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13. [2024 重庆中考B卷]估计$\sqrt{12}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$的值应在（
A.8和9之间
B.9和10之间
C.10和11之间
D.11和12之间
C
）A.8和9之间
B.9和10之间
C.10和11之间
D.11和12之间
答案
$\because \sqrt{12}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = \sqrt{12 × 2} + \sqrt{12 × 3} = \sqrt{24} + \sqrt{36} = \sqrt{24} + 6. \because 16 ＜ 24 ＜ 25,\therefore 4 ＜ \sqrt{24} ＜ 5,\therefore 10 ＜ \sqrt{24} + 6 ＜ 11$.
无理数$\sqrt{a} (a ＞ 0)$的估算方法
(1)先确定 $a$ 的范围:$m ＜ a ＜ n$,其中 $m,n$ 为相邻的完全平方数;(2)将 $m,a,n$ 同时开方,得$\sqrt{m} ＜ \sqrt{a} ＜ \sqrt{n}$.
无理数$\sqrt{a} (a ＞ 0)$的估算方法
(1)先确定 $a$ 的范围:$m ＜ a ＜ n$,其中 $m,n$ 为相邻的完全平方数;(2)将 $m,a,n$ 同时开方,得$\sqrt{m} ＜ \sqrt{a} ＜ \sqrt{n}$.
解析
【分析】
解题时先利用二次根式的乘法分配律将原式展开化简，得到含无理数的最简形式，再找到被开方数介于哪两个相邻的完全平方数之间，从而估算出无理数的取值范围，最后计算出整个式子的取值范围即可判断所在区间。
【解析】
首先利用乘法分配律展开计算：
$\sqrt{12}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\sqrt{12×2}+\sqrt{12×3}=\sqrt{24}+\sqrt{36}=\sqrt{24}+6$
接下来估算$\sqrt{24}$的范围：
$\because 16＜24＜25$，其中16和25是相邻的完全平方数
$\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{24}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{24}＜5$
将不等式各部分同时加6，可得：
$4+6＜\sqrt{24}+6＜5+6$，即$10＜\sqrt{12}(\sqrt{2}+\sqrt{3})＜11$
因此原式的值在10和11之间。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法运算；无理数的估算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查二次根式的运算和无理数的估算能力，解题的关键是先对原式进行化简，再通过夹逼法估算无理数的范围，是中考中常考的类型题。
【难度系数】
0.75
解题时先利用二次根式的乘法分配律将原式展开化简，得到含无理数的最简形式，再找到被开方数介于哪两个相邻的完全平方数之间，从而估算出无理数的取值范围，最后计算出整个式子的取值范围即可判断所在区间。
【解析】
首先利用乘法分配律展开计算：
$\sqrt{12}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\sqrt{12×2}+\sqrt{12×3}=\sqrt{24}+\sqrt{36}=\sqrt{24}+6$
接下来估算$\sqrt{24}$的范围：
$\because 16＜24＜25$，其中16和25是相邻的完全平方数
$\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{24}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{24}＜5$
将不等式各部分同时加6，可得：
$4+6＜\sqrt{24}+6＜5+6$，即$10＜\sqrt{12}(\sqrt{2}+\sqrt{3})＜11$
因此原式的值在10和11之间。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法运算；无理数的估算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查二次根式的运算和无理数的估算能力，解题的关键是先对原式进行化简，再通过夹逼法估算无理数的范围，是中考中常考的类型题。
【难度系数】
0.75
14. 新趋势·开放题 [2023潍坊中考] 从$-\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$中任意选择两个数，分别填在算式$(□+○)^2÷\sqrt{2}$里面的“”与“○”中，计算该算式的结果是
$\frac{5\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{3}$(答案不唯一)
.(只需写出一种结果)答案
若“”中填 $-\sqrt{2}$,“○”中填$\sqrt{3}$,则 $(-\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 ÷ \sqrt{2} = (5 - 2\sqrt{6}) ÷ \sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
这是一道开放类二次根式运算题，解题思路如下：第一步先从给定的三个数中任选两个分别填入方框和圆圈；第二步先计算括号内两数和的平方，需用完全平方公式展开；第三步将展开后的结果除以$\sqrt{2}$，进行二次根式的除法运算，最后将结果化为最简二次根式即可。我们以选$-\sqrt{2}$填方框、$\sqrt{3}$填圆圈为例计算。
【解析】
选择将$-\sqrt{2}$填入“”，$\sqrt{3}$填入“○”，代入算式计算：
1. 计算完全平方项：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得：
$(-\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (-\sqrt{2})^2 + 2×(-\sqrt{2})×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 - 2\sqrt{6} + 3 = 5 - 2\sqrt{6}$
2. 计算二次根式除法：
$(5 - 2\sqrt{6}) ÷ \sqrt{2} = \frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$
3. 化简结果：
对$\frac{5}{\sqrt{2}}$分母有理化得$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}$，因此最终结果为$\frac{5\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{3}$。
【答案】
$\frac{5\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{3}$（答案不唯一）
【知识点】
完全平方公式、二次根式混合运算、分母有理化
【点评】
本题为开放型试题，答案不唯一，侧重考查二次根式的运算能力，只要熟练掌握完全平方公式和二次根式化简规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是一道开放类二次根式运算题，解题思路如下：第一步先从给定的三个数中任选两个分别填入方框和圆圈；第二步先计算括号内两数和的平方，需用完全平方公式展开；第三步将展开后的结果除以$\sqrt{2}$，进行二次根式的除法运算，最后将结果化为最简二次根式即可。我们以选$-\sqrt{2}$填方框、$\sqrt{3}$填圆圈为例计算。
【解析】
选择将$-\sqrt{2}$填入“”，$\sqrt{3}$填入“○”，代入算式计算：
1. 计算完全平方项：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得：
$(-\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (-\sqrt{2})^2 + 2×(-\sqrt{2})×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 - 2\sqrt{6} + 3 = 5 - 2\sqrt{6}$
2. 计算二次根式除法：
$(5 - 2\sqrt{6}) ÷ \sqrt{2} = \frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$
3. 化简结果：
对$\frac{5}{\sqrt{2}}$分母有理化得$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{3}$，因此最终结果为$\frac{5\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{3}$。
【答案】
$\frac{5\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{3}$（答案不唯一）
【知识点】
完全平方公式、二次根式混合运算、分母有理化
【点评】
本题为开放型试题，答案不唯一，侧重考查二次根式的运算能力，只要熟练掌握完全平方公式和二次根式化简规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
15. 比较大小：$\sqrt{6} + \sqrt{11}$ ______ $\sqrt{14} + \sqrt{3}$.（填“＞”“＜”或“=”）
答案
＞
$(\sqrt{6} + \sqrt{11})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 × \sqrt{6} × \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 = 6 + 11 + 2\sqrt{66} = 17 + 2\sqrt{66}$,$(\sqrt{14} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{14})^2 + 2 × \sqrt{14} × \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 14 + 3 + 2\sqrt{42} = 17 + 2\sqrt{42}. \because 17 + 2\sqrt{66} ＞ 17 + 2\sqrt{42},\therefore \sqrt{6} + \sqrt{11} ＞ \sqrt{14} + \sqrt{3}$.
$(\sqrt{6} + \sqrt{11})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 × \sqrt{6} × \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 = 6 + 11 + 2\sqrt{66} = 17 + 2\sqrt{66}$,$(\sqrt{14} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{14})^2 + 2 × \sqrt{14} × \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 14 + 3 + 2\sqrt{42} = 17 + 2\sqrt{42}. \because 17 + 2\sqrt{66} ＞ 17 + 2\sqrt{42},\therefore \sqrt{6} + \sqrt{11} ＞ \sqrt{14} + \sqrt{3}$.
解析
【分析】
要比较两个二次根式和的大小，由于两个式子的运算结果均为正数，根据“正数的平方越大，原数越大”的性质，我们可以先分别计算两个式子的平方，将含根号的运算转化为更易比较的形式，展开后对比两者的大小即可得到原式的大小关系。
【解析】
解：
∵$\sqrt{6}+\sqrt{11}＞0$，$\sqrt{14}+\sqrt{3}＞0$，对两个式子分别平方得：
$(\sqrt{6} + \sqrt{11})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 × \sqrt{6} × \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 = 6 + 11 + 2\sqrt{66} = 17 + 2\sqrt{66}$，
$(\sqrt{14} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{14})^2 + 2 × \sqrt{14} × \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 14 + 3 + 2\sqrt{42} = 17 + 2\sqrt{42}$，
∵$\sqrt{66}＞\sqrt{42}$，
∴$17 + 2\sqrt{66} ＞ 17 + 2\sqrt{42}$，
∴$\sqrt{6} + \sqrt{11} ＞ \sqrt{14} + \sqrt{3}$。
【答案】
＞
【知识点】
完全平方公式，二次根式运算，实数大小比较
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型题型，平方法是解决这类两个正二次根式和（差）大小比较的常用技巧，运用时需注意先判断两边均为正数，保证平方前后大小关系一致。
【难度系数】
0.7
要比较两个二次根式和的大小，由于两个式子的运算结果均为正数，根据“正数的平方越大，原数越大”的性质，我们可以先分别计算两个式子的平方，将含根号的运算转化为更易比较的形式，展开后对比两者的大小即可得到原式的大小关系。
【解析】
解：
∵$\sqrt{6}+\sqrt{11}＞0$，$\sqrt{14}+\sqrt{3}＞0$，对两个式子分别平方得：
$(\sqrt{6} + \sqrt{11})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 × \sqrt{6} × \sqrt{11} + (\sqrt{11})^2 = 6 + 11 + 2\sqrt{66} = 17 + 2\sqrt{66}$，
$(\sqrt{14} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{14})^2 + 2 × \sqrt{14} × \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 14 + 3 + 2\sqrt{42} = 17 + 2\sqrt{42}$，
∵$\sqrt{66}＞\sqrt{42}$，
∴$17 + 2\sqrt{66} ＞ 17 + 2\sqrt{42}$，
∴$\sqrt{6} + \sqrt{11} ＞ \sqrt{14} + \sqrt{3}$。
【答案】
＞
【知识点】
完全平方公式，二次根式运算，实数大小比较
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型题型，平方法是解决这类两个正二次根式和（差）大小比较的常用技巧，运用时需注意先判断两边均为正数，保证平方前后大小关系一致。
【难度系数】
0.7
16. 对于任意两个正数$m,n$,定义运算@:$m@n=\begin{cases}\sqrt{m}-\sqrt{n} & (m≥ n), \\ \sqrt{m}+\sqrt{n} & (m＜ n).\end{cases}$则$(8@3)×(18@27)$的计算结果为 ______ .
答案
$3+3\sqrt{6}$
$(8@3) × (18@27) = (\sqrt{8} - \sqrt{3})(\sqrt{18} + \sqrt{27}) = (2\sqrt{2} - \sqrt{3})(3\sqrt{2} + 3\sqrt{3}) = 12 + 6\sqrt{6} - 3\sqrt{6} - 9 = 3 + 3\sqrt{6}$.
$(8@3) × (18@27) = (\sqrt{8} - \sqrt{3})(\sqrt{18} + \sqrt{27}) = (2\sqrt{2} - \sqrt{3})(3\sqrt{2} + 3\sqrt{3}) = 12 + 6\sqrt{6} - 3\sqrt{6} - 9 = 3 + 3\sqrt{6}$.
解析
【分析】
解题时首先要读懂新定义运算@的规则：先比较运算符号前后两个正数的大小，若前者大于等于后者，运算结果为两数算术平方根的差；若前者小于后者，运算结果为两数算术平方根的和。第一步先分别计算两个括号内的新定义运算，再将得到的二次根式化简，最后按照多项式乘多项式的法则展开、合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
首先计算括号内的新定义运算：
1. 计算$8@3$：
因为$8＞3$，满足$m≥ n$的情况，所以$8@3=\sqrt{8}-\sqrt{3}=2\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
2. 计算$18@27$：
因为$18＜27$，满足$m＜ n$的情况，所以$18@27=\sqrt{18}+\sqrt{27}=3\sqrt{2}+3\sqrt{3}$。
3. 计算两个式子的乘积：
$\begin{aligned}(8@3)×(18@27)&=(2\sqrt{2}-\sqrt{3})(3\sqrt{2}+3\sqrt{3})\\&=2\sqrt{2}×3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}×3\sqrt{3} - \sqrt{3}×3\sqrt{2} - \sqrt{3}×3\sqrt{3}\\&=12 + 6\sqrt{6} - 3\sqrt{6} -9\\&=3+3\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
$3+3\sqrt{6}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，二次根式混合运算
【点评】
本题将新定义运算和二次根式的计算结合，核心考查二次根式的化简与混合运算能力，解题的关键是准确理解新运算的规则，计算过程中注意二次根式乘法法则的正确运用，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂新定义运算@的规则：先比较运算符号前后两个正数的大小，若前者大于等于后者，运算结果为两数算术平方根的差；若前者小于后者，运算结果为两数算术平方根的和。第一步先分别计算两个括号内的新定义运算，再将得到的二次根式化简，最后按照多项式乘多项式的法则展开、合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
首先计算括号内的新定义运算：
1. 计算$8@3$：
因为$8＞3$，满足$m≥ n$的情况，所以$8@3=\sqrt{8}-\sqrt{3}=2\sqrt{2}-\sqrt{3}$。
2. 计算$18@27$：
因为$18＜27$，满足$m＜ n$的情况，所以$18@27=\sqrt{18}+\sqrt{27}=3\sqrt{2}+3\sqrt{3}$。
3. 计算两个式子的乘积：
$\begin{aligned}(8@3)×(18@27)&=(2\sqrt{2}-\sqrt{3})(3\sqrt{2}+3\sqrt{3})\\&=2\sqrt{2}×3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}×3\sqrt{3} - \sqrt{3}×3\sqrt{2} - \sqrt{3}×3\sqrt{3}\\&=12 + 6\sqrt{6} - 3\sqrt{6} -9\\&=3+3\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
$3+3\sqrt{6}$
【知识点】
新定义运算，二次根式化简，二次根式混合运算
【点评】
本题将新定义运算和二次根式的计算结合，核心考查二次根式的化简与混合运算能力，解题的关键是准确理解新运算的规则，计算过程中注意二次根式乘法法则的正确运用，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
17. 先化简,再求值:$(x - 2y)^2 + x(5y - x) - 4y^2$,其中$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}, y = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}.$
答案
解:$(x - 2y)^2 + x(5y - x) - 4y^2 = x^2 + 4y^2 - 4xy + 5xy - x^2 - 4y^2 = xy$.
当 $x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2},y = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 时,
原式 $= xy = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} × \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}{4} = \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4} = 1$.
当 $x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2},y = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 时,
原式 $= xy = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} × \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}{4} = \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4} = 1$.
解析
【分析】
对于整式化简求值类题目，优先化简原式可避免直接代入复杂数值带来的繁琐计算。解题时第一步先利用完全平方公式展开$(x-2y)^2$，再根据单项式乘多项式的法则计算$x(5y-x)$，之后合并同类项得到最简结果；最后将$x$、$y$的取值代入最简式，计算时可借助平方差公式简化二次根式的乘法运算，快速得出结果。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}(x - 2y)^2 + x(5y - x) - 4y^2 &= x^2 -4xy + 4y^2 +5xy -x^2 -4y^2 \\&= (x^2 -x^2)+(4y^2 -4y^2)+(-4xy+5xy) \\&= xy\end{aligned}$
再代入$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}, y = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$计算：
$\begin{aligned}原式 &= xy \\&= \frac{\sqrt{5} + 1}{2} × \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \\&= \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4} \\&= \frac{5-1}{4} \\&= 1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
整式的混合运算；平方差公式；二次根式的运算
【点评】
本题是整式运算与二次根式计算结合的典型常考题，熟练掌握相关运算公式和法则是解题的关键，先化简再求值的思路可大幅降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
对于整式化简求值类题目，优先化简原式可避免直接代入复杂数值带来的繁琐计算。解题时第一步先利用完全平方公式展开$(x-2y)^2$，再根据单项式乘多项式的法则计算$x(5y-x)$，之后合并同类项得到最简结果；最后将$x$、$y$的取值代入最简式，计算时可借助平方差公式简化二次根式的乘法运算，快速得出结果。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}(x - 2y)^2 + x(5y - x) - 4y^2 &= x^2 -4xy + 4y^2 +5xy -x^2 -4y^2 \\&= (x^2 -x^2)+(4y^2 -4y^2)+(-4xy+5xy) \\&= xy\end{aligned}$
再代入$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}, y = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$计算：
$\begin{aligned}原式 &= xy \\&= \frac{\sqrt{5} + 1}{2} × \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \\&= \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4} \\&= \frac{5-1}{4} \\&= 1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
整式的混合运算；平方差公式；二次根式的运算
【点评】
本题是整式运算与二次根式计算结合的典型常考题，熟练掌握相关运算公式和法则是解题的关键，先化简再求值的思路可大幅降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
18. 教材复习题变式 已知 $a + \frac{1}{a} = \sqrt{7}$，求下列各式的值.
(1) $a^2 + \frac{1}{a^2}$;
(2) $a^2 - \frac{1}{a^2}$.
(1) $a^2 + \frac{1}{a^2}$;
(2) $a^2 - \frac{1}{a^2}$.
答案
解:(1) $\because a + \frac{1}{a} = \sqrt{7}$,
$\therefore (a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 7$,$\therefore a^2 + \frac{1}{a^2} = 5$.
(2)由(1)得,$a^2 + \frac{1}{a^2} = 5$,
$\therefore (a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 5 - 2 = 3$,$\therefore a - \frac{1}{a} = ±\sqrt{3}$.
又$\because a^2 - \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})(a - \frac{1}{a})$,
$\therefore$ 当 $a - \frac{1}{a} = \sqrt{3}$ 时,$a^2 - \frac{1}{a^2} = \sqrt{7} × \sqrt{3} = \sqrt{21}$;
当 $a - \frac{1}{a} = -\sqrt{3}$ 时,$a^2 - \frac{1}{a^2} = \sqrt{7} × (-\sqrt{3}) = -\sqrt{21}$.
$\therefore (a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 7$,$\therefore a^2 + \frac{1}{a^2} = 5$.
(2)由(1)得,$a^2 + \frac{1}{a^2} = 5$,
$\therefore (a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 5 - 2 = 3$,$\therefore a - \frac{1}{a} = ±\sqrt{3}$.
又$\because a^2 - \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})(a - \frac{1}{a})$,
$\therefore$ 当 $a - \frac{1}{a} = \sqrt{3}$ 时,$a^2 - \frac{1}{a^2} = \sqrt{7} × \sqrt{3} = \sqrt{21}$;
当 $a - \frac{1}{a} = -\sqrt{3}$ 时,$a^2 - \frac{1}{a^2} = \sqrt{7} × (-\sqrt{3}) = -\sqrt{21}$.
解析
【分析】
(1) 观察所求式子$a^2+\frac{1}{a^2}$与已知条件$a+\frac{1}{a}=\sqrt{7}$的关联，可利用完全平方公式将已知等式两边平方，展开后中间项为常数，移项即可直接求出目标式的值；
(2) 先利用平方差公式把$a^2-\frac{1}{a^2}$变形为$(a+\frac{1}{a})(a-\frac{1}{a})$，已知$a+\frac{1}{a}$的值，只需再求出$a-\frac{1}{a}$的值即可。结合(1)的结论，再次利用完全平方公式求出$(a-\frac{1}{a})^2$的值，开方后会得到正负两个结果，分别代入变形后的式子计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) $\because a + \frac{1}{a} = \sqrt{7}$,
$\therefore (a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 7$,
移项得$a^2 + \frac{1}{a^2} = 7 - 2 = 5$.
(2)由(1)得$a^2 + \frac{1}{a^2} = 5$,
$\therefore (a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 5 - 2 = 3$,
开平方得$a - \frac{1}{a} = \pm\sqrt{3}$.
又$\because a^2 - \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})(a - \frac{1}{a})$,
$\therefore$ 当 $a - \frac{1}{a} = \sqrt{3}$ 时,$a^2 - \frac{1}{a^2} = \sqrt{7} × \sqrt{3} = \sqrt{21}$;
当 $a - \frac{1}{a} = -\sqrt{3}$ 时,$a^2 - \frac{1}{a^2} = \sqrt{7} × (-\sqrt{3}) = -\sqrt{21}$.
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{\pm\sqrt{21}}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查乘法公式的灵活变形应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的常见衍生变形，注意正数开平方时存在正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 观察所求式子$a^2+\frac{1}{a^2}$与已知条件$a+\frac{1}{a}=\sqrt{7}$的关联，可利用完全平方公式将已知等式两边平方，展开后中间项为常数，移项即可直接求出目标式的值；
(2) 先利用平方差公式把$a^2-\frac{1}{a^2}$变形为$(a+\frac{1}{a})(a-\frac{1}{a})$，已知$a+\frac{1}{a}$的值，只需再求出$a-\frac{1}{a}$的值即可。结合(1)的结论，再次利用完全平方公式求出$(a-\frac{1}{a})^2$的值，开方后会得到正负两个结果，分别代入变形后的式子计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) $\because a + \frac{1}{a} = \sqrt{7}$,
$\therefore (a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 7$,
移项得$a^2 + \frac{1}{a^2} = 7 - 2 = 5$.
(2)由(1)得$a^2 + \frac{1}{a^2} = 5$,
$\therefore (a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 5 - 2 = 3$,
开平方得$a - \frac{1}{a} = \pm\sqrt{3}$.
又$\because a^2 - \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})(a - \frac{1}{a})$,
$\therefore$ 当 $a - \frac{1}{a} = \sqrt{3}$ 时,$a^2 - \frac{1}{a^2} = \sqrt{7} × \sqrt{3} = \sqrt{21}$;
当 $a - \frac{1}{a} = -\sqrt{3}$ 时,$a^2 - \frac{1}{a^2} = \sqrt{7} × (-\sqrt{3}) = -\sqrt{21}$.
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{\pm\sqrt{21}}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查乘法公式的灵活变形应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的常见衍生变形，注意正数开平方时存在正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7
19. 教材复习题变式|运算能力 把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 把$\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$这类的式子分母有理化，有如下两种方法.
方法一：$\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(a - b)(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$.
方法二：$\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$.
(1) 请你选一种方法，将$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$分母有理化.
(2) 计算：$\frac{1}{2 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{6} + 2} + \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{8}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2024}}$.
方法一：$\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(a - b)(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$.
方法二：$\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$.
(1) 请你选一种方法，将$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$分母有理化.
(2) 计算：$\frac{1}{2 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{6} + 2} + \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{8}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2024}}$.
答案
解:(1)选择一种方法求解即可.
方法一:$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.
方法二:$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.
(2)$\because \frac{1}{2 + \sqrt{2}} = \frac{1 × (2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$,
$\frac{1}{\sqrt{6} + 2} = \frac{1 × (\sqrt{6} - 2)}{(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2)} = \frac{1 × (\sqrt{6} - 2)}{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{6} - 2}{2}$,
$\frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{6}} = \frac{1 × (\sqrt{8} - \sqrt{6})}{(\sqrt{8} + \sqrt{6})(\sqrt{8} - \sqrt{6})} = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{6}}{(\sqrt{8})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{6}}{2}$,
…
$\frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2024}}$
$= \frac{1 × (\sqrt{2026} - \sqrt{2024})}{(\sqrt{2026} + \sqrt{2024})(\sqrt{2026} - \sqrt{2024})}$
$= \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2024}}{(\sqrt{2026})^2 - (\sqrt{2024})^2} = \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2024}}{2}$,
$\therefore \frac{1}{2 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{6} + 2} + \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{8}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2024}}$
$= \frac{2 - \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} - 2}{2} + \dots + \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2024}}{2}$
$= \frac{(2 - \sqrt{2}) + (\sqrt{6} - 2) + \dots + (\sqrt{2026} - \sqrt{2024})}{2}$
$= \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2}}{2}$.
方法一:$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.
方法二:$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.
(2)$\because \frac{1}{2 + \sqrt{2}} = \frac{1 × (2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$,
$\frac{1}{\sqrt{6} + 2} = \frac{1 × (\sqrt{6} - 2)}{(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2)} = \frac{1 × (\sqrt{6} - 2)}{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{6} - 2}{2}$,
$\frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{6}} = \frac{1 × (\sqrt{8} - \sqrt{6})}{(\sqrt{8} + \sqrt{6})(\sqrt{8} - \sqrt{6})} = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{6}}{(\sqrt{8})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{6}}{2}$,
…
$\frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2024}}$
$= \frac{1 × (\sqrt{2026} - \sqrt{2024})}{(\sqrt{2026} + \sqrt{2024})(\sqrt{2026} - \sqrt{2024})}$
$= \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2024}}{(\sqrt{2026})^2 - (\sqrt{2024})^2} = \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2024}}{2}$,
$\therefore \frac{1}{2 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{6} + 2} + \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{8}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2024}}$
$= \frac{2 - \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} - 2}{2} + \dots + \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2024}}{2}$
$= \frac{(2 - \sqrt{2}) + (\sqrt{6} - 2) + \dots + (\sqrt{2026} - \sqrt{2024})}{2}$
$= \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
(1) 对$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$分母有理化有两种常用思路：思路1：利用平方差公式，给分子分母同乘分母的有理化因式$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，消去分母中的根号；思路2：将分子1改写为$(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2$，因式分解后与分母约分即可得到化简结果。
(2) 计算多个二次根式分式的和时，先观察每一项的共性：分母是两个二次根式的和，且两个被开方数的差恒为2。先对每一项分别分母有理化，会发现每一项化简后分子是两个二次根式的差、分母都是2，再合并所有项，中间项会相互抵消，仅剩下首尾两项，最后化简即可得到结果。
【解析】
(1) 选择方法一求解：
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1×(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
（选择方法二求解结果一致）
(2) 先对每一项分别分母有理化：
$\frac{1}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4-2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{6} + 2} = \frac{\sqrt{6} - 2}{(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2)} = \frac{\sqrt{6} - 2}{6-4} = \frac{\sqrt{6} - 2}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{6}}{(\sqrt{8} + \sqrt{6})(\sqrt{8} - \sqrt{6})} = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{6}}{8-6} = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{6}}{2}$
……
$\frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2024}} = \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2024}}{(\sqrt{2026} + \sqrt{2024})(\sqrt{2026} - \sqrt{2024})} = \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2024}}{2026-2024} = \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2024}}{2}$
将所有项代入原式求和：
$\begin{aligned}原式&= \frac{2 - \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} - 2}{2} + \frac{\sqrt{8} - \sqrt{6}}{2} + \dots + \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2024}}{2}\\&= \frac{(2 - \sqrt{2}) + (\sqrt{6} - 2) + (\sqrt{8} - \sqrt{6}) + \dots + (\sqrt{2026} - \sqrt{2024})}{2}\\&= \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$
(2) $\frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式加减运算
【点评】
本题重点考查分母有理化的应用及裂项相消的运算技巧，解题关键是掌握分母有理化的常用方法，能观察出式子的规律，通过抵消中间项简化运算，避免逐一计算导致的错误。
【难度系数】
0.6
(1) 对$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$分母有理化有两种常用思路：思路1：利用平方差公式，给分子分母同乘分母的有理化因式$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，消去分母中的根号；思路2：将分子1改写为$(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2$，因式分解后与分母约分即可得到化简结果。
(2) 计算多个二次根式分式的和时，先观察每一项的共性：分母是两个二次根式的和，且两个被开方数的差恒为2。先对每一项分别分母有理化，会发现每一项化简后分子是两个二次根式的差、分母都是2，再合并所有项，中间项会相互抵消，仅剩下首尾两项，最后化简即可得到结果。
【解析】
(1) 选择方法一求解：
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1×(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
（选择方法二求解结果一致）
(2) 先对每一项分别分母有理化：
$\frac{1}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4-2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{6} + 2} = \frac{\sqrt{6} - 2}{(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2)} = \frac{\sqrt{6} - 2}{6-4} = \frac{\sqrt{6} - 2}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{6}}{(\sqrt{8} + \sqrt{6})(\sqrt{8} - \sqrt{6})} = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{6}}{8-6} = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{6}}{2}$
……
$\frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2024}} = \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2024}}{(\sqrt{2026} + \sqrt{2024})(\sqrt{2026} - \sqrt{2024})} = \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2024}}{2026-2024} = \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2024}}{2}$
将所有项代入原式求和：
$\begin{aligned}原式&= \frac{2 - \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} - 2}{2} + \frac{\sqrt{8} - \sqrt{6}}{2} + \dots + \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2024}}{2}\\&= \frac{(2 - \sqrt{2}) + (\sqrt{6} - 2) + (\sqrt{8} - \sqrt{6}) + \dots + (\sqrt{2026} - \sqrt{2024})}{2}\\&= \frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$
(2) $\frac{\sqrt{2026} - \sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式加减运算
【点评】
本题重点考查分母有理化的应用及裂项相消的运算技巧，解题关键是掌握分母有理化的常用方法，能观察出式子的规律，通过抵消中间项简化运算，避免逐一计算导致的错误。
【难度系数】
0.6
