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1. [2025 湖南师大附中教育集团月考]下列二次根式中，与$\sqrt{2}$是同类二次根式的是（
A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{12}$
C
）A.$\sqrt{4}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{12}$
答案
$\sqrt{4}=2,2$ 和$\sqrt{2}$不是同类二次根式;$\sqrt{6}$和$\sqrt{2}$不是同类二次根式;$\sqrt{8}=2\sqrt{2},2\sqrt{2}$和$\sqrt{2}$是同类二次根式;$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$,$2\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$不是同类二次根式.
同类二次根式需满足的条件:化简成最简二次根式后的被开方数相同.
同类二次根式需满足的条件:化简成最简二次根式后的被开方数相同.
解析
【分析】
要判断与$\sqrt{2}$是同类二次根式的选项，首先要明确同类二次根式的判定规则：先将所有二次根式化为最简二次根式，若化简后的被开方数相同，即为同类二次根式。因此解题时需要先逐个化简四个选项的二次根式，再对比化简后的被开方数是否为2，符合要求的即为正确答案。
【解析】
同类二次根式的判定条件：化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式。
逐个分析选项：
A. $\sqrt{4}=2$，是整数，与$\sqrt{2}$被开方数不同，不是同类二次根式；
B. $\sqrt{6}$已是最简二次根式，被开方数为6，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式；
C. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，与$\sqrt{2}$是同类二次根式；
D. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式判定；二次根式化简
【点评】
本题是基础题，解题关键是牢记同类二次根式的判断规则，注意不能直接对比未化简的二次根式的被开方数，必须先化为最简二次根式再判断。
【难度系数】
0.9
要判断与$\sqrt{2}$是同类二次根式的选项，首先要明确同类二次根式的判定规则：先将所有二次根式化为最简二次根式，若化简后的被开方数相同，即为同类二次根式。因此解题时需要先逐个化简四个选项的二次根式，再对比化简后的被开方数是否为2，符合要求的即为正确答案。
【解析】
同类二次根式的判定条件：化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式。
逐个分析选项：
A. $\sqrt{4}=2$，是整数，与$\sqrt{2}$被开方数不同，不是同类二次根式；
B. $\sqrt{6}$已是最简二次根式，被开方数为6，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式；
C. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，与$\sqrt{2}$是同类二次根式；
D. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式判定；二次根式化简
【点评】
本题是基础题，解题关键是牢记同类二次根式的判断规则，注意不能直接对比未化简的二次根式的被开方数，必须先化为最简二次根式再判断。
【难度系数】
0.9
2. 若最简二次根式$\sqrt{2+x}$与$\sqrt{5-2x}$可以合并，则x的值为
1
。答案
根据题意得,$2 + x =5 -2x$,解得 $x = 1$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确两个核心要点：一是题干中的两个根式都是最简二次根式，二是可以合并的二次根式（即同类二次根式）的被开方数相等。因此我们只需要令两个根式的被开方数相等，列出一元一次方程求解，最后验证解是否满足二次根式被开方数非负的要求即可。
【解析】
∵ 最简二次根式$\sqrt{2+x}$与$\sqrt{5-2x}$可以合并
∴ 两个根式的被开方数相等，可列方程：
$2 + x = 5 - 2x$
移项得：$x + 2x = 5 - 2$
合并同类项得：$3x = 3$
系数化为1得：$x = 1$
检验：当$x=1$时，$2+x=3≥0$，$5-2x=3≥0$，均满足二次根式有意义的条件，故解有效。
【答案】
$1$
【知识点】
同类二次根式；最简二次根式；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握可合并的最简二次根式的特征，即被开方数相同，求解后注意验证结果是否能让二次根式有意义即可。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先明确两个核心要点：一是题干中的两个根式都是最简二次根式，二是可以合并的二次根式（即同类二次根式）的被开方数相等。因此我们只需要令两个根式的被开方数相等，列出一元一次方程求解，最后验证解是否满足二次根式被开方数非负的要求即可。
【解析】
∵ 最简二次根式$\sqrt{2+x}$与$\sqrt{5-2x}$可以合并
∴ 两个根式的被开方数相等，可列方程：
$2 + x = 5 - 2x$
移项得：$x + 2x = 5 - 2$
合并同类项得：$3x = 3$
系数化为1得：$x = 1$
检验：当$x=1$时，$2+x=3≥0$，$5-2x=3≥0$，均满足二次根式有意义的条件，故解有效。
【答案】
$1$
【知识点】
同类二次根式；最简二次根式；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握可合并的最简二次根式的特征，即被开方数相同，求解后注意验证结果是否能让二次根式有意义即可。
【难度系数】
0.85
3. [2025徐州中考] 下列运算错误的是（
A.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
C.$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = 2$
D.$(-\sqrt{3})^2 = 3$
A
）A.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
C.$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = 2$
D.$(-\sqrt{3})^2 = 3$
答案
选项 A,$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式,不能合并;选项 B,$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{2 × 3} = \sqrt{6}$;选项 C,$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{8 ÷ 2} = \sqrt{4} = 2$;选项 D,$(-\sqrt{3})^2 = 3$.
解析
【分析】
本题要求选出运算错误的选项，解题时需结合二次根式的各类运算法则，逐个验证四个选项的运算是否合规：首先明确二次根式加减的前提是被开方数相同的同类二次根式才能合并，乘除运算可将根号下的数分别乘除后再开根号，乘方运算需注意符号和根号的平方运算规则，逐一排查后即可找到错误选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 选项A：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，因此$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$的运算错误；
2. 选项B：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2} × \sqrt{3}=\sqrt{2 × 3}=\sqrt{6}$，运算正确；
3. 选项C：根据二次根式除法法则$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b}=\sqrt{a ÷ b}\ (a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2}=\sqrt{8 ÷ 2}=\sqrt{4}=2$，运算正确；
4. 选项D：根据乘方的运算规则，$(-\sqrt{3})^2=(-1)^2 × (\sqrt{3})^2=1 × 3=3$，运算正确。
综上，运算错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的加减；二次根式的乘除；二次根式的乘方
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查二次根式的基本运算规则，易错点是容易误将非同类二次根式直接合并，只要牢记各类运算的适用条件，就能快速判断出正误。
【难度系数】
0.9
本题要求选出运算错误的选项，解题时需结合二次根式的各类运算法则，逐个验证四个选项的运算是否合规：首先明确二次根式加减的前提是被开方数相同的同类二次根式才能合并，乘除运算可将根号下的数分别乘除后再开根号，乘方运算需注意符号和根号的平方运算规则，逐一排查后即可找到错误选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 选项A：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，因此$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$的运算错误；
2. 选项B：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2} × \sqrt{3}=\sqrt{2 × 3}=\sqrt{6}$，运算正确；
3. 选项C：根据二次根式除法法则$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b}=\sqrt{a ÷ b}\ (a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2}=\sqrt{8 ÷ 2}=\sqrt{4}=2$，运算正确；
4. 选项D：根据乘方的运算规则，$(-\sqrt{3})^2=(-1)^2 × (\sqrt{3})^2=1 × 3=3$，运算正确。
综上，运算错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的加减；二次根式的乘除；二次根式的乘方
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查二次根式的基本运算规则，易错点是容易误将非同类二次根式直接合并，只要牢记各类运算的适用条件，就能快速判断出正误。
【难度系数】
0.9
4. [2025广州中考] 下列运算正确的是（
A.$a^2 · a^3 = a^{15}$
B.$(-2ab)^3 = 8a^3b^3$
C.$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{a - b} \ (a ≥ b ≥ 0)$
D.$2\sqrt{a} + 5\sqrt{a} = 7\sqrt{a} \ (a ≥ 0)$
D
）A.$a^2 · a^3 = a^{15}$
B.$(-2ab)^3 = 8a^3b^3$
C.$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{a - b} \ (a ≥ b ≥ 0)$
D.$2\sqrt{a} + 5\sqrt{a} = 7\sqrt{a} \ (a ≥ 0)$
答案
选项 A,$a^2 · a^3 = a^{2+3} = a^5$;选项 B,$(-2ab)^3 = (-2)^3 · a^3 · b^3 = -8a^3b^3$;选项 C,二次根式相减不能直接合并为被开方数相减,例如,当 $a = 9,b = 4$ 时,$\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$,而$\sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} ≠ 1$;选项 D,$2\sqrt{a} + 5\sqrt{a} = (2 + 5)\sqrt{a} = 7\sqrt{a}(a≥0)$.
解析
【分析】
这道题属于代数运算正误判断题，考查幂的运算性质与二次根式的加减运算法则。解题时需逐个对四个选项依据对应运算规则验证：①同底数幂相乘遵循底数不变、指数相加的规则；②积的乘方要将积的每个因式分别乘方，再将所得幂相乘；③二次根式加减时，只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，被开方数保持不变，不能直接将被开方数相加减。按这个思路逐一排查选项即可得到正确答案。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：根据同底数幂的乘法法则，$a^2 · a^3 = a^{2+3} = a^5 ≠ a^{15}$，因此A运算错误；
选项B：根据积的乘方法则，$(-2ab)^3 = (-2)^3 · a^3 · b^3 = -8a^3b^3 ≠ 8a^3b^3$，因此B运算错误；
选项C：二次根式相减不能直接将被开方数相减，可举反例验证：当$a = 9,b = 4$时，$\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$，而$\sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} ≠ 1$，因此C运算错误；
选项D：$2\sqrt{a}$和$5\sqrt{a}$是同类二次根式，合并时系数相加，被开方数不变，即$2\sqrt{a} + 5\sqrt{a} = (2 + 5)\sqrt{a} = 7\sqrt{a}\ (a ≥ 0)$，因此D运算正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；积的乘方；二次根式的加减
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查常见的代数运算法则，易错点为混淆幂的运算规则、错误套用二次根式加减的运算方法，学习时要准确记牢各类运算的规则，也可通过举反例的方式快速验证运算是否正确。
【难度系数】
0.85
这道题属于代数运算正误判断题，考查幂的运算性质与二次根式的加减运算法则。解题时需逐个对四个选项依据对应运算规则验证：①同底数幂相乘遵循底数不变、指数相加的规则；②积的乘方要将积的每个因式分别乘方，再将所得幂相乘；③二次根式加减时，只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，被开方数保持不变，不能直接将被开方数相加减。按这个思路逐一排查选项即可得到正确答案。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：根据同底数幂的乘法法则，$a^2 · a^3 = a^{2+3} = a^5 ≠ a^{15}$，因此A运算错误；
选项B：根据积的乘方法则，$(-2ab)^3 = (-2)^3 · a^3 · b^3 = -8a^3b^3 ≠ 8a^3b^3$，因此B运算错误；
选项C：二次根式相减不能直接将被开方数相减，可举反例验证：当$a = 9,b = 4$时，$\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$，而$\sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} ≠ 1$，因此C运算错误；
选项D：$2\sqrt{a}$和$5\sqrt{a}$是同类二次根式，合并时系数相加，被开方数不变，即$2\sqrt{a} + 5\sqrt{a} = (2 + 5)\sqrt{a} = 7\sqrt{a}\ (a ≥ 0)$，因此D运算正确。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；积的乘方；二次根式的加减
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查常见的代数运算法则，易错点为混淆幂的运算规则、错误套用二次根式加减的运算方法，学习时要准确记牢各类运算的规则，也可通过举反例的方式快速验证运算是否正确。
【难度系数】
0.85
5. 一题多解 $\sqrt{3} + 3\sqrt{\frac{1}{3}}$ 的计算结果是
$2\sqrt{3}$
.答案
通解1 $\sqrt{3} + 3\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{3} + 3 × \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 3 × \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
通解2 $\sqrt{3} + 3\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{3} + 3\sqrt{\frac{3}{3 × 3}} = \sqrt{3} + 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
通解2 $\sqrt{3} + 3\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{3} + 3\sqrt{\frac{3}{3 × 3}} = \sqrt{3} + 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路分为两步：第一步先将算式中不是最简形式的二次根式化为最简二次根式，第二步合并同类二次根式即可得到结果。对于式子中的$3\sqrt{\frac{1}{3}}$，有两种常用化简思路：一是通过分母有理化去掉根号内的分母；二是利用二次根式的性质，将根号内的分数变形为分母为完全平方数的形式后再开方化简，两种思路都能快速得到化简结果。
【解析】
通解1：利用分母有理化化简
$\sqrt{3} + 3\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{3} + 3 × \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 3 × \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
通解2：利用二次根式性质化简
$\sqrt{3} + 3\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{3} + 3\sqrt{\frac{3}{3 × 3}} = \sqrt{3} + 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、分母有理化
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，核心考点是二次根式加减的运算规则，只要熟练掌握最简二次根式的化简方法，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的加减运算，解题思路分为两步：第一步先将算式中不是最简形式的二次根式化为最简二次根式，第二步合并同类二次根式即可得到结果。对于式子中的$3\sqrt{\frac{1}{3}}$，有两种常用化简思路：一是通过分母有理化去掉根号内的分母；二是利用二次根式的性质，将根号内的分数变形为分母为完全平方数的形式后再开方化简，两种思路都能快速得到化简结果。
【解析】
通解1：利用分母有理化化简
$\sqrt{3} + 3\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{3} + 3 × \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 3 × \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
通解2：利用二次根式性质化简
$\sqrt{3} + 3\sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{3} + 3\sqrt{\frac{3}{3 × 3}} = \sqrt{3} + 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、分母有理化
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，核心考点是二次根式加减的运算规则，只要熟练掌握最简二次根式的化简方法，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.9
6. 计算:
(1) $\sqrt{32} - 2\sqrt{5} - \sqrt{50} + \sqrt{45}$；
(2) $2\sqrt{3} - 3 - \frac{1}{3}(\sqrt{27} - \sqrt{9})$。
(1) $\sqrt{32} - 2\sqrt{5} - \sqrt{50} + \sqrt{45}$；
(2) $2\sqrt{3} - 3 - \frac{1}{3}(\sqrt{27} - \sqrt{9})$。
答案
(1) $\sqrt{32} - 2\sqrt{5} - \sqrt{50} + \sqrt{45} = 4\sqrt{2} - 2\sqrt{5} - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$.
(2)$2\sqrt{3} - 3 - \frac{1}{3}(\sqrt{27} - \sqrt{9}) = 2\sqrt{3} - 3 - \frac{1}{3}(3\sqrt{3} - 3) = 2\sqrt{3} - 3 - \sqrt{3} + 1 = \sqrt{3} - 2$.
(2)$2\sqrt{3} - 3 - \frac{1}{3}(\sqrt{27} - \sqrt{9}) = 2\sqrt{3} - 3 - \frac{1}{3}(3\sqrt{3} - 3) = 2\sqrt{3} - 3 - \sqrt{3} + 1 = \sqrt{3} - 2$.
解析
【分析】
二次根式加减运算的核心思路是“先化简，再合并”：第一步先将所有非最简二次根式化为最简二次根式，第二步找出被开方数相同的同类二次根式，将同类二次根式的系数相加减、根式部分保持不变即可。
对于(1)题，先分别化简$\sqrt{32}$、$\sqrt{50}$、$\sqrt{45}$，再将含$\sqrt{2}$的项、含$\sqrt{5}$的项分别合并计算；
对于(2)题，先化简括号内的$\sqrt{27}$、$\sqrt{9}$，再按去括号法则去掉括号，最后合并同类二次根式得到结果，注意去括号时系数和符号的处理。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{2} - 2\sqrt{5} - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}\\&=(4\sqrt{2}-5\sqrt{2})+(-2\sqrt{5}+3\sqrt{5})\\&=\sqrt{5}-\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先化简括号内的二次根式：$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{9}=3$，代入原式按运算顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{3} - 3 - \frac{1}{3}(3\sqrt{3} - 3)\\&=2\sqrt{3} - 3 - \sqrt{3} + 1\\&=(2\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-3+1)\\&=\sqrt{3}-2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{5}-\sqrt{2}$；(2) $\sqrt{3}-2$
【知识点】
最简二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础运算题，解题关键是正确化简二次根式，合并同类二次根式时注意系数的符号，去括号时要避免漏乘或符号错误，熟练掌握运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.75
二次根式加减运算的核心思路是“先化简，再合并”：第一步先将所有非最简二次根式化为最简二次根式，第二步找出被开方数相同的同类二次根式，将同类二次根式的系数相加减、根式部分保持不变即可。
对于(1)题，先分别化简$\sqrt{32}$、$\sqrt{50}$、$\sqrt{45}$，再将含$\sqrt{2}$的项、含$\sqrt{5}$的项分别合并计算；
对于(2)题，先化简括号内的$\sqrt{27}$、$\sqrt{9}$，再按去括号法则去掉括号，最后合并同类二次根式得到结果，注意去括号时系数和符号的处理。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{2} - 2\sqrt{5} - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}\\&=(4\sqrt{2}-5\sqrt{2})+(-2\sqrt{5}+3\sqrt{5})\\&=\sqrt{5}-\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先化简括号内的二次根式：$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{9}=3$，代入原式按运算顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{3} - 3 - \frac{1}{3}(3\sqrt{3} - 3)\\&=2\sqrt{3} - 3 - \sqrt{3} + 1\\&=(2\sqrt{3}-\sqrt{3})+(-3+1)\\&=\sqrt{3}-2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{5}-\sqrt{2}$；(2) $\sqrt{3}-2$
【知识点】
最简二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础运算题，解题关键是正确化简二次根式，合并同类二次根式时注意系数的符号，去括号时要避免漏乘或符号错误，熟练掌握运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.75
7. [2025烟台莱州期中]下列计算错误的是（
A.$\sqrt{\dfrac{4}{3}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{21}} = 2\sqrt{7}$
B.$(3 - \sqrt{2})^2 = 11 - 6\sqrt{2}$
C.$(4\sqrt{2} - 3\sqrt{6}) ÷ 2\sqrt{2} = 2 - \dfrac{3}{2}\sqrt{3}$
D.$(\sqrt{5} + 7)(\sqrt{5} - 7) = -2$
D
）A.$\sqrt{\dfrac{4}{3}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{21}} = 2\sqrt{7}$
B.$(3 - \sqrt{2})^2 = 11 - 6\sqrt{2}$
C.$(4\sqrt{2} - 3\sqrt{6}) ÷ 2\sqrt{2} = 2 - \dfrac{3}{2}\sqrt{3}$
D.$(\sqrt{5} + 7)(\sqrt{5} - 7) = -2$
答案
选项 A,$\sqrt{\frac{4}{3}} ÷ \sqrt{\frac{1}{21}} = \sqrt{\frac{4}{3} × 21} = \sqrt{28} = \sqrt{4 × 7} = \sqrt{4} × \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$;选项 B,$(3 - \sqrt{2})^2 = 3^2 - 2 × 3 × \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}$;选项 C,$(4\sqrt{2} - 3\sqrt{6}) ÷ 2\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} - \frac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = 2 - \frac{3}{2}\sqrt{3}$;选项 D,$(\sqrt{5} + 7)(\sqrt{5} - 7) = (\sqrt{5})^2 - 7^2 = 5 - 49 = -44$.
解析
【分析】
本题要求选出计算错误的选项，解题思路是逐一运用二次根式的运算法则、整式乘法公式对四个选项分别计算，将计算结果与选项给出的结果对比，即可找出错误选项。计算时针对不同运算类型选择对应法则：二次根式除法遵循$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），多项式乘多项式可套用完全平方公式、平方差公式简化计算，多项式除以单项式则拆分各项分别相除后再合并。
【解析】
我们逐个计算各选项：
选项A：根据二次根式除法法则，$\sqrt{\dfrac{4}{3}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{21}} = \sqrt{\dfrac{4}{3} ÷ \dfrac{1}{21}} = \sqrt{\dfrac{4}{3} × 21} = \sqrt{28} = \sqrt{4×7} = 2\sqrt{7}$，计算正确，不符合题意；
选项B：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(3 - \sqrt{2})^2 = 3^2 - 2 × 3 × \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}$，计算正确，不符合题意；
选项C：根据多项式除以单项式的运算规则，$(4\sqrt{2} - 3\sqrt{6}) ÷ 2\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} - \frac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = 2 - \frac{3}{2}\sqrt{\dfrac{6}{2}} = 2 - \frac{3}{2}\sqrt{3}$，计算正确，不符合题意；
选项D：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，$(\sqrt{5} + 7)(\sqrt{5} - 7) = (\sqrt{5})^2 - 7^2 = 5 - 49 = -44$，选项给出结果为$-2$，计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式运算；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式运算法则和整式乘法公式的灵活运用，计算时需要注意公式的正确套用，尤其要注意平方运算的准确性，避免因粗心算错平方项导致失分。
【难度系数】
0.8
本题要求选出计算错误的选项，解题思路是逐一运用二次根式的运算法则、整式乘法公式对四个选项分别计算，将计算结果与选项给出的结果对比，即可找出错误选项。计算时针对不同运算类型选择对应法则：二次根式除法遵循$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），多项式乘多项式可套用完全平方公式、平方差公式简化计算，多项式除以单项式则拆分各项分别相除后再合并。
【解析】
我们逐个计算各选项：
选项A：根据二次根式除法法则，$\sqrt{\dfrac{4}{3}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{21}} = \sqrt{\dfrac{4}{3} ÷ \dfrac{1}{21}} = \sqrt{\dfrac{4}{3} × 21} = \sqrt{28} = \sqrt{4×7} = 2\sqrt{7}$，计算正确，不符合题意；
选项B：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(3 - \sqrt{2})^2 = 3^2 - 2 × 3 × \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}$，计算正确，不符合题意；
选项C：根据多项式除以单项式的运算规则，$(4\sqrt{2} - 3\sqrt{6}) ÷ 2\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} - \frac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = 2 - \frac{3}{2}\sqrt{\dfrac{6}{2}} = 2 - \frac{3}{2}\sqrt{3}$，计算正确，不符合题意；
选项D：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，$(\sqrt{5} + 7)(\sqrt{5} - 7) = (\sqrt{5})^2 - 7^2 = 5 - 49 = -44$，选项给出结果为$-2$，计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式运算；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式运算法则和整式乘法公式的灵活运用，计算时需要注意公式的正确套用，尤其要注意平方运算的准确性，避免因粗心算错平方项导致失分。
【难度系数】
0.8
8. 一题多解 若$x=\sqrt{2}+1$，则代数式$x^2 -2x +2$的值为
3
答案
通解 已知 $x=\sqrt{2}+1$,则 $x^2 -2x +2 = (\sqrt{2}+1)^2 - 2(\sqrt{2}+1) + 2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 - 2\sqrt{2} - 2 + 2 = 3$.
优解 已知 $x=\sqrt{2}+1$,$\therefore x - 1 = \sqrt{2}$,$\therefore x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 = (\sqrt{2})^2 + 1 = 3$.
优解 已知 $x=\sqrt{2}+1$,$\therefore x - 1 = \sqrt{2}$,$\therefore x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 = (\sqrt{2})^2 + 1 = 3$.
解析
【分析】
求解代数式值的问题通常有两种思路：一是直接代入已知的x的值，按照运算规则逐步计算即可；二是先观察代数式的结构，对代数式做适当变形简化后再代入计算，能减少运算量。本题中代数式$x^2-2x+2$的前两项符合完全平方公式的特征，可先配方，再结合x的值得到$x-1=\sqrt{2}$，代入配方后的式子计算更简便。
【解析】
方法一（直接代入法）：
把$x=\sqrt{2}+1$代入代数式得：
$x^2 -2x +2 = (\sqrt{2}+1)^2 - 2(\sqrt{2}+1) + 2$
$= 2 + 2\sqrt{2} + 1 - 2\sqrt{2} - 2 + 2$
$=3$
方法二（配方法）：
由$x=\sqrt{2}+1$，移项得$x-1=\sqrt{2}$，
对代数式变形：$x^2 - 2x + 2 = (x^2-2x+1)+1=(x-1)^2+1$，
将$x-1=\sqrt{2}$代入得：原式$=(\sqrt{2})^2 +1=2+1=3$
【答案】
3
【知识点】
二次根式运算，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，两种解法均可得到正确结果，其中先对代数式配方再代入的方法运算量更小，出错率更低，解题时可优先观察代数式结构，选择简便方法计算。
【难度系数】
0.8
求解代数式值的问题通常有两种思路：一是直接代入已知的x的值，按照运算规则逐步计算即可；二是先观察代数式的结构，对代数式做适当变形简化后再代入计算，能减少运算量。本题中代数式$x^2-2x+2$的前两项符合完全平方公式的特征，可先配方，再结合x的值得到$x-1=\sqrt{2}$，代入配方后的式子计算更简便。
【解析】
方法一（直接代入法）：
把$x=\sqrt{2}+1$代入代数式得：
$x^2 -2x +2 = (\sqrt{2}+1)^2 - 2(\sqrt{2}+1) + 2$
$= 2 + 2\sqrt{2} + 1 - 2\sqrt{2} - 2 + 2$
$=3$
方法二（配方法）：
由$x=\sqrt{2}+1$，移项得$x-1=\sqrt{2}$，
对代数式变形：$x^2 - 2x + 2 = (x^2-2x+1)+1=(x-1)^2+1$，
将$x-1=\sqrt{2}$代入得：原式$=(\sqrt{2})^2 +1=2+1=3$
【答案】
3
【知识点】
二次根式运算，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，两种解法均可得到正确结果，其中先对代数式配方再代入的方法运算量更小，出错率更低，解题时可优先观察代数式结构，选择简便方法计算。
【难度系数】
0.8
9. 计算:
(1) [2025 德阳中考] $(\dfrac{1}{3})^{-2} - \sqrt{8} + |2 - 2\sqrt{2}|$；
(2) $(\sqrt{3} + 2)^{2025} × (\sqrt{3} - 2)^{2024}$；
(3) $\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} - \sqrt{3} × (\sqrt{27} + \sqrt{12}) + (\sqrt{2} - 1)^2$。
(1) [2025 德阳中考] $(\dfrac{1}{3})^{-2} - \sqrt{8} + |2 - 2\sqrt{2}|$；
(2) $(\sqrt{3} + 2)^{2025} × (\sqrt{3} - 2)^{2024}$；
(3) $\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} - \sqrt{3} × (\sqrt{27} + \sqrt{12}) + (\sqrt{2} - 1)^2$。
答案
(1) $(\frac{1}{3})^{-2} - \sqrt{8} + |2 - 2\sqrt{2}|$
$= (3^{-1})^{-2} - \sqrt{4 × 2} + (2\sqrt{2} - 2)$
$= 3^2 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2$
$= 9 - 2$
$= 7$.
(2) $(\sqrt{3} + 2)^{2025} × (\sqrt{3} - 2)^{2024}$
$= (\sqrt{3} + 2) × (\sqrt{3} + 2)^{2024} × (\sqrt{3} - 2)^{2024}$
$= (\sqrt{3} + 2) × [(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)]^{2024}$
$= (\sqrt{3} + 2) × (-1)^{2024}$
$= \sqrt{3} + 2$.
(3) $\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} - \sqrt{3} × (\sqrt{27} + \sqrt{12}) + (\sqrt{2} - 1)^2$
$= \sqrt{18 ÷ 2} - \sqrt{3} × \sqrt{27} - \sqrt{3} × \sqrt{12} + (\sqrt{2})^2 - 2 × \sqrt{2} × 1 + 1^2$
$= \sqrt{9} - \sqrt{3 × 27} - \sqrt{3 × 12} + 2 - 2\sqrt{2} + 1$
$= 3 - \sqrt{81} - \sqrt{36} + 2 - 2\sqrt{2} + 1$
$= 3 - 9 - 6 + 2 - 2\sqrt{2} + 1$
$= -9 - 2\sqrt{2}$.
实数运算中的运算律同样适用于二次根式的运算:
(1)$\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})=\sqrt{ab}+\sqrt{ac}$;
(2)$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{c}+\sqrt{d})=\sqrt{ac}+\sqrt{ad}+\sqrt{bc}+\sqrt{bd}$;
(3)$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=a-b$;
(4)$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2\pm2\sqrt{ab}+(\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$.
$= (3^{-1})^{-2} - \sqrt{4 × 2} + (2\sqrt{2} - 2)$
$= 3^2 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2$
$= 9 - 2$
$= 7$.
(2) $(\sqrt{3} + 2)^{2025} × (\sqrt{3} - 2)^{2024}$
$= (\sqrt{3} + 2) × (\sqrt{3} + 2)^{2024} × (\sqrt{3} - 2)^{2024}$
$= (\sqrt{3} + 2) × [(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)]^{2024}$
$= (\sqrt{3} + 2) × (-1)^{2024}$
$= \sqrt{3} + 2$.
(3) $\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} - \sqrt{3} × (\sqrt{27} + \sqrt{12}) + (\sqrt{2} - 1)^2$
$= \sqrt{18 ÷ 2} - \sqrt{3} × \sqrt{27} - \sqrt{3} × \sqrt{12} + (\sqrt{2})^2 - 2 × \sqrt{2} × 1 + 1^2$
$= \sqrt{9} - \sqrt{3 × 27} - \sqrt{3 × 12} + 2 - 2\sqrt{2} + 1$
$= 3 - \sqrt{81} - \sqrt{36} + 2 - 2\sqrt{2} + 1$
$= 3 - 9 - 6 + 2 - 2\sqrt{2} + 1$
$= -9 - 2\sqrt{2}$.
实数运算中的运算律同样适用于二次根式的运算:
(1)$\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})=\sqrt{ab}+\sqrt{ac}$;
(2)$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{c}+\sqrt{d})=\sqrt{ac}+\sqrt{ad}+\sqrt{bc}+\sqrt{bd}$;
(3)$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=a-b$;
(4)$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2\pm2\sqrt{ab}+(\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$.
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题可按以下思路展开：
(1) 先分别计算负整数指数幂、化简二次根式、去绝对值，再合并同类项即可。注意负整数指数幂$(\frac{1}{a})^{-p}=a^p$（$a≠0$，$p$为正整数），判断绝对值内代数式的正负后再去绝对值符号；
(2) 先利用同底数幂的乘法法则将$(\sqrt{3}+2)^{2025}$拆分为$(\sqrt{3}+2)×(\sqrt{3}+2)^{2024}$，再逆用积的乘方运算法则，结合平方差公式计算即可；
(3) 按照二次根式混合运算顺序：先算乘方、乘除，后算加减，有括号可利用乘法分配律去括号，其中二次根式除法可按$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}$计算，乘法按$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$计算，完全平方公式按$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开，最后合并同类项即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(\frac{1}{3})^{-2} - \sqrt{8} + |2 - 2\sqrt{2}|&=(3^{-1})^{-2} - \sqrt{4 × 2} + (2\sqrt{2} - 2)\\&= 3^2 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2\\&= 9 - 2\\&=7\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(\sqrt{3} + 2)^{2025} × (\sqrt{3} - 2)^{2024}&= (\sqrt{3} + 2) × (\sqrt{3} + 2)^{2024} × (\sqrt{3} - 2)^{2024}\\&= (\sqrt{3} + 2) × [(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)]^{2024}\\&= (\sqrt{3} + 2) × (-1)^{2024}\\&= \sqrt{3} + 2\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} - \sqrt{3} × (\sqrt{27} + \sqrt{12}) + (\sqrt{2} - 1)^2&= \sqrt{18 ÷ 2} - \sqrt{3} × \sqrt{27} - \sqrt{3} × \sqrt{12} + (\sqrt{2})^2 - 2 × \sqrt{2} × 1 + 1^2\\&= \sqrt{9} - \sqrt{3 × 27} - \sqrt{3 × 12} + 2 - 2\sqrt{2} + 1\\&= 3 - \sqrt{81} - \sqrt{36} + 2 - 2\sqrt{2} + 1\\&= 3 - 9 - 6 + 2 - 2\sqrt{2} + 1\\&= -9 - 2\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$7$；(2)$\sqrt{3}+2$；(3)$-9-2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的混合运算，负整数指数幂，乘法公式的应用
【点评】
本题属于二次根式运算的常规题型，覆盖了实数运算的多个基础考点，计算时需注意运算顺序，去绝对值、化简二次根式时要注意符号的变化，灵活运用幂的运算性质和乘法公式可大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的混合运算，解题可按以下思路展开：
(1) 先分别计算负整数指数幂、化简二次根式、去绝对值，再合并同类项即可。注意负整数指数幂$(\frac{1}{a})^{-p}=a^p$（$a≠0$，$p$为正整数），判断绝对值内代数式的正负后再去绝对值符号；
(2) 先利用同底数幂的乘法法则将$(\sqrt{3}+2)^{2025}$拆分为$(\sqrt{3}+2)×(\sqrt{3}+2)^{2024}$，再逆用积的乘方运算法则，结合平方差公式计算即可；
(3) 按照二次根式混合运算顺序：先算乘方、乘除，后算加减，有括号可利用乘法分配律去括号，其中二次根式除法可按$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}$计算，乘法按$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$计算，完全平方公式按$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开，最后合并同类项即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}(\frac{1}{3})^{-2} - \sqrt{8} + |2 - 2\sqrt{2}|&=(3^{-1})^{-2} - \sqrt{4 × 2} + (2\sqrt{2} - 2)\\&= 3^2 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2\\&= 9 - 2\\&=7\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(\sqrt{3} + 2)^{2025} × (\sqrt{3} - 2)^{2024}&= (\sqrt{3} + 2) × (\sqrt{3} + 2)^{2024} × (\sqrt{3} - 2)^{2024}\\&= (\sqrt{3} + 2) × [(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2)]^{2024}\\&= (\sqrt{3} + 2) × (-1)^{2024}\\&= \sqrt{3} + 2\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} - \sqrt{3} × (\sqrt{27} + \sqrt{12}) + (\sqrt{2} - 1)^2&= \sqrt{18 ÷ 2} - \sqrt{3} × \sqrt{27} - \sqrt{3} × \sqrt{12} + (\sqrt{2})^2 - 2 × \sqrt{2} × 1 + 1^2\\&= \sqrt{9} - \sqrt{3 × 27} - \sqrt{3 × 12} + 2 - 2\sqrt{2} + 1\\&= 3 - \sqrt{81} - \sqrt{36} + 2 - 2\sqrt{2} + 1\\&= 3 - 9 - 6 + 2 - 2\sqrt{2} + 1\\&= -9 - 2\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$7$；(2)$\sqrt{3}+2$；(3)$-9-2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的混合运算，负整数指数幂，乘法公式的应用
【点评】
本题属于二次根式运算的常规题型，覆盖了实数运算的多个基础考点，计算时需注意运算顺序，去绝对值、化简二次根式时要注意符号的变化，灵活运用幂的运算性质和乘法公式可大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
10. [2025榆林模拟] 比较大小：$2\sqrt{3}$
＞
3.（填“＞”“＜”或“=”）答案
$\because (2\sqrt{3})^2 = 12,3^2 = 9,12 ＞ 9,\therefore 2\sqrt{3} ＞ 3$.
解析
【分析】
要比较两个正数的大小，可采用平方法：对于正数a、b，若a²＞b²，则a＞b，反之也成立。本题中$2\sqrt{3}$和3都是正数，将二者分别平方后，$2\sqrt{3}$的平方可去掉根号转化为整数，3的平方也是整数，比较两个整数的大小即可得到原数的大小关系。
【解析】
解：
∵$2\sqrt{3}$和3均为正数，且
$(2\sqrt{3})^2=2^2×(\sqrt{3})^2=4×3=12$，
$3^2=9$，
又
∵$12＞9$，
∴$2\sqrt{3}＞3$。
【答案】
$＞$
【知识点】
二次根式大小比较；乘方法比较实数大小
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，平方法是解决带根号正数比较大小问题的常用技巧，计算难度低，核心是掌握正数的平方大小关系与原数大小关系一致的规律。
【难度系数】
0.8
要比较两个正数的大小，可采用平方法：对于正数a、b，若a²＞b²，则a＞b，反之也成立。本题中$2\sqrt{3}$和3都是正数，将二者分别平方后，$2\sqrt{3}$的平方可去掉根号转化为整数，3的平方也是整数，比较两个整数的大小即可得到原数的大小关系。
【解析】
解：
∵$2\sqrt{3}$和3均为正数，且
$(2\sqrt{3})^2=2^2×(\sqrt{3})^2=4×3=12$，
$3^2=9$，
又
∵$12＞9$，
∴$2\sqrt{3}＞3$。
【答案】
$＞$
【知识点】
二次根式大小比较；乘方法比较实数大小
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，平方法是解决带根号正数比较大小问题的常用技巧，计算难度低，核心是掌握正数的平方大小关系与原数大小关系一致的规律。
【难度系数】
0.8
11. [2025 西安模拟] 比较大小：$4\sqrt{3}$
（填“＞”“＜”或“=”）
＜
$5\sqrt{2}$.（填“＞”“＜”或“=”）
答案
$\because (4\sqrt{3})^2 = 48,(5\sqrt{2})^2 = 50,48 ＜ 50,\therefore 4\sqrt{3} ＜ 5\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要比较两个正二次根式的大小，可利用正数的性质：对于两个正数，平方大的数本身也更大，因此可以采用平方法，先分别计算两个二次根式的平方，再比较平方结果的大小，进而推出原数的大小关系。
【解析】
解：已知$4\sqrt{3}＞0$，$5\sqrt{2}＞0$，
分别计算两数的平方：
$(4\sqrt{3})^2 = 4^2×(\sqrt{3})^2 = 16×3 = 48$，
$(5\sqrt{2})^2 = 5^2×(\sqrt{2})^2 = 25×2 = 50$，
因为$48＜50$，所以$(4\sqrt{3})^2 ＜ (5\sqrt{2})^2$，
根据正数的平方越大，原数越大，可得$4\sqrt{3} ＜ 5\sqrt{2}$。
【答案】
$＜$
【知识点】
1. 二次根式比较大小
2. 二次根式的乘方运算
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，平方法是解决此类正二次根式大小比较问题的常用技巧，计算简单，掌握核心逻辑即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要比较两个正二次根式的大小，可利用正数的性质：对于两个正数，平方大的数本身也更大，因此可以采用平方法，先分别计算两个二次根式的平方，再比较平方结果的大小，进而推出原数的大小关系。
【解析】
解：已知$4\sqrt{3}＞0$，$5\sqrt{2}＞0$，
分别计算两数的平方：
$(4\sqrt{3})^2 = 4^2×(\sqrt{3})^2 = 16×3 = 48$，
$(5\sqrt{2})^2 = 5^2×(\sqrt{2})^2 = 25×2 = 50$，
因为$48＜50$，所以$(4\sqrt{3})^2 ＜ (5\sqrt{2})^2$，
根据正数的平方越大，原数越大，可得$4\sqrt{3} ＜ 5\sqrt{2}$。
【答案】
$＜$
【知识点】
1. 二次根式比较大小
2. 二次根式的乘方运算
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，平方法是解决此类正二次根式大小比较问题的常用技巧，计算简单，掌握核心逻辑即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12. 一题多解 比较$\frac{2}{\sqrt{5}},\sqrt{\frac{2}{5}},\frac{\sqrt{2}}{5}$的大小.
答案
通解1 $(\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = \frac{4}{5},(\sqrt{\frac{2}{5}})^2 = \frac{2}{5},(\frac{\sqrt{2}}{5})^2 = \frac{2}{25}$.
$\because \frac{2}{25} ＜ \frac{2}{5} ＜ \frac{4}{5},\therefore \frac{\sqrt{2}}{5} ＜ \sqrt{\frac{2}{5}} ＜ \frac{2}{\sqrt{5}}$.
通解2 $\because \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{20}}{5},\sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5},\frac{\sqrt{2}}{5} ＜ \frac{\sqrt{10}}{5} ＜ \frac{\sqrt{20}}{5}$,$\therefore \frac{\sqrt{2}}{5} ＜ \sqrt{\frac{2}{5}} ＜ \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$\because \frac{2}{25} ＜ \frac{2}{5} ＜ \frac{4}{5},\therefore \frac{\sqrt{2}}{5} ＜ \sqrt{\frac{2}{5}} ＜ \frac{2}{\sqrt{5}}$.
通解2 $\because \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{20}}{5},\sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5},\frac{\sqrt{2}}{5} ＜ \frac{\sqrt{10}}{5} ＜ \frac{\sqrt{20}}{5}$,$\therefore \frac{\sqrt{2}}{5} ＜ \sqrt{\frac{2}{5}} ＜ \frac{2}{\sqrt{5}}$.
解析
【分析】
要比较三个正数形式的二次根式相关式子的大小，可利用两类常用方法：一是平方法，因为正数平方后大小关系与原数一致，通过计算平方转化为普通分数比较，计算更简便；二是统一分母法，将三个式子都化为分母为5的形式，只需比较分子的算术平方根大小即可，算术平方根的被开方数越大，对应值越大。
【解析】
方法一（平方法）：
已知三个数均为正数，正数平方后不等号方向不变。
分别计算三个数的平方：
$(\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = \frac{2^2}{(\sqrt{5})^2} = \frac{4}{5}$，
$(\sqrt{\frac{2}{5}})^2 = \frac{2}{5}$，
$(\frac{\sqrt{2}}{5})^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{5^2} = \frac{2}{25}$。
比较平方后的结果：$\frac{2}{25} ＜ \frac{2}{5} ＜ \frac{4}{5}$，
因此原数的大小关系与平方后大小关系一致。
方法二（统一分母法）：
先将前两个二次根式化简，统一分母为5：
$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{20}}{5}$，
$\sqrt{\frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{2×5}{5×5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$，
第三个数本身为$\frac{\sqrt{2}}{5}$。
三个数分母相同，只需比较分子：被开方数$2＜10＜20$，因此$\sqrt{2}＜\sqrt{10}＜\sqrt{20}$，不等号方向在除以正数5后保持不变。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{5} ＜ \sqrt{\frac{2}{5}} ＜ \frac{2}{\sqrt{5}}$
【知识点】
二次根式大小比较，二次根式化简，不等式基本性质
【点评】
本题考查二次根式大小比较的常用技巧，平方法和统一形式法都是解决这类问题的常规方法，可根据式子特征灵活选择，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
要比较三个正数形式的二次根式相关式子的大小，可利用两类常用方法：一是平方法，因为正数平方后大小关系与原数一致，通过计算平方转化为普通分数比较，计算更简便；二是统一分母法，将三个式子都化为分母为5的形式，只需比较分子的算术平方根大小即可，算术平方根的被开方数越大，对应值越大。
【解析】
方法一（平方法）：
已知三个数均为正数，正数平方后不等号方向不变。
分别计算三个数的平方：
$(\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = \frac{2^2}{(\sqrt{5})^2} = \frac{4}{5}$，
$(\sqrt{\frac{2}{5}})^2 = \frac{2}{5}$，
$(\frac{\sqrt{2}}{5})^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{5^2} = \frac{2}{25}$。
比较平方后的结果：$\frac{2}{25} ＜ \frac{2}{5} ＜ \frac{4}{5}$，
因此原数的大小关系与平方后大小关系一致。
方法二（统一分母法）：
先将前两个二次根式化简，统一分母为5：
$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{20}}{5}$，
$\sqrt{\frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{2×5}{5×5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$，
第三个数本身为$\frac{\sqrt{2}}{5}$。
三个数分母相同，只需比较分子：被开方数$2＜10＜20$，因此$\sqrt{2}＜\sqrt{10}＜\sqrt{20}$，不等号方向在除以正数5后保持不变。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{5} ＜ \sqrt{\frac{2}{5}} ＜ \frac{2}{\sqrt{5}}$
【知识点】
二次根式大小比较，二次根式化简，不等式基本性质
【点评】
本题考查二次根式大小比较的常用技巧，平方法和统一形式法都是解决这类问题的常规方法，可根据式子特征灵活选择，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
