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15.某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量y(台)与销售单价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设商场每天销售这种台灯获得的利润为w元，求w与x之间的函数关系式；若商场某天销售这种台灯获得的利润为450元，求销售单价。
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设商场每天销售这种台灯获得的利润为w元，求w与x之间的函数关系式；若商场某天销售这种台灯获得的利润为450元，求销售单价。
答案
解：
(1) 设y与x之间的函数关系式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$\begin{cases}x=30\\y=40\end{cases}$和$\begin{cases}x=35\\y=30\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}30k + b = 40 \\ 35k + b = 30\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k=-2 \\ b=100\end{cases}$
验证：当$x=40$时，$y=-2×40+100=20$，与表格数据一致。
因此y与x之间的函数关系式为$y=-2x+100$。
(2) 由题意，单台台灯的利润为$(x-20)$元，总利润$w=(x-20)y$，
将$y=-2x+100$代入得：
$\begin{aligned}w&=(x-20)(-2x+100)\\&=-2x^2 + 140x - 2000\end{aligned}$
令$w=450$，则：
$-2x^2 + 140x - 2000 = 450$
整理得：
$x^2 -70x +1225 = 0$
即$(x-35)^2=0$，
解得$x_1=x_2=35$。
结合题意，销售单价满足$x＞20$且销售量$y=-2x+100≥0$即$x≤50$，$x=35$符合要求。
答：w与x之间的函数关系式为$w=-2x^2+140x-2000$，获得450元利润时销售单价为35元。
(1) 设y与x之间的函数关系式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$\begin{cases}x=30\\y=40\end{cases}$和$\begin{cases}x=35\\y=30\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}30k + b = 40 \\ 35k + b = 30\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k=-2 \\ b=100\end{cases}$
验证：当$x=40$时，$y=-2×40+100=20$，与表格数据一致。
因此y与x之间的函数关系式为$y=-2x+100$。
(2) 由题意，单台台灯的利润为$(x-20)$元，总利润$w=(x-20)y$，
将$y=-2x+100$代入得：
$\begin{aligned}w&=(x-20)(-2x+100)\\&=-2x^2 + 140x - 2000\end{aligned}$
令$w=450$，则：
$-2x^2 + 140x - 2000 = 450$
整理得：
$x^2 -70x +1225 = 0$
即$(x-35)^2=0$，
解得$x_1=x_2=35$。
结合题意，销售单价满足$x＞20$且销售量$y=-2x+100≥0$即$x≤50$，$x=35$符合要求。
答：w与x之间的函数关系式为$w=-2x^2+140x-2000$，获得450元利润时销售单价为35元。
解析
【分析】
(1) 已知销售量y与销售单价x满足一次函数关系，可采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组x、y的对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，再代入第三组数据验证是否符合，最终得到函数关系式。
(2) 销售总利润=单台利润×销售量，单台利润为销售单价减去进价，即$(x-20)$元，销售量为第一问求出的y，将y代入即可得到w与x的二次函数关系式；当利润为450元时，令$w=450$得到一元二次方程，解方程后验证解是否符合实际意义（售价大于进价、销售量非负），即可得到对应的销售单价。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数关系式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$\begin{cases}x=30\\y=40\end{cases}$和$\begin{cases}x=35\\y=30\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}30k + b = 40 \\ 35k + b = 30\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$5k=-10$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$30k + b = 40$，得$-60 + b = 40$，解得$b=100$。
验证：当$x=40$时，$y=-2×40+100=20$，与表格数据一致，
因此y与x之间的函数关系式为$y=-2x+100$。
(2) 由题意，单台台灯的利润为$(x-20)$元，总利润$w=$单台利润×销售量，即$w=(x-20)y$，
将$y=-2x+100$代入得：
$\begin{aligned}w&=(x-20)(-2x+100)\\&=-2x^2 + 140x - 2000\end{aligned}$
当$w=450$时，列方程：
$-2x^2 + 140x - 2000 = 450$
移项整理得：$x^2 -70x +1225 = 0$
因式分解得$(x-35)^2=0$，
解得$x_1=x_2=35$。
结合实际意义，销售单价需满足$x＞20$，且销售量$y=-2x+100≥0$即$x≤50$，$x=35$符合要求。
【答案】
(1) $y=-2x+100$；
(2) w与x的函数关系式为$w=-2x^2+140x-2000$，获得450元利润时销售单价为35元。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数与方程的应用，解题核心是找准数量关系列出对应的函数表达式，求解方程后要注意结合实际情况检验结果的合理性，是比较典型的函数实际应用题。
【难度系数】
0.7
(1) 已知销售量y与销售单价x满足一次函数关系，可采用待定系数法求解：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组x、y的对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，再代入第三组数据验证是否符合，最终得到函数关系式。
(2) 销售总利润=单台利润×销售量，单台利润为销售单价减去进价，即$(x-20)$元，销售量为第一问求出的y，将y代入即可得到w与x的二次函数关系式；当利润为450元时，令$w=450$得到一元二次方程，解方程后验证解是否符合实际意义（售价大于进价、销售量非负），即可得到对应的销售单价。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数关系式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$\begin{cases}x=30\\y=40\end{cases}$和$\begin{cases}x=35\\y=30\end{cases}$代入得：
$\begin{cases}30k + b = 40 \\ 35k + b = 30\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$5k=-10$，解得$k=-2$，
将$k=-2$代入$30k + b = 40$，得$-60 + b = 40$，解得$b=100$。
验证：当$x=40$时，$y=-2×40+100=20$，与表格数据一致，
因此y与x之间的函数关系式为$y=-2x+100$。
(2) 由题意，单台台灯的利润为$(x-20)$元，总利润$w=$单台利润×销售量，即$w=(x-20)y$，
将$y=-2x+100$代入得：
$\begin{aligned}w&=(x-20)(-2x+100)\\&=-2x^2 + 140x - 2000\end{aligned}$
当$w=450$时，列方程：
$-2x^2 + 140x - 2000 = 450$
移项整理得：$x^2 -70x +1225 = 0$
因式分解得$(x-35)^2=0$，
解得$x_1=x_2=35$。
结合实际意义，销售单价需满足$x＞20$，且销售量$y=-2x+100≥0$即$x≤50$，$x=35$符合要求。
【答案】
(1) $y=-2x+100$；
(2) w与x的函数关系式为$w=-2x^2+140x-2000$，获得450元利润时销售单价为35元。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 销售利润计算
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数与方程的应用，解题核心是找准数量关系列出对应的函数表达式，求解方程后要注意结合实际情况检验结果的合理性，是比较典型的函数实际应用题。
【难度系数】
0.7
16.(数形结合思想)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动,如果P,Q两点分别从A,B两点同时出发,设运动时间为t s,△PBQ的面积为S.
(1)用含t的式子表示:AP= mm,BP= mm,BQ= mm;
(2)写出S关于t的函数解析式及t的取值范围;
(3)S的值能否取20?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由.
(1)用含t的式子表示:AP= mm,BP= mm,BQ= mm;
(2)写出S关于t的函数解析式及t的取值范围;
(3)S的值能否取20?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由.
答案
解：
(1) $AP=2t$ mm，$BP=(12-2t)$ mm，$BQ=4t$ mm；
(2) 已知$∠ B=90°$，由直角三角形面积公式得：
$S=\frac{1}{2}· BP· BQ=\frac{1}{2}×(12-2t)×4t=-4t^2+24t$
由动点运动的边界条件：
$\begin{cases}12-2t＞0 \\4t＞0 \\4t≤24\end{cases}$
解得$0＜t＜6$
即$S$关于$t$的函数解析式为$\boldsymbol{S=-4t^2+24t}$，$t$的取值范围是$\boldsymbol{0＜t＜6}$；
(3) 令$S=20$，得方程：
$-4t^2+24t=20$
整理得$t^2-6t+5=0$
解得$t_1=1$，$t_2=5$
两个解均满足$0＜t＜6$，因此$S$的值能取20，此时$t$的值为1或5。
(1) $AP=2t$ mm，$BP=(12-2t)$ mm，$BQ=4t$ mm；
(2) 已知$∠ B=90°$，由直角三角形面积公式得：
$S=\frac{1}{2}· BP· BQ=\frac{1}{2}×(12-2t)×4t=-4t^2+24t$
由动点运动的边界条件：
$\begin{cases}12-2t＞0 \\4t＞0 \\4t≤24\end{cases}$
解得$0＜t＜6$
即$S$关于$t$的函数解析式为$\boldsymbol{S=-4t^2+24t}$，$t$的取值范围是$\boldsymbol{0＜t＜6}$；
(3) 令$S=20$，得方程：
$-4t^2+24t=20$
整理得$t^2-6t+5=0$
解得$t_1=1$，$t_2=5$
两个解均满足$0＜t＜6$，因此$S$的值能取20，此时$t$的值为1或5。
解析
【分析】
(1) 根据“路程=速度×时间”可直接得到AP的长度，用AB的总长减去AP即可得到BP的长度，同理根据Q的运动速度和时间可得BQ的长度；
(2) △PBQ是直角三角形，直角为∠B，利用直角三角形面积公式“面积=1/2×直角边1×直角边2”，将BP、BQ的表达式代入即可得到S关于t的函数解析式；再结合动点的运动边界：P未到达B点、Q未到达C点、运动时间大于0，即可求出t的取值范围；
(3) 将S=20代入(2)中得到的函数解析式，得到关于t的一元二次方程，求解后判断根是否在t的取值范围内，若在范围内则S能取20，反之则不能。
【解析】
(1) 动点P的速度为2mm/s，运动时间为t s，因此$AP=2t$ mm；
AB总长为12 mm，因此$BP=AB-AP=(12-2t)$ mm；
动点Q的速度为4mm/s，运动时间为t s，因此$BQ=4t$ mm。
(2)
∵∠B=90°，△PBQ为直角三角形
∴$S=\frac{1}{2}·BP·BQ=\frac{1}{2}×(12-2t)×4t=-4t^2+24t$
根据动点运动的实际情况，需满足：
$\begin{cases}12-2t＞0 \\t＞0 \\4t≤24\end{cases}$
解得$0＜t＜6$
即S关于t的函数解析式为$S=-4t^2+24t$，t的取值范围是$0＜t＜6$。
(3) 令$S=20$，代入解析式得：
$-4t^2+24t=20$
整理得$t^2-6t+5=0$
解得$t_1=1$，$t_2=5$
经检验，$t_1=1$和$t_2=5$都满足$0＜t＜6$，因此S的值能取20。
【答案】
(1) $2t$，$12-2t$，$4t$
(2) $S=-4t^2+24t$（$0＜t＜6$）
(3) 能，此时t的值为1或5
【知识点】
动点问题分析，二次函数解析式，一元二次方程求解
【点评】
本题将动点运动和二次函数、一元二次方程结合考查，解题的核心是先用含t的代数式表示出相关线段的长度，再结合几何公式建立函数关系，求解后要注意验证结果是否符合实际运动的限制条件，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
(1) 根据“路程=速度×时间”可直接得到AP的长度，用AB的总长减去AP即可得到BP的长度，同理根据Q的运动速度和时间可得BQ的长度；
(2) △PBQ是直角三角形，直角为∠B，利用直角三角形面积公式“面积=1/2×直角边1×直角边2”，将BP、BQ的表达式代入即可得到S关于t的函数解析式；再结合动点的运动边界：P未到达B点、Q未到达C点、运动时间大于0，即可求出t的取值范围；
(3) 将S=20代入(2)中得到的函数解析式，得到关于t的一元二次方程，求解后判断根是否在t的取值范围内，若在范围内则S能取20，反之则不能。
【解析】
(1) 动点P的速度为2mm/s，运动时间为t s，因此$AP=2t$ mm；
AB总长为12 mm，因此$BP=AB-AP=(12-2t)$ mm；
动点Q的速度为4mm/s，运动时间为t s，因此$BQ=4t$ mm。
(2)
∵∠B=90°，△PBQ为直角三角形
∴$S=\frac{1}{2}·BP·BQ=\frac{1}{2}×(12-2t)×4t=-4t^2+24t$
根据动点运动的实际情况，需满足：
$\begin{cases}12-2t＞0 \\t＞0 \\4t≤24\end{cases}$
解得$0＜t＜6$
即S关于t的函数解析式为$S=-4t^2+24t$，t的取值范围是$0＜t＜6$。
(3) 令$S=20$，代入解析式得：
$-4t^2+24t=20$
整理得$t^2-6t+5=0$
解得$t_1=1$，$t_2=5$
经检验，$t_1=1$和$t_2=5$都满足$0＜t＜6$，因此S的值能取20。
【答案】
(1) $2t$，$12-2t$，$4t$
(2) $S=-4t^2+24t$（$0＜t＜6$）
(3) 能，此时t的值为1或5
【知识点】
动点问题分析，二次函数解析式，一元二次方程求解
【点评】
本题将动点运动和二次函数、一元二次方程结合考查，解题的核心是先用含t的代数式表示出相关线段的长度，再结合几何公式建立函数关系，求解后要注意验证结果是否符合实际运动的限制条件，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
