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14. 教材习题变式 化简$\sqrt{-\dfrac{b^2}{a}}$的结果是（
A.$-\dfrac{|b|}{a}\sqrt{-a}$
B.$-\dfrac{b}{a}\sqrt{a}$
C.$-\dfrac{b}{|a|}\sqrt{-a}$
D.$\dfrac{|b|}{a}\sqrt{-a}$
A
）A.$-\dfrac{|b|}{a}\sqrt{-a}$
B.$-\dfrac{b}{a}\sqrt{a}$
C.$-\dfrac{b}{|a|}\sqrt{-a}$
D.$\dfrac{|b|}{a}\sqrt{-a}$
答案
A $\because b^2≥0,\therefore a＜0.\therefore \sqrt{-\dfrac{b^2}{a}} = \sqrt{\dfrac{b^2}{-a}} = \sqrt{\dfrac{-ab^2}{(-a)^2}} = \dfrac{\sqrt{-ab^2}}{\sqrt{(-a)^2}} = \dfrac{|b|\sqrt{-a}}{-a} = -\dfrac{|b|}{a}\sqrt{-a}.$
解析
【分析】
要化简该二次根式，第一步需根据二次根式有意义的条件（被开方数非负、分母不为0）确定字母a的取值范围；第二步利用二次根式的性质，将被开方数的分母转化为完全平方形式，便于开方运算；第三步开方时要注意算术平方根的非负性，对平方项开方后需加绝对值，再结合a的符号去掉绝对值，最终得到化简结果。
【解析】
首先判断a的取值范围：
二次根式$\sqrt{-\dfrac{b^2}{a}}$有意义，需满足$-\dfrac{b^2}{a}≥0$且$a≠0$。
$\because b^2≥0$，要使不等式成立，可得$a＜0$。
接下来逐步化简：
$\begin{aligned}\sqrt{-\dfrac{b^2}{a}}&=\sqrt{\dfrac{b^2}{-a}}\\&=\sqrt{\dfrac{b^2·(-a)}{(-a)·(-a)}}=\sqrt{\dfrac{-ab^2}{(-a)^2}}\\&=\dfrac{\sqrt{-ab^2}}{\sqrt{(-a)^2}}\\&=\dfrac{|b|\sqrt{-a}}{|-a|}\end{aligned}$
$\because a＜0$，$\therefore |-a|=-a$，代入得：
$\dfrac{|b|\sqrt{-a}}{-a}=-\dfrac{|b|}{a}\sqrt{-a}$
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的常规题型，易错点是忽略题目隐含的a的符号，以及开平方时遗漏对非负性的考虑、漏加绝对值，解题时优先确定字母的取值范围是避免出错的关键。
【难度系数】
0.6
要化简该二次根式，第一步需根据二次根式有意义的条件（被开方数非负、分母不为0）确定字母a的取值范围；第二步利用二次根式的性质，将被开方数的分母转化为完全平方形式，便于开方运算；第三步开方时要注意算术平方根的非负性，对平方项开方后需加绝对值，再结合a的符号去掉绝对值，最终得到化简结果。
【解析】
首先判断a的取值范围：
二次根式$\sqrt{-\dfrac{b^2}{a}}$有意义，需满足$-\dfrac{b^2}{a}≥0$且$a≠0$。
$\because b^2≥0$，要使不等式成立，可得$a＜0$。
接下来逐步化简：
$\begin{aligned}\sqrt{-\dfrac{b^2}{a}}&=\sqrt{\dfrac{b^2}{-a}}\\&=\sqrt{\dfrac{b^2·(-a)}{(-a)·(-a)}}=\sqrt{\dfrac{-ab^2}{(-a)^2}}\\&=\dfrac{\sqrt{-ab^2}}{\sqrt{(-a)^2}}\\&=\dfrac{|b|\sqrt{-a}}{|-a|}\end{aligned}$
$\because a＜0$，$\therefore |-a|=-a$，代入得：
$\dfrac{|b|\sqrt{-a}}{-a}=-\dfrac{|b|}{a}\sqrt{-a}$
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的常规题型，易错点是忽略题目隐含的a的符号，以及开平方时遗漏对非负性的考虑、漏加绝对值，解题时优先确定字母的取值范围是避免出错的关键。
【难度系数】
0.6
15. 一题多解 在如图的方格中,任意一行、一列或一条对角线上的3个实数相乘,结果均相等,则两个空格处的实数之积为
$6\sqrt{2}$
.答案
$6\sqrt{2}$
通解 由题意可知,第一行三个数的乘积为$3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3} = 6\sqrt{6}.$ 设第二行中间的数为$x$,则$1 × x × 6 = 6\sqrt{6}$,解得$x=\sqrt{6}$. 设第三行第一个数为$y$,则$y × 3 × \sqrt{2} = 6\sqrt{6}$,解得$y=2\sqrt{3}$,所以两个空格处的实数之积为$xy = \sqrt{6} × 2\sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}.$
优解 设两个空格处的实数分别为$a,b$. 根据题意得,$ab × \sqrt{3} = 3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3}$,解得$ab = \dfrac{3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{2}.$
通解 由题意可知,第一行三个数的乘积为$3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3} = 6\sqrt{6}.$ 设第二行中间的数为$x$,则$1 × x × 6 = 6\sqrt{6}$,解得$x=\sqrt{6}$. 设第三行第一个数为$y$,则$y × 3 × \sqrt{2} = 6\sqrt{6}$,解得$y=2\sqrt{3}$,所以两个空格处的实数之积为$xy = \sqrt{6} × 2\sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}.$
优解 设两个空格处的实数分别为$a,b$. 根据题意得,$ab × \sqrt{3} = 3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3}$,解得$ab = \dfrac{3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{2}.$
解析
【分析】
解题核心是利用“任意一行、一列、对角线上三个实数乘积相等”的条件，有两种思路：①常规思路：先用已知数完整的第一行算出公共乘积，再分别根据第二行、第三行的乘积等于公共乘积，列方程求出两个空格的数值，最后计算两数乘积；②巧解思路：观察副对角线（第一行第三列、第二行第二列、第三行第一列）的三个数，仅两个空格是未知量，其乘积与第一行乘积相等，可直接列式求两空格的乘积，无需分别计算两个数，更简便。
【解析】
方法一（通解）：
1. 计算公共乘积：由第一行的三个数可得
$S=3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3}=6\sqrt{6}$
2. 设第二行中间的数为$x$，根据第二行乘积等于$S$列方程：
$1 × x × 6 = 6\sqrt{6}$，解得$x=\sqrt{6}$
3. 设第三行第一个数为$y$，根据第三行乘积等于$S$列方程：
$y × 3 × \sqrt{2} = 6\sqrt{6}$，解得$y=2\sqrt{3}$
4. 计算两空格的乘积：$xy=\sqrt{6} × 2\sqrt{3}=2\sqrt{18}=6\sqrt{2}$
方法二（优解）：
设两个空格的数分别为$a$、$b$，副对角线三个数的乘积等于第一行的乘积，列方程得：
$ab × \sqrt{3} = 3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3}$
两边同时除以$\sqrt{3}$，直接得$ab=3\sqrt{2} × 2=6\sqrt{2}$
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式运算，方程思想，幻方规律
【点评】
这道题是二次根式运算的创新应用，既可以按常规步骤逐步求解，也可以通过观察图形特点简化运算，能有效考查学生的运算能力和观察分析能力，引导学生多角度思考问题。
【难度系数】
0.7
解题核心是利用“任意一行、一列、对角线上三个实数乘积相等”的条件，有两种思路：①常规思路：先用已知数完整的第一行算出公共乘积，再分别根据第二行、第三行的乘积等于公共乘积，列方程求出两个空格的数值，最后计算两数乘积；②巧解思路：观察副对角线（第一行第三列、第二行第二列、第三行第一列）的三个数，仅两个空格是未知量，其乘积与第一行乘积相等，可直接列式求两空格的乘积，无需分别计算两个数，更简便。
【解析】
方法一（通解）：
1. 计算公共乘积：由第一行的三个数可得
$S=3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3}=6\sqrt{6}$
2. 设第二行中间的数为$x$，根据第二行乘积等于$S$列方程：
$1 × x × 6 = 6\sqrt{6}$，解得$x=\sqrt{6}$
3. 设第三行第一个数为$y$，根据第三行乘积等于$S$列方程：
$y × 3 × \sqrt{2} = 6\sqrt{6}$，解得$y=2\sqrt{3}$
4. 计算两空格的乘积：$xy=\sqrt{6} × 2\sqrt{3}=2\sqrt{18}=6\sqrt{2}$
方法二（优解）：
设两个空格的数分别为$a$、$b$，副对角线三个数的乘积等于第一行的乘积，列方程得：
$ab × \sqrt{3} = 3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3}$
两边同时除以$\sqrt{3}$，直接得$ab=3\sqrt{2} × 2=6\sqrt{2}$
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式运算，方程思想，幻方规律
【点评】
这道题是二次根式运算的创新应用，既可以按常规步骤逐步求解，也可以通过观察图形特点简化运算，能有效考查学生的运算能力和观察分析能力，引导学生多角度思考问题。
【难度系数】
0.7
16. 新趋势·过程性学习 [2026 鹤壁湘江中学月考] 已知 $\sqrt{7}=a,\sqrt{70}=b$,用含 $a,b$ 的代数式表示 $\sqrt{4.9}$.
两位同学分别写出了自己的解答过程.
甲：$\sqrt{4.9} = \sqrt{\frac{49}{10}} = \sqrt{\frac{49 × 10}{10 × 10}} = \sqrt{\frac{490}{100}} = \frac{\sqrt{7 × 70}}{10} = \frac{\sqrt{7} × \sqrt{70}}{10} = \frac{ab}{10}.$
乙：$\sqrt{4.9} = \sqrt{\frac{49}{10}} = \sqrt{\frac{49 × 10}{10 × 10}} = \frac{7\sqrt{10}}{10} = \frac{7}{10} × \sqrt{\frac{70}{7}} = \frac{7}{10} × \frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}} = \frac{7b}{10a}.$
(1) 两位同学的解答都正确吗？
(2) 丙得出的结果为 $\frac{7a}{b}$,丙的结果正确吗？
请你通过写出解答过程说明理由.
两位同学分别写出了自己的解答过程.
甲：$\sqrt{4.9} = \sqrt{\frac{49}{10}} = \sqrt{\frac{49 × 10}{10 × 10}} = \sqrt{\frac{490}{100}} = \frac{\sqrt{7 × 70}}{10} = \frac{\sqrt{7} × \sqrt{70}}{10} = \frac{ab}{10}.$
乙：$\sqrt{4.9} = \sqrt{\frac{49}{10}} = \sqrt{\frac{49 × 10}{10 × 10}} = \frac{7\sqrt{10}}{10} = \frac{7}{10} × \sqrt{\frac{70}{7}} = \frac{7}{10} × \frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}} = \frac{7b}{10a}.$
(1) 两位同学的解答都正确吗？
(2) 丙得出的结果为 $\frac{7a}{b}$,丙的结果正确吗？
请你通过写出解答过程说明理由.
答案
解:(1)都正确.
(2)正确. 理由如下:
$\sqrt{4.9} = \sqrt{\dfrac{49}{10}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{10}} = \dfrac{7}{\sqrt{10}} = 7\sqrt{\dfrac{1}{10}} = 7\sqrt{\dfrac{7}{70}} = 7\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}} = 7\dfrac{a}{b} = \dfrac{7a}{b}.$
(2)正确. 理由如下:
$\sqrt{4.9} = \sqrt{\dfrac{49}{10}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{10}} = \dfrac{7}{\sqrt{10}} = 7\sqrt{\dfrac{1}{10}} = 7\sqrt{\dfrac{7}{70}} = 7\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}} = 7\dfrac{a}{b} = \dfrac{7a}{b}.$
解析
【分析】
解决本题的核心是利用二次根式的乘除运算法则，先将$\sqrt{4.9}$化简为统一的最简形式，再通过变形将其与已知的$\sqrt{7}=a$、$\sqrt{70}=b$建立联系；判断不同结果是否正确时，既可以直接推导每个结果是否等于$\sqrt{4.9}$，也可以验证不同代数式化简后是否等价。首先把$\sqrt{4.9}$转化为分数形式的二次根式，再调整被开方数的分子分母凑出7和70的组合，代入$a、b$即可验证各结果的正确性。
【解析】
(1) 判断甲、乙的解答是否正确：
先化简$\sqrt{4.9}$得：$\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\frac{7\sqrt{10}}{10}$。
① 验证甲的结果：已知$a=\sqrt{7},b=\sqrt{70}$，则$ab=\sqrt{7}×\sqrt{70}=\sqrt{490}=\sqrt{49×10}=7\sqrt{10}$，因此$\frac{ab}{10}=\frac{7\sqrt{10}}{10}$，和$\sqrt{4.9}$的化简结果一致，甲的解答正确。
② 验证乙的结果：$\frac{7b}{10a}=\frac{7×\sqrt{70}}{10×\sqrt{7}}=\frac{7}{10}×\sqrt{\frac{70}{7}}=\frac{7\sqrt{10}}{10}$，和$\sqrt{4.9}$的化简结果一致，乙的解答正确。
故两位同学的解答都正确。
(2) 判断丙的结果是否正确：
对$\sqrt{4.9}$变形推导：
$\sqrt{4.9} = \sqrt{\dfrac{49}{10}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{10}} = \dfrac{7}{\sqrt{10}} = 7\sqrt{\dfrac{1}{10}} = 7\sqrt{\dfrac{7}{70}}$，
代入$\sqrt{7}=a,\sqrt{70}=b$，可得$\sqrt{4.9}=\dfrac{7\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\dfrac{7a}{b}$，和丙的结果一致，因此丙的结果正确。
【答案】
(1) 两位同学的解答都正确；
(2) 丙的结果正确，理由如下：$\sqrt{4.9} = \sqrt{\dfrac{49}{10}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{10}} = \dfrac{7}{\sqrt{10}} = 7\sqrt{\dfrac{1}{10}} = 7\sqrt{\dfrac{7}{70}} = \dfrac{7\sqrt{7}}{\sqrt{70}} = \dfrac{7a}{b}$。
【知识点】
二次根式乘除运算；二次根式化简；代数式变形
【点评】
本题考查二次根式的性质与运算，解题关键是灵活对被开方数进行拆分或重组，将待求式转化为含已知条件的形式，需注意同一个二次根式可以表示为多种形式的代数式，可通过化简验证是否等价。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用二次根式的乘除运算法则，先将$\sqrt{4.9}$化简为统一的最简形式，再通过变形将其与已知的$\sqrt{7}=a$、$\sqrt{70}=b$建立联系；判断不同结果是否正确时，既可以直接推导每个结果是否等于$\sqrt{4.9}$，也可以验证不同代数式化简后是否等价。首先把$\sqrt{4.9}$转化为分数形式的二次根式，再调整被开方数的分子分母凑出7和70的组合，代入$a、b$即可验证各结果的正确性。
【解析】
(1) 判断甲、乙的解答是否正确：
先化简$\sqrt{4.9}$得：$\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\frac{7\sqrt{10}}{10}$。
① 验证甲的结果：已知$a=\sqrt{7},b=\sqrt{70}$，则$ab=\sqrt{7}×\sqrt{70}=\sqrt{490}=\sqrt{49×10}=7\sqrt{10}$，因此$\frac{ab}{10}=\frac{7\sqrt{10}}{10}$，和$\sqrt{4.9}$的化简结果一致，甲的解答正确。
② 验证乙的结果：$\frac{7b}{10a}=\frac{7×\sqrt{70}}{10×\sqrt{7}}=\frac{7}{10}×\sqrt{\frac{70}{7}}=\frac{7\sqrt{10}}{10}$，和$\sqrt{4.9}$的化简结果一致，乙的解答正确。
故两位同学的解答都正确。
(2) 判断丙的结果是否正确：
对$\sqrt{4.9}$变形推导：
$\sqrt{4.9} = \sqrt{\dfrac{49}{10}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{10}} = \dfrac{7}{\sqrt{10}} = 7\sqrt{\dfrac{1}{10}} = 7\sqrt{\dfrac{7}{70}}$，
代入$\sqrt{7}=a,\sqrt{70}=b$，可得$\sqrt{4.9}=\dfrac{7\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\dfrac{7a}{b}$，和丙的结果一致，因此丙的结果正确。
【答案】
(1) 两位同学的解答都正确；
(2) 丙的结果正确，理由如下：$\sqrt{4.9} = \sqrt{\dfrac{49}{10}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{10}} = \dfrac{7}{\sqrt{10}} = 7\sqrt{\dfrac{1}{10}} = 7\sqrt{\dfrac{7}{70}} = \dfrac{7\sqrt{7}}{\sqrt{70}} = \dfrac{7a}{b}$。
【知识点】
二次根式乘除运算；二次根式化简；代数式变形
【点评】
本题考查二次根式的性质与运算，解题关键是灵活对被开方数进行拆分或重组，将待求式转化为含已知条件的形式，需注意同一个二次根式可以表示为多种形式的代数式，可通过化简验证是否等价。
【难度系数】
0.7
17. 新情境 如图,座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期,记为$T$(单位:s),设摆长为$l$(单位:m),周期与摆长满足关系:$T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}$,其中$g=9.8\ \mathrm{m/s}^2$.($\sqrt{5}\approx2.24$,π取3,精确到0.01)
(1)若一台座钟的摆长为0.49 m,求摆针摆动一个来回所需的时间.
(2)为使摆针摆动一个来回所需的时间为1 s,座钟的摆长应设计为多少米?
(1)若一台座钟的摆长为0.49 m,求摆针摆动一个来回所需的时间.
(2)为使摆针摆动一个来回所需的时间为1 s,座钟的摆长应设计为多少米?
答案
解:(1)已知$l=0.49\ \mathrm{m}$,$g=9.8\ \mathrm{m/s}^2$,$π=3$,
则$T=2π\sqrt{\dfrac{l}{g}} = 2 × 3 × \sqrt{\dfrac{0.49}{9.8}} = 6 × \sqrt{\dfrac{49}{980}} = 6 × \sqrt{\dfrac{1}{20}} = 6 × \dfrac{1}{\sqrt{20}} = 6 × \dfrac{1}{\sqrt{4 × 5}} = 6 × \dfrac{1}{2\sqrt{5}} = 6 × \dfrac{\sqrt{5}}{10} ≈ 6 × \dfrac{2.24}{10} ≈ 1.34.$
答:摆针摆动一个来回所需的时间约为$1.34\ \mathrm{s}$.
(2)将$T=2π\sqrt{\dfrac{l}{g}}$变形,得$\sqrt{\dfrac{l}{g}} = \dfrac{T}{2π}$,$\therefore l = g × (\dfrac{T}{2π})^2$.
已知$T=1\ \mathrm{s}$,$g=9.8\ \mathrm{m/s}^2$,$π=3$,
$\therefore l = g × (\dfrac{T}{2π})^2 = 9.8 × (\dfrac{1}{2 × 3})^2 = 9.8 × \dfrac{1}{36} ≈ 0.27.$
答:座钟的摆长应设计为约$0.27\ \mathrm{m}$.
则$T=2π\sqrt{\dfrac{l}{g}} = 2 × 3 × \sqrt{\dfrac{0.49}{9.8}} = 6 × \sqrt{\dfrac{49}{980}} = 6 × \sqrt{\dfrac{1}{20}} = 6 × \dfrac{1}{\sqrt{20}} = 6 × \dfrac{1}{\sqrt{4 × 5}} = 6 × \dfrac{1}{2\sqrt{5}} = 6 × \dfrac{\sqrt{5}}{10} ≈ 6 × \dfrac{2.24}{10} ≈ 1.34.$
答:摆针摆动一个来回所需的时间约为$1.34\ \mathrm{s}$.
(2)将$T=2π\sqrt{\dfrac{l}{g}}$变形,得$\sqrt{\dfrac{l}{g}} = \dfrac{T}{2π}$,$\therefore l = g × (\dfrac{T}{2π})^2$.
已知$T=1\ \mathrm{s}$,$g=9.8\ \mathrm{m/s}^2$,$π=3$,
$\therefore l = g × (\dfrac{T}{2π})^2 = 9.8 × (\dfrac{1}{2 × 3})^2 = 9.8 × \dfrac{1}{36} ≈ 0.27.$
答:座钟的摆长应设计为约$0.27\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
这是二次根式在实际场景中的应用类题目，解题思路清晰：
(1) 第一问是已知参数求代数式值的题型，直接将摆长$l$、重力加速度$g$、$π$的取值代入给出的周期公式，按照二次根式的化简规则逐步计算，结合题目给出的$\sqrt{5}$近似值求解，最终结果精确到0.01即可。
(2) 第二问是已知代数式值求参数的题型，首先利用等式的性质对周期公式变形，将摆长$l$用含$T$、$π$、$g$的式子表示出来，再代入已知数值计算，结果同样保留两位小数。
【解析】
(1) 已知$l=0.49\ \mathrm{m}$，$g=9.8\ \mathrm{m/s}^2$，$π=3$，代入公式$T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}$：
$\begin{aligned}T&=2×3×\sqrt{\frac{0.49}{9.8}}\\&=6×\sqrt{\frac{49}{980}}\\&=6×\sqrt{\frac{1}{20}}\\&=6×\frac{1}{2\sqrt{5}}\\&=\frac{3\sqrt{5}}{5}\end{aligned}$
将$\sqrt{5}\approx2.24$代入得：$T\approx\frac{3×2.24}{5}=1.344\approx1.34$。
(2) 对$T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}$变形求$l$：
两边同时除以$2π$得$\sqrt{\frac{l}{g}}=\frac{T}{2π}$，两边同时平方得$\frac{l}{g}=(\frac{T}{2π})^2$，即$l=g·(\frac{T}{2π})^2$。
将$T=1\ \mathrm{s}$，$g=9.8\ \mathrm{m/s}^2$，$π=3$代入：
$\begin{aligned}l&=9.8×(\frac{1}{2×3})^2\\&=9.8×\frac{1}{36}\\&\approx0.27\end{aligned}$
【答案】
(1) 摆针摆动一个来回所需的时间约为$\boxed{1.34\ \mathrm{s}}$；
(2) 座钟的摆长应设计为约$\boxed{0.27\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
二次根式化简，代数式求值，等式变形
【点评】
本题结合生活中座钟的摆动场景考查二次根式的相关计算，难度较低，解题时注意准确代入数值，二次根式化简规范，按要求保留近似值即可。
【难度系数】
0.7
这是二次根式在实际场景中的应用类题目，解题思路清晰：
(1) 第一问是已知参数求代数式值的题型，直接将摆长$l$、重力加速度$g$、$π$的取值代入给出的周期公式，按照二次根式的化简规则逐步计算，结合题目给出的$\sqrt{5}$近似值求解，最终结果精确到0.01即可。
(2) 第二问是已知代数式值求参数的题型，首先利用等式的性质对周期公式变形，将摆长$l$用含$T$、$π$、$g$的式子表示出来，再代入已知数值计算，结果同样保留两位小数。
【解析】
(1) 已知$l=0.49\ \mathrm{m}$，$g=9.8\ \mathrm{m/s}^2$，$π=3$，代入公式$T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}$：
$\begin{aligned}T&=2×3×\sqrt{\frac{0.49}{9.8}}\\&=6×\sqrt{\frac{49}{980}}\\&=6×\sqrt{\frac{1}{20}}\\&=6×\frac{1}{2\sqrt{5}}\\&=\frac{3\sqrt{5}}{5}\end{aligned}$
将$\sqrt{5}\approx2.24$代入得：$T\approx\frac{3×2.24}{5}=1.344\approx1.34$。
(2) 对$T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}$变形求$l$：
两边同时除以$2π$得$\sqrt{\frac{l}{g}}=\frac{T}{2π}$，两边同时平方得$\frac{l}{g}=(\frac{T}{2π})^2$，即$l=g·(\frac{T}{2π})^2$。
将$T=1\ \mathrm{s}$，$g=9.8\ \mathrm{m/s}^2$，$π=3$代入：
$\begin{aligned}l&=9.8×(\frac{1}{2×3})^2\\&=9.8×\frac{1}{36}\\&\approx0.27\end{aligned}$
【答案】
(1) 摆针摆动一个来回所需的时间约为$\boxed{1.34\ \mathrm{s}}$；
(2) 座钟的摆长应设计为约$\boxed{0.27\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
二次根式化简，代数式求值，等式变形
【点评】
本题结合生活中座钟的摆动场景考查二次根式的相关计算，难度较低，解题时注意准确代入数值，二次根式化简规范，按要求保留近似值即可。
【难度系数】
0.7
18. 运算能力 观察下列等式，并解答下列问题.
等式1: $\sqrt{\dfrac{1}{1×2×3}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
等式2: $\sqrt{\dfrac{1}{2×3×4}} = \dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{3}{8}}$.
等式3: $\sqrt{\dfrac{1}{3×4×5}} = \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{4}{15}}$.
……
(1)请写出等式4:
等式5:
(2)请猜想等式$n$,并进行证明.
等式1: $\sqrt{\dfrac{1}{1×2×3}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
等式2: $\sqrt{\dfrac{1}{2×3×4}} = \dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{3}{8}}$.
等式3: $\sqrt{\dfrac{1}{3×4×5}} = \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{4}{15}}$.
……
(1)请写出等式4:
$\sqrt{\dfrac{1}{4×5×6}} = \dfrac{1}{5}\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
,等式5:
$\sqrt{\dfrac{1}{5×6×7}} = \dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{6}{35}}$
.(2)请猜想等式$n$,并进行证明.
答案
解:(1)$\sqrt{\dfrac{1}{4×5×6}} = \dfrac{1}{5}\sqrt{\dfrac{5}{24}}$ $\sqrt{\dfrac{1}{5×6×7}} = \dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{6}{35}}$
(2)等式$n$:$\sqrt{\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}} = \dfrac{1}{n+1}\sqrt{\dfrac{n+1}{(n+1)^2 - 1}}$.
证明如下:
$\sqrt{\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}} = \sqrt{\dfrac{n+1}{n(n+1)^2(n+2)}} = \sqrt{\dfrac{1}{(n+1)^2}} · \sqrt{\dfrac{n+1}{n(n+2)}} = \dfrac{1}{\sqrt{(n+1)^2}} · \sqrt{\dfrac{n+1}{(n+1-1)(n+1+1)}} = \dfrac{1}{n+1} · \sqrt{\dfrac{n+1}{(n+1)^2 - 1}}.$
(2)等式$n$:$\sqrt{\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}} = \dfrac{1}{n+1}\sqrt{\dfrac{n+1}{(n+1)^2 - 1}}$.
证明如下:
$\sqrt{\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}} = \sqrt{\dfrac{n+1}{n(n+1)^2(n+2)}} = \sqrt{\dfrac{1}{(n+1)^2}} · \sqrt{\dfrac{n+1}{n(n+2)}} = \dfrac{1}{\sqrt{(n+1)^2}} · \sqrt{\dfrac{n+1}{(n+1-1)(n+1+1)}} = \dfrac{1}{n+1} · \sqrt{\dfrac{n+1}{(n+1)^2 - 1}}.$
解析
【分析】
本题是数字规律与二次根式结合的题型，解题思路如下：①先观察已知3个等式的结构特征：左边被开方数均为1除以三个连续正整数的乘积，且第一个乘数对应等式的序号；右边是1除以三个连续数的中间数，再乘根号下（中间数除以中间数的平方减1）。②按照发现的规律直接写出等式4、5；③将规律中的序号替换为n，写出第n个等式的猜想，再利用二次根式的性质，通过变形被开方数、拆分根式的方法证明猜想成立。
【解析】
(1) 观察前3个等式的规律：
等式序号为k时，左边为$\sqrt{\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}}$，右边为$\dfrac{1}{k+1}\sqrt{\dfrac{k+1}{(k+1)^2-1}}$
当k=4时，可得等式4：$\sqrt{\dfrac{1}{4×5×6}} = \dfrac{1}{5}\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
当k=5时，可得等式5：$\sqrt{\dfrac{1}{5×6×7}} = \dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{6}{35}}$
(2) 猜想等式n（n为正整数）为：$\sqrt{\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}} = \dfrac{1}{n+1}\sqrt{\dfrac{n+1}{(n+1)^2 - 1}}$
证明过程如下：
左边$=\sqrt{\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}}$，将被开方数的分子、分母同乘$(n+1)$得：
$=\sqrt{\dfrac{n+1}{n(n+1)^2(n+2)}}$
根据二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b＞0$）拆分根式得：
$=\sqrt{\dfrac{1}{(n+1)^2}} · \sqrt{\dfrac{n+1}{n(n+2)}}$
因为n是正整数，$n+1＞0$，所以$\sqrt{\dfrac{1}{(n+1)^2}}=\dfrac{1}{n+1}$；
又$n(n+2)=(n+1-1)(n+1+1)=(n+1)^2-1$，代入后得：
$=\dfrac{1}{n+1} · \sqrt{\dfrac{n+1}{(n+1)^2 - 1}}=$右边
因此猜想成立。
【答案】
(1)$\sqrt{\dfrac{1}{4×5×6}} = \dfrac{1}{5}\sqrt{\dfrac{5}{24}}$；$\sqrt{\dfrac{1}{5×6×7}} = \dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{6}{35}}$
(2)等式$n$:$\sqrt{\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}} = \dfrac{1}{n+1}\sqrt{\dfrac{n+1}{(n+1)^2 - 1}}$，证明见解析
【知识点】
二次根式的化简；数字规律探究；二次根式的性质
【点评】
本题结合规律探究考查二次根式的运算能力，需要先从已知等式中归纳出通用规律，再利用二次根式的性质验证猜想，既考验观察归纳能力，也要求熟练掌握二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.7
本题是数字规律与二次根式结合的题型，解题思路如下：①先观察已知3个等式的结构特征：左边被开方数均为1除以三个连续正整数的乘积，且第一个乘数对应等式的序号；右边是1除以三个连续数的中间数，再乘根号下（中间数除以中间数的平方减1）。②按照发现的规律直接写出等式4、5；③将规律中的序号替换为n，写出第n个等式的猜想，再利用二次根式的性质，通过变形被开方数、拆分根式的方法证明猜想成立。
【解析】
(1) 观察前3个等式的规律：
等式序号为k时，左边为$\sqrt{\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}}$，右边为$\dfrac{1}{k+1}\sqrt{\dfrac{k+1}{(k+1)^2-1}}$
当k=4时，可得等式4：$\sqrt{\dfrac{1}{4×5×6}} = \dfrac{1}{5}\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
当k=5时，可得等式5：$\sqrt{\dfrac{1}{5×6×7}} = \dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{6}{35}}$
(2) 猜想等式n（n为正整数）为：$\sqrt{\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}} = \dfrac{1}{n+1}\sqrt{\dfrac{n+1}{(n+1)^2 - 1}}$
证明过程如下：
左边$=\sqrt{\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}}$，将被开方数的分子、分母同乘$(n+1)$得：
$=\sqrt{\dfrac{n+1}{n(n+1)^2(n+2)}}$
根据二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b＞0$）拆分根式得：
$=\sqrt{\dfrac{1}{(n+1)^2}} · \sqrt{\dfrac{n+1}{n(n+2)}}$
因为n是正整数，$n+1＞0$，所以$\sqrt{\dfrac{1}{(n+1)^2}}=\dfrac{1}{n+1}$；
又$n(n+2)=(n+1-1)(n+1+1)=(n+1)^2-1$，代入后得：
$=\dfrac{1}{n+1} · \sqrt{\dfrac{n+1}{(n+1)^2 - 1}}=$右边
因此猜想成立。
【答案】
(1)$\sqrt{\dfrac{1}{4×5×6}} = \dfrac{1}{5}\sqrt{\dfrac{5}{24}}$；$\sqrt{\dfrac{1}{5×6×7}} = \dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{6}{35}}$
(2)等式$n$:$\sqrt{\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}} = \dfrac{1}{n+1}\sqrt{\dfrac{n+1}{(n+1)^2 - 1}}$，证明见解析
【知识点】
二次根式的化简；数字规律探究；二次根式的性质
【点评】
本题结合规律探究考查二次根式的运算能力，需要先从已知等式中归纳出通用规律，再利用二次根式的性质验证猜想，既考验观察归纳能力，也要求熟练掌握二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.7
