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1. 计算$\sqrt{27} ÷ \sqrt{\dfrac{3}{2}}$的结果是 （
A.9
B.3
C.$3\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
C
）A.9
B.3
C.$3\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
C $\sqrt{27} ÷ \sqrt{\dfrac{3}{2}} = \sqrt{27 ÷ \dfrac{3}{2}} = \sqrt{27 × \dfrac{2}{3}} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的除法运算法则：两个非负数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根，即$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{a ÷ b}$（$a≥0$，$b＞0$）。第一步先利用该法则将原式转化为被开方数相除的算术平方根；第二步计算被开方数里的除法，除以一个分数等于乘这个分数的倒数，算出被开方数的结果；第三步将得到的二次根式化为最简二次根式，即可得到最终结果匹配对应选项。
【解析】
根据二次根式的除法法则计算：
$\begin{aligned}\sqrt{27} ÷ \sqrt{\dfrac{3}{2}} &= \sqrt{27 ÷ \dfrac{3}{2}} \\&= \sqrt{27 × \dfrac{2}{3}} \\&= \sqrt{18} \\&= 3\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】C
【知识点】
二次根式的除法运算，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的除法法则及最简二次根式的化简，计算时注意除法变乘法的转换，化简时需将被开方数中能开尽方的因数全部提取到根号外。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式的除法运算法则：两个非负数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根，即$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{a ÷ b}$（$a≥0$，$b＞0$）。第一步先利用该法则将原式转化为被开方数相除的算术平方根；第二步计算被开方数里的除法，除以一个分数等于乘这个分数的倒数，算出被开方数的结果；第三步将得到的二次根式化为最简二次根式，即可得到最终结果匹配对应选项。
【解析】
根据二次根式的除法法则计算：
$\begin{aligned}\sqrt{27} ÷ \sqrt{\dfrac{3}{2}} &= \sqrt{27 ÷ \dfrac{3}{2}} \\&= \sqrt{27 × \dfrac{2}{3}} \\&= \sqrt{18} \\&= 3\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】C
【知识点】
二次根式的除法运算，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的除法法则及最简二次根式的化简，计算时注意除法变乘法的转换，化简时需将被开方数中能开尽方的因数全部提取到根号外。
【难度系数】
0.8
2. 计算：$\sqrt{63} ÷ \sqrt{7} - | -4 | =$
-1
.答案
-1 $\sqrt{63} ÷ \sqrt{7} - | -4 | = \sqrt{63 ÷ 7} - 4 = 3 - 4 = -1.$
解析
【分析】
本题是实数的混合运算题，解题时先明确运算顺序：先分别计算二次根式的除法和绝对值，再计算减法。首先回忆二次根式的除法法则：两个非负二次根式相除，等于把被开方数相除后再开方；再根据绝对值的性质化简绝对值，最后将两部分的结果相减即可得到答案。
【解析】
解：原式$=\sqrt{63÷7} - |-4|$
$=\sqrt{9} - 4$
$=3 - 4$
$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式的除法运算、绝对值的性质、实数的混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对二次根式除法法则和绝对值化简规则的掌握，运算时遵循先乘除后加减的顺序，熟练掌握基础运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题是实数的混合运算题，解题时先明确运算顺序：先分别计算二次根式的除法和绝对值，再计算减法。首先回忆二次根式的除法法则：两个非负二次根式相除，等于把被开方数相除后再开方；再根据绝对值的性质化简绝对值，最后将两部分的结果相减即可得到答案。
【解析】
解：原式$=\sqrt{63÷7} - |-4|$
$=\sqrt{9} - 4$
$=3 - 4$
$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式的除法运算、绝对值的性质、实数的混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对二次根式除法法则和绝对值化简规则的掌握，运算时遵循先乘除后加减的顺序，熟练掌握基础运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
3. 教材习题变式 有一个面积为$5\sqrt{6}$的矩形，其中一边长为$2\sqrt{2}$，则这条边的邻边长为
$\dfrac{5}{2}\sqrt{3}$
。答案
$\dfrac{5}{2}\sqrt{3}$ 根据“矩形的面积 = 长 × 宽”可得,这条边的邻边长为$5\sqrt{6} ÷ 2\sqrt{2} = \dfrac{5}{2}\sqrt{3}.$
解析
【分析】
解题首先回忆矩形面积公式：矩形面积等于相邻两边的长度乘积，已知面积和其中一条边长，求邻边长度只需用面积除以已知边长即可；接下来按照二次根式的除法法则运算，将系数和被开方数分别相除，最后把结果化简为最简二次根式即可得到答案。
【解析】
设这条边的邻边长为$ x $，根据矩形面积公式可得：
$2\sqrt{2} · x = 5\sqrt{6}$
求解$ x $：
$\begin{aligned}x&=5\sqrt{6} ÷ 2\sqrt{2}\\&=\frac{5}{2} × \sqrt{\frac{6}{2}}\\&=\frac{5}{2}\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{5}{2}\sqrt{3}$
【知识点】
矩形面积计算、二次根式除法运算、二次根式化简
【点评】
本题属于基础应用题，结合几何面积公式考查二次根式的除法运算，只要掌握二次根式除法法则和矩形面积公式，计算时注意结果要化为最简二次根式即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
解题首先回忆矩形面积公式：矩形面积等于相邻两边的长度乘积，已知面积和其中一条边长，求邻边长度只需用面积除以已知边长即可；接下来按照二次根式的除法法则运算，将系数和被开方数分别相除，最后把结果化简为最简二次根式即可得到答案。
【解析】
设这条边的邻边长为$ x $，根据矩形面积公式可得：
$2\sqrt{2} · x = 5\sqrt{6}$
求解$ x $：
$\begin{aligned}x&=5\sqrt{6} ÷ 2\sqrt{2}\\&=\frac{5}{2} × \sqrt{\frac{6}{2}}\\&=\frac{5}{2}\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{5}{2}\sqrt{3}$
【知识点】
矩形面积计算、二次根式除法运算、二次根式化简
【点评】
本题属于基础应用题，结合几何面积公式考查二次根式的除法运算，只要掌握二次根式除法法则和矩形面积公式，计算时注意结果要化为最简二次根式即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
4. 新考法 [2026达州渠县二中月考] 对于任意两个不相等的数$a,b$,定义新运算“⊕”:$a \oplus b = \dfrac{\sqrt{a + b}}{\sqrt{a - b}}$.
如$3 \oplus 2 = \dfrac{\sqrt{3 + 2}}{\sqrt{3 - 2}} = \sqrt{5}$,则$12 \oplus 4 = \_\_\_\_\_\_$.
如$3 \oplus 2 = \dfrac{\sqrt{3 + 2}}{\sqrt{3 - 2}} = \sqrt{5}$,则$12 \oplus 4 = \_\_\_\_\_\_$.
答案
$\sqrt{2}$ $12 \oplus 4 = \dfrac{\sqrt{12 + 4}}{\sqrt{12 - 4}} = \dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\dfrac{16}{8}} = \sqrt{2}.$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题时首先要明确新运算“⊕”的规则：运算结果为两个数和的算术平方根除以两个数差的算术平方根。先确定本题中对应a、b的取值为a=12、b=4，代入新运算公式后，再按照二次根式的除法运算法则化简计算即可得到结果。
【解析】
根据新运算的定义可得：
$\begin{aligned}12 \oplus 4 &= \dfrac{\sqrt{12 + 4}}{\sqrt{12 - 4}}\\&=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{8}}\\&=\sqrt{\dfrac{16}{8}}\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式的除法，二次根式化简
【点评】
本题属于新定义类基础运算题，核心考查对新运算规则的理解能力以及二次根式运算的应用能力，代入数值时注意区分a、b的位置，按照运算法则正确计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题时首先要明确新运算“⊕”的规则：运算结果为两个数和的算术平方根除以两个数差的算术平方根。先确定本题中对应a、b的取值为a=12、b=4，代入新运算公式后，再按照二次根式的除法运算法则化简计算即可得到结果。
【解析】
根据新运算的定义可得：
$\begin{aligned}12 \oplus 4 &= \dfrac{\sqrt{12 + 4}}{\sqrt{12 - 4}}\\&=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{8}}\\&=\sqrt{\dfrac{16}{8}}\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算，二次根式的除法，二次根式化简
【点评】
本题属于新定义类基础运算题，核心考查对新运算规则的理解能力以及二次根式运算的应用能力，代入数值时注意区分a、b的位置，按照运算法则正确计算即可得分。
【难度系数】
0.8
5. 计算:
(1) $\sqrt{20} ÷ \sqrt{5} × \sqrt{\frac{1}{2}}$;
(2) $2\sqrt{12} × \frac{3}{4} ÷ 3\sqrt{2}$.
(1) $\sqrt{20} ÷ \sqrt{5} × \sqrt{\frac{1}{2}}$;
(2) $2\sqrt{12} × \frac{3}{4} ÷ 3\sqrt{2}$.
答案
解:(1) $\sqrt{20} ÷ \sqrt{5} × \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{20 ÷ 5 × \dfrac{1}{2}} = \sqrt{2}.$
(2) $2\sqrt{12} × \dfrac{3}{4} ÷ 3\sqrt{2} = (2 × \dfrac{3}{4} ÷ 3) × ( \sqrt{12} ÷ \sqrt{2} ) = 2 × \dfrac{3}{4} × \dfrac{1}{3} × \dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} × \sqrt{\dfrac{12}{2}} = \dfrac{1}{2} × \sqrt{6} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}.$
(2) $2\sqrt{12} × \dfrac{3}{4} ÷ 3\sqrt{2} = (2 × \dfrac{3}{4} ÷ 3) × ( \sqrt{12} ÷ \sqrt{2} ) = 2 × \dfrac{3}{4} × \dfrac{1}{3} × \dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} × \sqrt{\dfrac{12}{2}} = \dfrac{1}{2} × \sqrt{6} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}.$
解析
【分析】
这两道题属于二次根式的乘除混合运算，解题可依据二次根式乘除运算法则：二次根式相乘除时，被开方数对应相乘除，根指数保持不变，系数与系数单独对应运算。第(1)题是纯二次根式的乘除，可直接将所有被开方数合并进行乘除运算后再开方化简；第(2)题是带系数的二次根式乘除，可将系数部分和二次根式部分分开计算，再将两部分结果相乘，最终将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
(1) 依据二次根式乘除运算法则合并被开方数计算：
$\sqrt{20} ÷ \sqrt{5} × \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{20 ÷ 5 × \dfrac{1}{2}} = \sqrt{2}$
(2) 分开计算系数部分和二次根式部分，再合并结果：
$2\sqrt{12} × \dfrac{3}{4} ÷ 3\sqrt{2} = (2 × \dfrac{3}{4} ÷ 3) × ( \sqrt{12} ÷ \sqrt{2} )$
先计算系数部分：$2 × \dfrac{3}{4} × \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}$
再计算二次根式部分：$\sqrt{12} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{\dfrac{12}{2}} = \sqrt{6}$
两部分相乘得最终结果：$\dfrac{1}{2} × \sqrt{6} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算、最简二次根式
【点评】
本题是二次根式运算的基础常规题，重点考察二次根式乘除运算法则的掌握程度，运算时注意区分系数和根式部分分别计算，最终结果要化为最简二次根式，能有效巩固二次根式运算的基础能力。
【难度系数】
0.8
这两道题属于二次根式的乘除混合运算，解题可依据二次根式乘除运算法则：二次根式相乘除时，被开方数对应相乘除，根指数保持不变，系数与系数单独对应运算。第(1)题是纯二次根式的乘除，可直接将所有被开方数合并进行乘除运算后再开方化简；第(2)题是带系数的二次根式乘除，可将系数部分和二次根式部分分开计算，再将两部分结果相乘，最终将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
(1) 依据二次根式乘除运算法则合并被开方数计算：
$\sqrt{20} ÷ \sqrt{5} × \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{20 ÷ 5 × \dfrac{1}{2}} = \sqrt{2}$
(2) 分开计算系数部分和二次根式部分，再合并结果：
$2\sqrt{12} × \dfrac{3}{4} ÷ 3\sqrt{2} = (2 × \dfrac{3}{4} ÷ 3) × ( \sqrt{12} ÷ \sqrt{2} )$
先计算系数部分：$2 × \dfrac{3}{4} × \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}$
再计算二次根式部分：$\sqrt{12} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{\dfrac{12}{2}} = \sqrt{6}$
两部分相乘得最终结果：$\dfrac{1}{2} × \sqrt{6} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算、最简二次根式
【点评】
本题是二次根式运算的基础常规题，重点考察二次根式乘除运算法则的掌握程度，运算时注意区分系数和根式部分分别计算，最终结果要化为最简二次根式，能有效巩固二次根式运算的基础能力。
【难度系数】
0.8
6. [2026南阳内乡期中] 下列各式计算正确的是（
A.$\sqrt{\dfrac{-4}{-9}} = \dfrac{\sqrt{-4}}{\sqrt{-9}} = \dfrac{-2}{-3} = \dfrac{2}{3}$
B.$\sqrt{4\dfrac{2}{9}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$\sqrt{\dfrac{3}{4}} = 2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{\dfrac{3}{11}} ÷ \sqrt{3\dfrac{2}{3}} = \sqrt{\dfrac{3}{11} ÷ \dfrac{11}{3}} = \dfrac{3}{11}$
D
）A.$\sqrt{\dfrac{-4}{-9}} = \dfrac{\sqrt{-4}}{\sqrt{-9}} = \dfrac{-2}{-3} = \dfrac{2}{3}$
B.$\sqrt{4\dfrac{2}{9}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$\sqrt{\dfrac{3}{4}} = 2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{\dfrac{3}{11}} ÷ \sqrt{3\dfrac{2}{3}} = \sqrt{\dfrac{3}{11} ÷ \dfrac{11}{3}} = \dfrac{3}{11}$
答案
D 选项A, $\sqrt{-4}$和$\sqrt{-9}$在实数范围内无意义;选项B, $\sqrt{4\dfrac{2}{9}} = \sqrt{\dfrac{38}{9}} = \dfrac{\sqrt{38}}{\sqrt{9}} = \dfrac{\sqrt{38}}{3} ≠ \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$;选项C, $\sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} ≠ 2\sqrt{3}$;选项D, $\sqrt{\dfrac{3}{11}} ÷ \sqrt{3\dfrac{2}{3}} = \sqrt{\dfrac{3}{11} ÷ \dfrac{11}{3}} = \sqrt{\dfrac{3}{11} × \dfrac{3}{11}} = \sqrt{(\dfrac{3}{11})^2} = \dfrac{3}{11}.$
解析
【分析】
这道题考查二次根式的相关运算，解题时需遵循二次根式的基本规则：①二次根式的被开方数必须为非负数，否则在实数范围内无意义；②二次根式除法法则：$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{a ÷ b}$（其中$a≥0$，$b＞0$）；③运算遇到带分数时，要先将带分数化为假分数再计算。我们可以逐一分析每个选项，判断其运算是否符合上述规则，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{-4}$和$\sqrt{-9}$的被开方数为负数，在实数范围内无意义，不能直接套用二次根式除法法则拆分，因此A错误。
选项B：先将带分数化为假分数，$4\dfrac{2}{9}=\dfrac{38}{9}$，因此$\sqrt{4\dfrac{2}{9}}=\sqrt{\dfrac{38}{9}}=\dfrac{\sqrt{38}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{38}}{3} ≠ \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，因此B错误。
选项C：根据二次根式化简规则，$\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} ≠ 2\sqrt{3}$，因此C错误。
选项D：先将带分数$3\dfrac{2}{3}$化为假分数$\dfrac{11}{3}$，再根据二次根式除法法则：$\sqrt{\dfrac{3}{11}} ÷ \sqrt{3\dfrac{2}{3}} = \sqrt{\dfrac{3}{11} ÷ \dfrac{11}{3}} = \sqrt{\dfrac{3}{11} × \dfrac{3}{11}} = \sqrt{(\dfrac{3}{11})^2} = \dfrac{3}{11}$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的除法法则；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，易错点在于忽略二次根式被开方数的非负性、运算前未将带分数化为假分数，解题时牢记二次根式的运算法则和注意事项即可准确判断。
【难度系数】
0.7
这道题考查二次根式的相关运算，解题时需遵循二次根式的基本规则：①二次根式的被开方数必须为非负数，否则在实数范围内无意义；②二次根式除法法则：$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{a ÷ b}$（其中$a≥0$，$b＞0$）；③运算遇到带分数时，要先将带分数化为假分数再计算。我们可以逐一分析每个选项，判断其运算是否符合上述规则，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{-4}$和$\sqrt{-9}$的被开方数为负数，在实数范围内无意义，不能直接套用二次根式除法法则拆分，因此A错误。
选项B：先将带分数化为假分数，$4\dfrac{2}{9}=\dfrac{38}{9}$，因此$\sqrt{4\dfrac{2}{9}}=\sqrt{\dfrac{38}{9}}=\dfrac{\sqrt{38}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{38}}{3} ≠ \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，因此B错误。
选项C：根据二次根式化简规则，$\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} ≠ 2\sqrt{3}$，因此C错误。
选项D：先将带分数$3\dfrac{2}{3}$化为假分数$\dfrac{11}{3}$，再根据二次根式除法法则：$\sqrt{\dfrac{3}{11}} ÷ \sqrt{3\dfrac{2}{3}} = \sqrt{\dfrac{3}{11} ÷ \dfrac{11}{3}} = \sqrt{\dfrac{3}{11} × \dfrac{3}{11}} = \sqrt{(\dfrac{3}{11})^2} = \dfrac{3}{11}$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的除法法则；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，易错点在于忽略二次根式被开方数的非负性、运算前未将带分数化为假分数，解题时牢记二次根式的运算法则和注意事项即可准确判断。
【难度系数】
0.7
7. 计算:
(1)$\sqrt{\dfrac{144}{25}}$;(2)$\sqrt{\dfrac{4}{9}}×0.25$;(3)$\sqrt{\dfrac{64×169}{144}}$.
(1)$\sqrt{\dfrac{144}{25}}$;(2)$\sqrt{\dfrac{4}{9}}×0.25$;(3)$\sqrt{\dfrac{64×169}{144}}$.
答案
解:(1) $\sqrt{\dfrac{144}{25}} = \dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}} = \dfrac{12}{5}$(或$\sqrt{\dfrac{144}{25}} = \sqrt{\dfrac{12^2}{5^2}} = \sqrt{(\dfrac{12}{5})^2} = \dfrac{12}{5}$).
(2) $\sqrt{\dfrac{4}{9}×0.25} = \sqrt{\dfrac{4}{9}} × \sqrt{0.25} = \dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} × 0.5 = \dfrac{2}{3} × 0.5 = \dfrac{1}{3}.$
(3) $\sqrt{\dfrac{64×169}{144}} = \dfrac{\sqrt{64×169}}{\sqrt{144}} = \dfrac{\sqrt{64} × \sqrt{169}}{12} = \dfrac{8 × 13}{12} = \dfrac{26}{3}.$
(2) $\sqrt{\dfrac{4}{9}×0.25} = \sqrt{\dfrac{4}{9}} × \sqrt{0.25} = \dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} × 0.5 = \dfrac{2}{3} × 0.5 = \dfrac{1}{3}.$
(3) $\sqrt{\dfrac{64×169}{144}} = \dfrac{\sqrt{64×169}}{\sqrt{144}} = \dfrac{\sqrt{64} × \sqrt{169}}{12} = \dfrac{8 × 13}{12} = \dfrac{26}{3}.$
解析
【分析】
这三道题均考查二次根式的化简计算，核心用到二次根式的两个基本性质：1. 商的算术平方根等于算术平方根的商，即$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$）；2. 积的算术平方根等于算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）。
解题时逐题对应性质处理：
(1) 直接利用商的算术平方根性质，将分子144、分母25分别开平方后求比值即可；
(2) 先利用积的算术平方根性质，将根号下的两个因数分别开平方，再计算乘积；
(3) 先利用商的算术平方根性质拆分分子分母，分子部分再用积的算术平方根性质拆分两个因数分别开方，最后计算约分得到最简结果。
【解析】
(1) 方法1：$\sqrt{\dfrac{144}{25}} = \dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}} = \dfrac{12}{5}$
方法2：$\sqrt{\dfrac{144}{25}} = \sqrt{\dfrac{12^2}{5^2}} = \sqrt{(\dfrac{12}{5})^2} = \dfrac{12}{5}$
(2) $\sqrt{\dfrac{4}{9}×0.25} = \sqrt{\dfrac{4}{9}} × \sqrt{0.25} = \dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} × 0.5 = \dfrac{2}{3} × \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}$
(3) $\sqrt{\dfrac{64×169}{144}} = \dfrac{\sqrt{64×169}}{\sqrt{144}} = \dfrac{\sqrt{64} × \sqrt{169}}{12} = \dfrac{8 × 13}{12} = \dfrac{104}{12} = \dfrac{26}{3}$
【答案】
(1) $\dfrac{12}{5}$；(2) $\dfrac{1}{3}$；(3) $\dfrac{26}{3}$
【知识点】
商的算术平方根性质、积的算术平方根性质、二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考察二次根式相关性质的灵活运用，计算时需注意被开方数的非负性，最终结果要化为最简形式，熟练掌握常见平方数的开方运算能提高解题效率。
【难度系数】
0.85
这三道题均考查二次根式的化简计算，核心用到二次根式的两个基本性质：1. 商的算术平方根等于算术平方根的商，即$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$）；2. 积的算术平方根等于算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）。
解题时逐题对应性质处理：
(1) 直接利用商的算术平方根性质，将分子144、分母25分别开平方后求比值即可；
(2) 先利用积的算术平方根性质，将根号下的两个因数分别开平方，再计算乘积；
(3) 先利用商的算术平方根性质拆分分子分母，分子部分再用积的算术平方根性质拆分两个因数分别开方，最后计算约分得到最简结果。
【解析】
(1) 方法1：$\sqrt{\dfrac{144}{25}} = \dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}} = \dfrac{12}{5}$
方法2：$\sqrt{\dfrac{144}{25}} = \sqrt{\dfrac{12^2}{5^2}} = \sqrt{(\dfrac{12}{5})^2} = \dfrac{12}{5}$
(2) $\sqrt{\dfrac{4}{9}×0.25} = \sqrt{\dfrac{4}{9}} × \sqrt{0.25} = \dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} × 0.5 = \dfrac{2}{3} × \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}$
(3) $\sqrt{\dfrac{64×169}{144}} = \dfrac{\sqrt{64×169}}{\sqrt{144}} = \dfrac{\sqrt{64} × \sqrt{169}}{12} = \dfrac{8 × 13}{12} = \dfrac{104}{12} = \dfrac{26}{3}$
【答案】
(1) $\dfrac{12}{5}$；(2) $\dfrac{1}{3}$；(3) $\dfrac{26}{3}$
【知识点】
商的算术平方根性质、积的算术平方根性质、二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考察二次根式相关性质的灵活运用，计算时需注意被开方数的非负性，最终结果要化为最简形式，熟练掌握常见平方数的开方运算能提高解题效率。
【难度系数】
0.85
8. 教材习题变式 已知$\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{3-x}}=\sqrt{\frac{x-2}{3-x}}$成立.
(1) 实数$x$的取值范围是________.
(2) 化简: $\sqrt{\frac{x^2 -4x +4}{x^2 -6x +9}}$.
(1) 实数$x$的取值范围是________.
(2) 化简: $\sqrt{\frac{x^2 -4x +4}{x^2 -6x +9}}$.
答案
解:(1)$2≤x＜3$
根据题意得,$\begin{cases} x-2≥0, \\ 3-x＞0, \end{cases}$解得$2≤x＜3$.
(2) $\sqrt{\dfrac{x^2 -4x +4}{x^2 -6x +9}} = \sqrt{\dfrac{(x-2)^2}{(x-3)^2}} = \dfrac{\sqrt{(x-2)^2}}{\sqrt{(x-3)^2}} = \dfrac{|x-2|}{|x-3|} = \dfrac{x-2}{3-x}.$
根据题意得,$\begin{cases} x-2≥0, \\ 3-x＞0, \end{cases}$解得$2≤x＜3$.
(2) $\sqrt{\dfrac{x^2 -4x +4}{x^2 -6x +9}} = \sqrt{\dfrac{(x-2)^2}{(x-3)^2}} = \dfrac{\sqrt{(x-2)^2}}{\sqrt{(x-3)^2}} = \dfrac{|x-2|}{|x-3|} = \dfrac{x-2}{3-x}.$
解析
【分析】
（1）要使二次根式的除法等式$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$成立，需满足被开方数$a≥0$，且分母的被开方数$b＞0$（保证分母不为0），据此列出关于$x$的不等式组，求解即可得到$x$的取值范围。
（2）先利用完全平方公式将根号内的分子、分母因式分解，再根据二次根式的性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$）和$\sqrt{a^2}=|a|$，结合第（1）问得到的$x$的取值范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号化简即可。
【解析】
(1) 根据二次根式除法法则的成立条件，可得不等式组：
$\begin{cases} x-2≥0 \\ 3-x＞0 \end{cases}$
解不等式$x-2≥0$，得$x≥2$；
解不等式$3-x＞0$，得$x＜3$；
因此$x$的取值范围是$2≤ x＜3$。
(2) 先对根号内的多项式因式分解：
$\sqrt{\dfrac{x^2 -4x +4}{x^2 -6x +9}} = \sqrt{\dfrac{(x-2)^2}{(x-3)^2}}$
根据二次根式的除法性质，拆分得：
$= \dfrac{\sqrt{(x-2)^2}}{\sqrt{(x-3)^2}}$
再根据$\sqrt{a^2}=|a|$转化为绝对值形式：
$= \dfrac{|x-2|}{|x-3|}$
结合$2≤ x＜3$，可知$x-2≥0$，$x-3＜0$，因此$|x-2|=x-2$，$|x-3|=3-x$，代入得：
$= \dfrac{x-2}{3-x}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2≤ x＜3}$
(2) $\boldsymbol{\dfrac{x-2}{3-x}}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；解一元一次不等式组
【点评】
本题重点考查二次根式的相关运算规则，解题的核心是明确二次根式有意义的取值要求，去绝对值时需先判断代数式的正负性，是对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
（1）要使二次根式的除法等式$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$成立，需满足被开方数$a≥0$，且分母的被开方数$b＞0$（保证分母不为0），据此列出关于$x$的不等式组，求解即可得到$x$的取值范围。
（2）先利用完全平方公式将根号内的分子、分母因式分解，再根据二次根式的性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$）和$\sqrt{a^2}=|a|$，结合第（1）问得到的$x$的取值范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号化简即可。
【解析】
(1) 根据二次根式除法法则的成立条件，可得不等式组：
$\begin{cases} x-2≥0 \\ 3-x＞0 \end{cases}$
解不等式$x-2≥0$，得$x≥2$；
解不等式$3-x＞0$，得$x＜3$；
因此$x$的取值范围是$2≤ x＜3$。
(2) 先对根号内的多项式因式分解：
$\sqrt{\dfrac{x^2 -4x +4}{x^2 -6x +9}} = \sqrt{\dfrac{(x-2)^2}{(x-3)^2}}$
根据二次根式的除法性质，拆分得：
$= \dfrac{\sqrt{(x-2)^2}}{\sqrt{(x-3)^2}}$
再根据$\sqrt{a^2}=|a|$转化为绝对值形式：
$= \dfrac{|x-2|}{|x-3|}$
结合$2≤ x＜3$，可知$x-2≥0$，$x-3＜0$，因此$|x-2|=x-2$，$|x-3|=3-x$，代入得：
$= \dfrac{x-2}{3-x}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2≤ x＜3}$
(2) $\boldsymbol{\dfrac{x-2}{3-x}}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；解一元一次不等式组
【点评】
本题重点考查二次根式的相关运算规则，解题的核心是明确二次根式有意义的取值要求，去绝对值时需先判断代数式的正负性，是对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
9. 下列二次根式中,属于最简二次根式的是 (
A.$\frac{1}{\sqrt{3}}$
B.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
C.$\sqrt{30}$
D.$\sqrt{8}$
C
)A.$\frac{1}{\sqrt{3}}$
B.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
C.$\sqrt{30}$
D.$\sqrt{8}$
答案
C $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$,$\sqrt{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}.$
解析
【分析】
要判断哪个是最简二次根式，首先需要明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题时我们可以带着这两个标准逐一排查每个选项，不符合其中任意一个条件的就排除，最终剩下的就是正确答案。
【解析】
首先明确最简二次根式的判定规则：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
逐一分析选项：
选项A：$\frac{1}{\sqrt{3}}$的分母含有根号，不符合要求，化简可得$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，排除；
选项B：$\sqrt{\frac{1}{2}}$的被开方数含分母，不符合要求，化简可得$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，排除；
选项C：$\sqrt{30}$的被开方数30分解质因数为$2×3×5$，没有能开得尽方的因数，也不含分母，符合最简二次根式的要求；
选项D：$\sqrt{8}$的被开方数8含能开得尽方的因数4，不符合要求，化简可得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，排除。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题考查最简二次根式的识别，核心是牢记最简二次根式的两个判定条件，逐个排查选项即可解题，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9
要判断哪个是最简二次根式，首先需要明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题时我们可以带着这两个标准逐一排查每个选项，不符合其中任意一个条件的就排除，最终剩下的就是正确答案。
【解析】
首先明确最简二次根式的判定规则：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
逐一分析选项：
选项A：$\frac{1}{\sqrt{3}}$的分母含有根号，不符合要求，化简可得$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，排除；
选项B：$\sqrt{\frac{1}{2}}$的被开方数含分母，不符合要求，化简可得$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，排除；
选项C：$\sqrt{30}$的被开方数30分解质因数为$2×3×5$，没有能开得尽方的因数，也不含分母，符合最简二次根式的要求；
选项D：$\sqrt{8}$的被开方数8含能开得尽方的因数4，不符合要求，化简可得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，排除。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题考查最简二次根式的识别，核心是牢记最简二次根式的两个判定条件，逐个排查选项即可解题，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9
10. 新趋势·开放题 请写出一个大于1且小于2的最简二次根式：
$\sqrt{3}$(答案不唯一)
。答案
$\sqrt{3}$(答案不唯一)
解析
【分析】
要写出符合要求的最简二次根式，可分两步思考：第一步先确定被开方数的范围，因为所求二次根式大于1且小于2，给不等式三边同时平方（正数平方后不等号方向不变），可得被开方数需要满足大于1²=1，小于2²=4；第二步再从这个范围内找满足最简二次根式要求的数即可，最简二次根式要求被开方数不含能开得尽方的因数，也不含分母，比如取被开方数为3，对应的√3就符合要求。
【解析】
解：设所求最简二次根式为$\sqrt{a}$，根据题意得：
$1＜\sqrt{a}＜2$
∵$\sqrt{a}$为二次根式，
∴$a＞0$，不等式三边同时平方得：
$1^2 ＜ a ＜ 2^2$，即$1＜a＜4$
根据最简二次根式的定义，被开方数$a$不能含有能开得尽方的因数，也不能含有分母，可取$a=3$，此时$\sqrt{3}$是最简二次根式，且满足$1＜\sqrt{3}＜2$。
（也可取$a=2$得$\sqrt{2}$等，答案不唯一）
【答案】
$\sqrt{3}$(答案不唯一)
【知识点】
最简二次根式的定义；二次根式的大小比较
【点评】
本题是开放类题目，核心考查对最简二次根式概念的掌握以及二次根式大小比较的方法，灵活性较强，只要牢记相关概念就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
要写出符合要求的最简二次根式，可分两步思考：第一步先确定被开方数的范围，因为所求二次根式大于1且小于2，给不等式三边同时平方（正数平方后不等号方向不变），可得被开方数需要满足大于1²=1，小于2²=4；第二步再从这个范围内找满足最简二次根式要求的数即可，最简二次根式要求被开方数不含能开得尽方的因数，也不含分母，比如取被开方数为3，对应的√3就符合要求。
【解析】
解：设所求最简二次根式为$\sqrt{a}$，根据题意得：
$1＜\sqrt{a}＜2$
∵$\sqrt{a}$为二次根式，
∴$a＞0$，不等式三边同时平方得：
$1^2 ＜ a ＜ 2^2$，即$1＜a＜4$
根据最简二次根式的定义，被开方数$a$不能含有能开得尽方的因数，也不能含有分母，可取$a=3$，此时$\sqrt{3}$是最简二次根式，且满足$1＜\sqrt{3}＜2$。
（也可取$a=2$得$\sqrt{2}$等，答案不唯一）
【答案】
$\sqrt{3}$(答案不唯一)
【知识点】
最简二次根式的定义；二次根式的大小比较
【点评】
本题是开放类题目，核心考查对最简二次根式概念的掌握以及二次根式大小比较的方法，灵活性较强，只要牢记相关概念就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
11. 一题多解 $-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$的化简结果是
$-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
.答案
$-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
通解1 $-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\sqrt{\dfrac{2}{3}} = -\sqrt{\dfrac{2×3}{3×3}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
通解2 $-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{2} × \sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
通解1 $-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\sqrt{\dfrac{2}{3}} = -\sqrt{\dfrac{2×3}{3×3}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
通解2 $-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{2} × \sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
解析
【分析】
本题要求将含有分母根号的二次根式化为最简二次根式，核心是进行分母有理化。思考路径有两种：一是利用商的算术平方根的性质，先将分子分母的根号合并为单个根号下的分数，再把被开方数的分母凑成完全平方数后开方化简；二是利用分式的基本性质，给分子分母同时乘分母中的$\sqrt{3}$，直接消去分母的根号，化简过程中注意保留原式的负号即可。
【解析】
方法1：利用二次根式的除法性质化简
$-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\sqrt{\dfrac{2}{3}} = -\sqrt{\dfrac{2×3}{3×3}} = -\sqrt{\dfrac{6}{9}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{9}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
方法2：直接分母有理化
根据分式的基本性质，分子分母同时乘$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}≠0$，分式值不变）：
$-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{2} × \sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{(\sqrt{3})^2} = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
【答案】
$-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
分母有理化；二次根式乘除运算
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，两种解法都是二次根式除法运算中常用的化简思路，解题时要注意负号不要遗漏，最终结果要符合最简二次根式的要求。
【难度系数】
0.9
本题要求将含有分母根号的二次根式化为最简二次根式，核心是进行分母有理化。思考路径有两种：一是利用商的算术平方根的性质，先将分子分母的根号合并为单个根号下的分数，再把被开方数的分母凑成完全平方数后开方化简；二是利用分式的基本性质，给分子分母同时乘分母中的$\sqrt{3}$，直接消去分母的根号，化简过程中注意保留原式的负号即可。
【解析】
方法1：利用二次根式的除法性质化简
$-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\sqrt{\dfrac{2}{3}} = -\sqrt{\dfrac{2×3}{3×3}} = -\sqrt{\dfrac{6}{9}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{9}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
方法2：直接分母有理化
根据分式的基本性质，分子分母同时乘$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}≠0$，分式值不变）：
$-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{2} × \sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{(\sqrt{3})^2} = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
【答案】
$-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
分母有理化；二次根式乘除运算
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，两种解法都是二次根式除法运算中常用的化简思路，解题时要注意负号不要遗漏，最终结果要符合最简二次根式的要求。
【难度系数】
0.9
12. 若$\sqrt{3a+5}$是最简二次根式，则正整数$a$的最小值为
2
.答案
2 当$a=1$时,$3a+5=3+5=8$,$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$,故$a=1$不符合题意;当$a=2$时,$3a+5=6+5=11$,$\sqrt{11}$是最简二次根式,故$a=2$符合题意.
解析
【分析】
首先明确最简二次根式的判定标准：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式。题目要求正整数a的最小值，因此我们可以从最小的正整数a=1开始依次代入计算3a+5的值，判断对应的二次根式是否为最简二次根式，找到第一个满足条件的a即可。
【解析】
解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
我们从最小的正整数开始逐一代入验证：
当a=1时，3a+5=3×1+5=8，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式，不符合要求；
当a=2时，3a+5=3×2+5=11，11是质数，不含能开得尽方的因数，因此$\sqrt{11}$是最简二次根式，符合要求。
【答案】
2
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练掌握最简二次根式的定义，采用从最小正整数逐一验证的方法即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
首先明确最简二次根式的判定标准：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式。题目要求正整数a的最小值，因此我们可以从最小的正整数a=1开始依次代入计算3a+5的值，判断对应的二次根式是否为最简二次根式，找到第一个满足条件的a即可。
【解析】
解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
我们从最小的正整数开始逐一代入验证：
当a=1时，3a+5=3×1+5=8，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式，不符合要求；
当a=2时，3a+5=3×2+5=11，11是质数，不含能开得尽方的因数，因此$\sqrt{11}$是最简二次根式，符合要求。
【答案】
2
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练掌握最简二次根式的定义，采用从最小正整数逐一验证的方法即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
13. [2025 汕头潮阳实验学校模拟] 先化简,再求值:
$(1 - \dfrac{x + 1}{x}) ÷ \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - x}$,其中 $x = \sqrt{2} - 1$.
$(1 - \dfrac{x + 1}{x}) ÷ \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - x}$,其中 $x = \sqrt{2} - 1$.
答案
解: $(1 - \dfrac{x + 1}{x}) ÷ \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - x} = (1 - \dfrac{x + 1}{x}) · \dfrac{x^2 - x}{x^2 - 1} = \dfrac{x - (x + 1)}{x} · \dfrac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} = ( -\dfrac{1}{x}) · \dfrac{x}{x + 1} = -\dfrac{1}{x + 1}.$
当$x = \sqrt{2} - 1$时,原式$= -\dfrac{1}{\sqrt{2} - 1 + 1} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
当$x = \sqrt{2} - 1$时,原式$= -\dfrac{1}{\sqrt{2} - 1 + 1} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题可按三步展开：第一步处理括号内的分式减法，把1通分为同分母分式$\frac{x}{x}$，计算出括号内的结果；第二步依据“除以一个分式等于乘它的倒数”，将除法转化为乘法，再对两个分式的分子、分母分别因式分解，约去公因式得到最简分式；第三步将给定的x值代入最简分式，对得到的二次根式做分母有理化即可得到最终结果。先化简再代值能大幅降低计算量，避免直接代入原式产生的计算错误。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}(1 - \frac{x + 1}{x}) ÷ \frac{x^2 - 1}{x^2 - x}&=(1 - \frac{x + 1}{x}) · \frac{x^2 - x}{x^2 - 1}\\&=\frac{x - (x + 1)}{x} · \frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}\\&= -\frac{1}{x} · \frac{x}{x + 1}\\&= -\frac{1}{x + 1}\end{aligned}$
再代入$x = \sqrt{2} - 1$求值：
原式$= -\frac{1}{\sqrt{2} - 1 + 1} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，二次根式化简
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，重点考查分式运算法则、因式分解的应用以及二次根式的分母有理化，计算时要注意约去的公因式不能为0，代值后需规范完成分母有理化，避免运算错误。
【难度系数】
0.75
这是一道分式化简求值题，解题可按三步展开：第一步处理括号内的分式减法，把1通分为同分母分式$\frac{x}{x}$，计算出括号内的结果；第二步依据“除以一个分式等于乘它的倒数”，将除法转化为乘法，再对两个分式的分子、分母分别因式分解，约去公因式得到最简分式；第三步将给定的x值代入最简分式，对得到的二次根式做分母有理化即可得到最终结果。先化简再代值能大幅降低计算量，避免直接代入原式产生的计算错误。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}(1 - \frac{x + 1}{x}) ÷ \frac{x^2 - 1}{x^2 - x}&=(1 - \frac{x + 1}{x}) · \frac{x^2 - x}{x^2 - 1}\\&=\frac{x - (x + 1)}{x} · \frac{x(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}\\&= -\frac{1}{x} · \frac{x}{x + 1}\\&= -\frac{1}{x + 1}\end{aligned}$
再代入$x = \sqrt{2} - 1$求值：
原式$= -\frac{1}{\sqrt{2} - 1 + 1} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，二次根式化简
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，重点考查分式运算法则、因式分解的应用以及二次根式的分母有理化，计算时要注意约去的公因式不能为0，代值后需规范完成分母有理化，避免运算错误。
【难度系数】
0.75
