登录
6. ★★★ (滨州中考)要修一个圆形喷水池，如图，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管高度应为
$\frac{9}{4}$
m. 答案
解析:以池中心为坐标原点,水平方向为x轴,竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.设抛物线的表达式为$y=a(x-h)^2+k$,由题意可知抛物线的顶点坐标为$(1,3)$,与x轴的一个交点为$(3,0)$,$\therefore 0=a(3-1)^2+3$,解得$a=-\frac{3}{4}$,$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3$,当$x=0$时,$y=-\frac{3}{4}(0-1)^2+3=\frac{9}{4}$,$\therefore$ 水管的高度为$\frac{9}{4}$ m,故答案为$\frac{9}{4}$.
解析
【分析】
这是一道二次函数的实际应用问题，解题核心是将实际场景转化为二次函数模型求解。首先以池中心为原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系；已知抛物线顶点坐标，因此选择顶点式设二次函数解析式更简便；再将水柱落地的交点坐标代入解析式求出未知系数a，最后求x=0（池中心位置）对应的y值，即为水管的高度。
【解析】
解：以池中心为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线的顶点坐标为$(1,3)$，因此设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-1)^2+3$（$a≠0$）
已知水柱落地处离池中心3m，即抛物线过点$(3,0)$，将$(3,0)$代入解析式得：
$0=a(3-1)^2+3$
$0=4a+3$
解得$a=-\frac{3}{4}$
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3$
水管在池中心位置，即$x=0$，将$x=0$代入解析式：
$y=-\frac{3}{4}(0-1)^2+3=-\frac{3}{4}+3=\frac{9}{4}$
即水管高度为$\frac{9}{4}$m。
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的常见题型，解题关键是合理建立平面直角坐标系，结合已知条件选择合适的解析式形式，进而通过代入求值得到所求量，考查了数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.65
这是一道二次函数的实际应用问题，解题核心是将实际场景转化为二次函数模型求解。首先以池中心为原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系；已知抛物线顶点坐标，因此选择顶点式设二次函数解析式更简便；再将水柱落地的交点坐标代入解析式求出未知系数a，最后求x=0（池中心位置）对应的y值，即为水管的高度。
【解析】
解：以池中心为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线的顶点坐标为$(1,3)$，因此设抛物线的解析式为顶点式：$y=a(x-1)^2+3$（$a≠0$）
已知水柱落地处离池中心3m，即抛物线过点$(3,0)$，将$(3,0)$代入解析式得：
$0=a(3-1)^2+3$
$0=4a+3$
解得$a=-\frac{3}{4}$
因此抛物线的解析式为$y=-\frac{3}{4}(x-1)^2+3$
水管在池中心位置，即$x=0$，将$x=0$代入解析式：
$y=-\frac{3}{4}(0-1)^2+3=-\frac{3}{4}+3=\frac{9}{4}$
即水管高度为$\frac{9}{4}$m。
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的常见题型，解题关键是合理建立平面直角坐标系，结合已知条件选择合适的解析式形式，进而通过代入求值得到所求量，考查了数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.65
7. (青岛中考)如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用$y=ax^2+bx(a≠0)$表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为$\frac{3}{4}$m,到墙边OA的距离分别为$\frac{1}{2}$m, $\frac{3}{2}$m.
(1)求该抛物线的函数表达式,并求图案最高点到地面的距离.
(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的抛物线形图案?
(1)求该抛物线的函数表达式,并求图案最高点到地面的距离.
(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的抛物线形图案?
答案
(1)根据题意,得$B(\frac{1}{2},\frac{3}{4}),C(\frac{3}{2},\frac{3}{4})$,把B,C两点的坐标代入$y=ax^2+bx$,得$\begin{cases} \frac{3}{4}=\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b,\\ \frac{3}{4}=\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-1,\\ b=2, \end{cases}$$\therefore$ 抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x$,$\therefore$ 图案最高点到地面的距离为$\frac{0-2^2}{4×(-1)}=1(\mathrm{m})$.
(2)令$y=0$,即$-x^2+2x=0$,解得$x_1=0,x_2=2$,$\therefore 10÷2=5(\mathrm{个})$,$\therefore$ 最多可以连续绘制5个这样的抛物线形图案.
(2)令$y=0$,即$-x^2+2x=0$,解得$x_1=0,x_2=2$,$\therefore 10÷2=5(\mathrm{个})$,$\therefore$ 最多可以连续绘制5个这样的抛物线形图案.
解析
【分析】
(1) 首先根据B、C两点到墙边OA的距离和到地面的距离，确定两点的坐标，再将两点坐标代入给出的抛物线一般式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，得到抛物线的函数表达式；再利用二次函数顶点纵坐标的计算公式，求出最高点的纵坐标，即为图案最高点到地面的距离。
(2) 要求能绘制的图案个数，需先求出单个抛物线形图案的水平宽度：令抛物线解析式中y=0，解一元二次方程得到抛物线与x轴的两个交点坐标，两交点横坐标的差就是单个图案的宽度，再用墙的总长度除以单个图案的宽度，即可得到最多能绘制的图案数量。
【解析】
(1) 根据题意，可知点B坐标为$(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$，点C坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{4})$。
将B、C两点坐标代入$y=ax^2+bx$，得：
$\begin{cases} \frac{3}{4}=\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b\\ \frac{3}{4}=\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b \end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases} a=-1\\ b=2 \end{cases}$
因此抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，本题中$c=0$，代入得最高点到地面的距离为：
$\frac{4×(-1)×0 - 2^2}{4×(-1)}=1(\mathrm{m})$
(2) 令$y=0$，即$-x^2+2x=0$，因式分解得$x(-x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$。
可知单个抛物线形图案的水平宽度为$2-0=2\mathrm{m}$，墙长10m，因此最多可绘制的图案数量为：
$10÷2=5(\mathrm{个})$
【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x}$，图案最高点到地面的距离为$\boldsymbol{1\mathrm{m}}$；
(2) 最多可以连续绘制$\boldsymbol{5}$个这样的抛物线形图案。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点性质；二次函数实际应用
【点评】
本题以墙面绘制图案为背景考查二次函数的实际应用，解题的核心是准确从图象和题干中提取点的坐标信息，结合待定系数法求出函数解析式，再利用二次函数的性质求解相关问题，解题思路清晰，贴近生活场景。
【难度系数】
0.75
(1) 首先根据B、C两点到墙边OA的距离和到地面的距离，确定两点的坐标，再将两点坐标代入给出的抛物线一般式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，得到抛物线的函数表达式；再利用二次函数顶点纵坐标的计算公式，求出最高点的纵坐标，即为图案最高点到地面的距离。
(2) 要求能绘制的图案个数，需先求出单个抛物线形图案的水平宽度：令抛物线解析式中y=0，解一元二次方程得到抛物线与x轴的两个交点坐标，两交点横坐标的差就是单个图案的宽度，再用墙的总长度除以单个图案的宽度，即可得到最多能绘制的图案数量。
【解析】
(1) 根据题意，可知点B坐标为$(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$，点C坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{4})$。
将B、C两点坐标代入$y=ax^2+bx$，得：
$\begin{cases} \frac{3}{4}=\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b\\ \frac{3}{4}=\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b \end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases} a=-1\\ b=2 \end{cases}$
因此抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，本题中$c=0$，代入得最高点到地面的距离为：
$\frac{4×(-1)×0 - 2^2}{4×(-1)}=1(\mathrm{m})$
(2) 令$y=0$，即$-x^2+2x=0$，因式分解得$x(-x+2)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=2$。
可知单个抛物线形图案的水平宽度为$2-0=2\mathrm{m}$，墙长10m，因此最多可绘制的图案数量为：
$10÷2=5(\mathrm{个})$
【答案】
(1) 抛物线的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x}$，图案最高点到地面的距离为$\boldsymbol{1\mathrm{m}}$；
(2) 最多可以连续绘制$\boldsymbol{5}$个这样的抛物线形图案。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点性质；二次函数实际应用
【点评】
本题以墙面绘制图案为背景考查二次函数的实际应用，解题的核心是准确从图象和题干中提取点的坐标信息，结合待定系数法求出函数解析式，再利用二次函数的性质求解相关问题，解题思路清晰，贴近生活场景。
【难度系数】
0.75
8. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构,它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架,上面覆上一层或多层保温塑料膜,这样就形成了一个温室空间.如图,某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成,其中AB=3 m,BC=4 m,取BC中点O,过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E,若以O点为原点,BC所在直线为x轴,OE所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系,抛物线AED的顶点E(0,4).
请回答下列问题:
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图②,为了保证蔬菜大棚的通风性,该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT,SMNR,若FL=NR=0.75 m,求两个正方形装置的间距GM的长;
(3)如图③,在某一时刻,太阳光线透过A点恰好照射到C点,此时大棚截面的阴影为BK,求BK的长.
请回答下列问题:
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图②,为了保证蔬菜大棚的通风性,该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT,SMNR,若FL=NR=0.75 m,求两个正方形装置的间距GM的长;
(3)如图③,在某一时刻,太阳光线透过A点恰好照射到C点,此时大棚截面的阴影为BK,求BK的长.
答案
(1)$\because$ 抛物线AED的顶点$E(0,4)$,$\therefore$ 设抛物线的表达式为$y=ax^2+4$.$\because$ 四边形ABCD为矩形,OE为BC的垂直平分线,$\therefore AD=BC=4$ m,$OB=2$ m.$\because AB=3$ m,$\therefore$ 点$A(-2,3)$,代入$y=ax^2+4$,得$3=4a+4$,$\therefore a=-\frac{1}{4}$,$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+4$.
(2)$\because$ 四边形LFGT,四边形SMNR均为正方形,$FL=NR=0.75$ m,$\therefore FG=MN=FL=NR=0.75$ m.如图,延长LF交BC于点H,延长RN交BC于点J,则四边形FHJN,四边形ABHF均为矩形,$\therefore FH=AB=3$ m,$FN=HJ$,$\therefore HL=HF+FL=3.75$ m.$\because y=-\frac{1}{4}x^2+4$,当$y=3.75$时,$3.75=-\frac{1}{4}x^2+4$,解得$x=\pm1$,$\therefore H(-1,0),J(1,0)$,$\therefore FN=HJ=2$ m,$\therefore GM=FN-FG-MN=0.5$ m.
(3)$\because BC=4$ m,OE垂直平分BC,$\therefore OB=OC=2$ m,$\therefore B(-2,0),C(2,0)$.设直线AC的表达式为$y=kx+b$,则$\begin{cases} 2k+b=0,\\ -2k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\frac{3}{4},\\ b=\frac{3}{2}, \end{cases}$$\therefore y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$.$\because$ 太阳光为平行光,设过点K平行于AC的光线的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+m$,由题意,得$y=-\frac{3}{4}x+m$与抛物线相切,联立$\begin{cases} y=-\frac{1}{4}x^2+4,\\ y=-\frac{3}{4}x+m, \end{cases}$整理,得$x^2-3x+4m-16=0$,则$\Delta=(-3)^2-4(4m-16)=0$,解得$m=\frac{73}{16}$,$\therefore y=-\frac{3}{4}x+\frac{73}{16}$,当$y=0$时,$x=\frac{73}{12}$,$\therefore K(\frac{73}{12},0)$.$\because B(-2,0)$,$\therefore BK=2+\frac{73}{12}=\frac{97}{12}(\mathrm{m})$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式：已知抛物线顶点为E(0,4)，可先设顶点式$y=ax^2+4$，再结合矩形边长得到点A的坐标，代入解析式求出参数a即可。
(2) 求GM的长度：已知正方形边长为0.75m，可得正方形顶点L、R的纵坐标为AB长加正方形边长，将该纵坐标代入抛物线解析式求出对应横坐标，得到两个正方形的水平间距，再减去两个正方形的边长即可得到GM的长。
(3) 求BK的长度：太阳光线为平行光，因此阴影边缘的光线与AC平行。先求出直线AC的解析式，再设与AC平行且和抛物线相切的直线解析式，联立抛物线方程利用判别式$\Delta=0$求出直线参数，进而得到光线与x轴交点K的坐标，最后计算B、K两点的距离即可。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线AED的顶点$E(0,4)$，$\therefore$ 设抛物线的表达式为$y=ax^2+4$。
$\because$ 四边形ABCD为矩形，OE为BC的垂直平分线，$\therefore AD=BC=4$ m，$OB=2$ m。
$\because AB=3$ m，$\therefore$ 点$A(-2,3)$，代入$y=ax^2+4$，得$3=4a+4$，$\therefore a=-\frac{1}{4}$，$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+4$。
(2) $\because$ 四边形LFGT，四边形SMNR均为正方形，$FL=NR=0.75$ m，$\therefore FG=MN=FL=NR=0.75$ m。
延长LF交BC于点H，延长RN交BC于点J，则四边形FHJN，四边形ABHF均为矩形，$\therefore FH=AB=3$ m，$FN=HJ$，$\therefore HL=HF+FL=3.75$ m。
将$y=3.75$代入$y=-\frac{1}{4}x^2+4$，得$3.75=-\frac{1}{4}x^2+4$，解得$x=\pm1$，$\therefore H(-1,0),J(1,0)$，$\therefore FN=HJ=2$ m，$\therefore GM=FN-FG-MN=0.5$ m。
(3) $\because BC=4$ m，OE垂直平分BC，$\therefore OB=OC=2$ m，$\therefore B(-2,0),C(2,0)$。
设直线AC的表达式为$y=kx+b$，则$\begin{cases} 2k+b=0,\\ -2k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\frac{3}{4},\\ b=\frac{3}{2}, \end{cases}$$\therefore y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$。
$\because$ 太阳光为平行光，设过点K平行于AC的光线的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+m$，由题意该直线与抛物线相切，联立$\begin{cases} y=-\frac{1}{4}x^2+4,\\ y=-\frac{3}{4}x+m, \end{cases}$整理得$x^2-3x+4m-16=0$，则$\Delta=(-3)^2-4(4m-16)=0$，解得$m=\frac{73}{16}$，$\therefore y=-\frac{3}{4}x+\frac{73}{16}$。
当$y=0$时，$x=\frac{73}{12}$，$\therefore K(\frac{73}{12},0)$。$\because B(-2,0)$，$\therefore BK=2+\frac{73}{12}=\frac{97}{12}(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{4}x^2+4}$；
(2) 两个正方形装置的间距GM的长为$\boldsymbol{0.5\ \mathrm{m}}$；
(3) BK的长为$\boldsymbol{\frac{97}{12}\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 正方形的性质
3. 直线与抛物线的位置关系
【点评】
本题以生活中常见的蔬菜大棚为命题背景，将几何图形与函数知识相结合，兼具实用性和趣味性。解题需要灵活运用待定系数法求函数解析式，结合图形特征分析点的坐标，同时掌握直线与抛物线相切时判别式为0的应用，能有效考查学生综合运用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线表达式：已知抛物线顶点为E(0,4)，可先设顶点式$y=ax^2+4$，再结合矩形边长得到点A的坐标，代入解析式求出参数a即可。
(2) 求GM的长度：已知正方形边长为0.75m，可得正方形顶点L、R的纵坐标为AB长加正方形边长，将该纵坐标代入抛物线解析式求出对应横坐标，得到两个正方形的水平间距，再减去两个正方形的边长即可得到GM的长。
(3) 求BK的长度：太阳光线为平行光，因此阴影边缘的光线与AC平行。先求出直线AC的解析式，再设与AC平行且和抛物线相切的直线解析式，联立抛物线方程利用判别式$\Delta=0$求出直线参数，进而得到光线与x轴交点K的坐标，最后计算B、K两点的距离即可。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线AED的顶点$E(0,4)$，$\therefore$ 设抛物线的表达式为$y=ax^2+4$。
$\because$ 四边形ABCD为矩形，OE为BC的垂直平分线，$\therefore AD=BC=4$ m，$OB=2$ m。
$\because AB=3$ m，$\therefore$ 点$A(-2,3)$，代入$y=ax^2+4$，得$3=4a+4$，$\therefore a=-\frac{1}{4}$，$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+4$。
(2) $\because$ 四边形LFGT，四边形SMNR均为正方形，$FL=NR=0.75$ m，$\therefore FG=MN=FL=NR=0.75$ m。
延长LF交BC于点H，延长RN交BC于点J，则四边形FHJN，四边形ABHF均为矩形，$\therefore FH=AB=3$ m，$FN=HJ$，$\therefore HL=HF+FL=3.75$ m。
将$y=3.75$代入$y=-\frac{1}{4}x^2+4$，得$3.75=-\frac{1}{4}x^2+4$，解得$x=\pm1$，$\therefore H(-1,0),J(1,0)$，$\therefore FN=HJ=2$ m，$\therefore GM=FN-FG-MN=0.5$ m。
(3) $\because BC=4$ m，OE垂直平分BC，$\therefore OB=OC=2$ m，$\therefore B(-2,0),C(2,0)$。
设直线AC的表达式为$y=kx+b$，则$\begin{cases} 2k+b=0,\\ -2k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\frac{3}{4},\\ b=\frac{3}{2}, \end{cases}$$\therefore y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$。
$\because$ 太阳光为平行光，设过点K平行于AC的光线的表达式为$y=-\frac{3}{4}x+m$，由题意该直线与抛物线相切，联立$\begin{cases} y=-\frac{1}{4}x^2+4,\\ y=-\frac{3}{4}x+m, \end{cases}$整理得$x^2-3x+4m-16=0$，则$\Delta=(-3)^2-4(4m-16)=0$，解得$m=\frac{73}{16}$，$\therefore y=-\frac{3}{4}x+\frac{73}{16}$。
当$y=0$时，$x=\frac{73}{12}$，$\therefore K(\frac{73}{12},0)$。$\because B(-2,0)$，$\therefore BK=2+\frac{73}{12}=\frac{97}{12}(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{4}x^2+4}$；
(2) 两个正方形装置的间距GM的长为$\boldsymbol{0.5\ \mathrm{m}}$；
(3) BK的长为$\boldsymbol{\frac{97}{12}\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 正方形的性质
3. 直线与抛物线的位置关系
【点评】
本题以生活中常见的蔬菜大棚为命题背景，将几何图形与函数知识相结合，兼具实用性和趣味性。解题需要灵活运用待定系数法求函数解析式，结合图形特征分析点的坐标，同时掌握直线与抛物线相切时判别式为0的应用，能有效考查学生综合运用知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
