米，用0.36减去F点的纵坐标即可得到EF的长度。
【解析】
以点C为坐标原点，水平方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系。
由于抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，因此设抛物线表达式为$y=ax^2$。
由题意可知，AB被5根立柱分为6个0.2米的间隔，因此OB的长度为$3×0.2=0.6$米，结合拱高$OC=0.36$米，可得图象过点$B(0.6,0.36)$。
将$B(0.6,0.36)$代入$y=ax^2$，得$0.36=a×(0.6)^2$，即$0.36=0.36a$，解得$a=1$，因此抛物线的表达式为$y=x^2$。
点F对应的横坐标为$-(2×0.2)=-0.4$，将$x=-0.4$代入$y=x^2$，得$y=(-0.4)^2=0.16$，即F点到x轴的高度为0.16米。
由于E点在AB上，AB到x轴的高度为0.36米，因此$EF=0.36-0.16=0.2(\mathrm{m})$。
【答案】
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，核心是通过建立合适的平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题，再利用二次函数的性质求解对应线段长度，能够锻炼学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是利用二次函数解决实际拱形问题，解题思路如下：①首先建立合适的平面直角坐标系简化计算，选择拱的最低点C为坐标原点，水平方向为x轴，竖直向上为y轴，此时抛物线顶点在原点、对称轴为y轴，解析式可设为最简形式$y=ax^2$；②结合已知条件确定抛物线上已知点的坐标：AB间共5根立柱，间隔为0.2米，因此AB被分为6个0.2米的间隔，可得点B的横坐标为$3×0.2=0.6$，纵坐标为拱高0.36，即$B(0.6,0.36)$，代入解析式求出$a$的值，确定抛物线的完整解析式；③找到F点的横坐标：EF距离A点1个间隔，距离原点水平距离为$2×0.2=0.4$，在y轴左侧故横坐标为-0.4，代入解析式求出F点的纵坐标，即F到x轴的高度；④AB所在直线的高度为0.36米，用0.36减去F点的纵坐标即可得到EF的长度。
【解析】
以点C为坐标原点，水平方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系。
由于抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，因此设抛物线表达式为$y=ax^2$。
由题意可知，AB被5根立柱分为6个0.2米的间隔，因此OB的长度为$3×0.2=0.6$米，结合拱高$OC=0.36$米，可得图象过点$B(0.6,0.36)$。
将$B(0.6,0.36)$代入$y=ax^2$，得$0.36=a×(0.6)^2$，即$0.36=0.36a$，解得$a=1$，因此抛物线的表达式为$y=x^2$。
点F对应的横坐标为$-(2×0.2)=-0.4$，将$x=-0.4$代入$y=x^2$，得$y=(-0.4)^2=0.16$，即F点到x轴的高度为0.16米。
由于E点在AB上，AB到x轴的高度为0.36米，因此$EF=0.36-0.16=0.2(\mathrm{m})$。
【答案】
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，核心是通过建立合适的平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题，再利用二次函数的性质求解对应线段长度，能够锻炼学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
4. |教材P38练习T1变式 有一辆宽为2 m的货车(如图①),要通过一条抛物线形隧道(如图②).为确保车辆安全通行,规定货车车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至少为0.5 m.已知隧道的跨度AB为8 m,拱高为4 m.
(1)若隧道为单车道,货车高为3.2 m,该货车能否安全通行?为什么?
(2)若隧道为双车道,且两车道之间有0.4 m的隔离带,通过计算说明该货车能够通行的最大安全限高.
(1)若隧道为单车道,货车高为3.2 m,该货车能否安全通行?为什么?
(2)若隧道为双车道,且两车道之间有0.4 m的隔离带,通过计算说明该货车能够通行的最大安全限高.
答案
(1)该货车能安全通行.理由:如图,建立平面直角坐标系.设抛物线的表达式为$y=ax^2+4$,将$B(4,0)$代入,得$16a+4=0$,解得$a=-\frac{1}{4}$,$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+4$.由$x=1$,可得$y=3.75$.$\because 3.75-0.5=3.25＞3.2$,$\therefore$ 货车能安全通行.
(2)当$x=2.2$时,$y=2.79$.$\because 2.79-0.5=2.29$,$\therefore$ 货车能够通行的最大安全限高为2.29 m.
解析
【分析】
本题是二次函数在实际通行场景的应用问题，解题思路如下：首先根据给定的坐标系，利用抛物线的顶点坐标设出顶点式解析式，代入已知点坐标求出解析式；第一问单车道通行时，货车宽2m，沿隧道中线行驶时车顶最外侧的横坐标为±1，代入解析式求出对应位置的隧道高度，减去要求的0.5m安全预留高度后，和货车高度对比即可判断能否通行；第二问双车道加0.4m隔离带时，先计算货车行驶时车顶最外侧的横坐标（隔离带半宽+货车宽度），代入解析式得到对应隧道高度，减去0.5m安全预留高度即为最大安全限高。
【解析】
(1) 建立如图所示的平面直角坐标系，可知抛物线顶点坐标为$(0,4)$，因此设抛物线的表达式为$y=ax^2+4$。
已知跨度AB为8m，因此点B坐标为$(4,0)$，将$B(4,0)$代入解析式得：
$16a+4=0$，解得$a=-\frac{1}{4}$，
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+4$。
单车道通行时，货车宽2m，沿隧道中线行驶时车顶最外侧横坐标为$x=\pm1$，将$x=1$代入解析式得：
$y=-\frac{1}{4}×1^2+4=3.75$，
按要求需预留0.5m安全高度，因此允许的最大货车高度为$3.75-0.5=3.25\ \mathrm{m}$，
$\because 3.25＞3.2$，
$\therefore$ 该货车能安全通行。
(2) 双车道通行且有0.4m隔离带时，隔离带的半宽为$0.4÷2=0.2\ \mathrm{m}$，货车宽2m，因此货车沿一侧车道行驶时，车顶最外侧的横坐标为$x=0.2+2=2.2$，
将$x=2.2$代入抛物线解析式得：
$y=-\frac{1}{4}×(2.2)^2+4=-\frac{1}{4}×4.84+4=2.79$，
减去0.5m安全预留高度，得最大安全限高为$2.79-0.5=2.29\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)该货车能安全通行，理由见解析；(2)最大安全限高为2.29 m。
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，二次函数求值
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，解题核心是先建立合适的坐标系求出抛物线的解析式，再结合实际通行的限制条件，找到对应位置的自变量取值，代入计算后结合安全要求得出结果，解题时需注意准确判断货车外侧对应的横坐标，避免因取值错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际通行场景的应用问题，解题思路如下：首先根据给定的坐标系，利用抛物线的顶点坐标设出顶点式解析式，代入已知点坐标求出解析式；第一问单车道通行时，货车宽2m，沿隧道中线行驶时车顶最外侧的横坐标为±1，代入解析式求出对应位置的隧道高度，减去要求的0.5m安全预留高度后，和货车高度对比即可判断能否通行；第二问双车道加0.4m隔离带时，先计算货车行驶时车顶最外侧的横坐标（隔离带半宽+货车宽度），代入解析式得到对应隧道高度，减去0.5m安全预留高度即为最大安全限高。
【解析】
(1) 建立如图所示的平面直角坐标系，可知抛物线顶点坐标为$(0,4)$，因此设抛物线的表达式为$y=ax^2+4$。
已知跨度AB为8m，因此点B坐标为$(4,0)$，将$B(4,0)$代入解析式得：
$16a+4=0$，解得$a=-\frac{1}{4}$，
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+4$。
单车道通行时，货车宽2m，沿隧道中线行驶时车顶最外侧横坐标为$x=\pm1$，将$x=1$代入解析式得：
$y=-\frac{1}{4}×1^2+4=3.75$，
按要求需预留0.5m安全高度，因此允许的最大货车高度为$3.75-0.5=3.25\ \mathrm{m}$，
$\because 3.25＞3.2$，
$\therefore$ 该货车能安全通行。
(2) 双车道通行且有0.4m隔离带时，隔离带的半宽为$0.4÷2=0.2\ \mathrm{m}$，货车宽2m，因此货车沿一侧车道行驶时，车顶最外侧的横坐标为$x=0.2+2=2.2$，
将$x=2.2$代入抛物线解析式得：
$y=-\frac{1}{4}×(2.2)^2+4=-\frac{1}{4}×4.84+4=2.79$，
减去0.5m安全预留高度，得最大安全限高为$2.79-0.5=2.29\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)该货车能安全通行，理由见解析；(2)最大安全限高为2.29 m。
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，二次函数求值
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，解题核心是先建立合适的坐标系求出抛物线的解析式，再结合实际通行的限制条件，找到对应位置的自变量取值，代入计算后结合安全要求得出结果，解题时需注意准确判断货车外侧对应的横坐标，避免因取值错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
5. ★★★ 如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度 $AB = 20$ m,顶点 $M$ 距水面 $6$ m(即 $MO=6$ m),小孔顶点 $N$ 距水面 $4.5$ m(即 $NC = 4.5$ m).当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图中的平面直角坐标系,可求出此时大孔的水面宽度 $EF$ 为 (
A.$10\sqrt{3}$ m
B.$6\sqrt{3}$ m
C.12 m
D.10 m
D
)A.$10\sqrt{3}$ m
B.$6\sqrt{3}$ m
C.12 m
D.10 m
答案
解析:由题意得点M坐标为$(0,6)$,点A坐标为$(-10,0)$,点B坐标为$(10,0)$,设中间大抛物线的函数表达式为$y=ax^2+bx+c$,代入三点的坐标得$\begin{cases} c=6,\\ 100a-10b+c=0,\\ 100a+10b+c=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-\frac{3}{50},\\ b=0,\\ c=6, \end{cases}$$\therefore$ 抛物线的函数表达式为$y=-\frac{3}{50}x^2+6$.$\because NC=4.5$ m,$\therefore$ 令$y=4.5$,代入表达式得$x_1=5,x_2=-5$,$\therefore EF=5-(-5)=10(\mathrm{m})$.故选D.
解析
【分析】
要解决该问题可按如下思路思考：首先结合题干给出的坐标系与已知条件，提取大抛物线上的三个关键点坐标：顶点$M(0,6)$、正常水位时大孔端点$A(-10,0)$和$B(10,0)$；再用待定系数法求出大抛物线的函数解析式；水位上涨淹没小孔时，水面高度等于小孔顶点距正常水位的高度4.5m，即对应函数中$y=4.5$，将其代入解析式求出对应的横坐标，两个横坐标的差就是大孔水面宽度$EF$。
【解析】
解：由题意得，大孔抛物线顶点$M$坐标为$(0,6)$，正常水位时大孔端点坐标为$A(-10,0)$、$B(10,0)$。
设大孔对应的抛物线函数表达式为$y=ax^2+bx+c$，将三点坐标代入得：
$\begin{cases} c=6,\\ 100a-10b+c=0,\\ 100a+10b+c=0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-\frac{3}{50},\\ b=0,\\ c=6, \end{cases}$
因此大抛物线的函数表达式为$y=-\frac{3}{50}x^2+6$。
当水位上涨淹没小孔时，水面高度为$4.5\mathrm{m}$，即$y=4.5$，代入解析式得：
$4.5=-\frac{3}{50}x^2+6$
化简得$x^2=25$，解得$x_1=5$，$x_2=-5$。
故大孔水面宽度$EF=5-(-5)=10(\mathrm{m})$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题关键是结合坐标系将实际条件转化为函数中的点坐标和参数，通过求函数解析式、代入函数值求对应横坐标即可得到结果，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
要解决该问题可按如下思路思考：首先结合题干给出的坐标系与已知条件，提取大抛物线上的三个关键点坐标：顶点$M(0,6)$、正常水位时大孔端点$A(-10,0)$和$B(10,0)$；再用待定系数法求出大抛物线的函数解析式；水位上涨淹没小孔时，水面高度等于小孔顶点距正常水位的高度4.5m，即对应函数中$y=4.5$，将其代入解析式求出对应的横坐标，两个横坐标的差就是大孔水面宽度$EF$。
【解析】
解：由题意得，大孔抛物线顶点$M$坐标为$(0,6)$，正常水位时大孔端点坐标为$A(-10,0)$、$B(10,0)$。
设大孔对应的抛物线函数表达式为$y=ax^2+bx+c$，将三点坐标代入得：
$\begin{cases} c=6,\\ 100a-10b+c=0,\\ 100a+10b+c=0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-\frac{3}{50},\\ b=0,\\ c=6, \end{cases}$
因此大抛物线的函数表达式为$y=-\frac{3}{50}x^2+6$。
当水位上涨淹没小孔时，水面高度为$4.5\mathrm{m}$，即$y=4.5$，代入解析式得：
$4.5=-\frac{3}{50}x^2+6$
化简得$x^2=25$，解得$x_1=5$，$x_2=-5$。
故大孔水面宽度$EF=5-(-5)=10(\mathrm{m})$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题关键是结合坐标系将实际条件转化为函数中的点坐标和参数，通过求函数解析式、代入函数值求对应横坐标即可得到结果，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
