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9.（教材练习）完成下表中有关正多边形的计算：
| 正多边形边数 | 内角 | 中心角 | 半径 | 边长 | 边心距 | 周长 | 面积 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 3 | $60°$ | | | $2\sqrt{3}$ | | | |
| 4 | | |
| | 1 | | |
| 6 | | | | | $\sqrt{3}$ | | |
| 正多边形边数 | 内角 | 中心角 | 半径 | 边长 | 边心距 | 周长 | 面积 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 3 | $60°$ | | | $2\sqrt{3}$ | | | |
| 4 | | |
| | 1 | | || 6 | | | | | $\sqrt{3}$ | | |
答案
解：
1. 边数为3（正三角形）的计算
中心角：$\frac{360°}{3}=120°$
设边心距为$r$，将中心与边长两端连线，作边心距得含$60°$角的直角三角形，边长一半为$\sqrt{3}$，由$\tan60°=\frac{\sqrt{3}}{r}$，得$r=1$
半径：由$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{R}$，得$R=2$
周长：$3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
面积：$\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×1=3\sqrt{3}$
2. 边数为4（正方形）的计算
内角：$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$
中心角：$\frac{360°}{4}=90°$
已知边心距为1，得边长$a=2×1=2$
半径：正方形外接圆半径为对角线一半，$R=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
周长：$4×2=8$
面积：$\frac{1}{2}×8×1=4$
3. 边数为6（正六边形）的计算
内角：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
中心角：$\frac{360°}{6}=60°$
已知边心距为$\sqrt{3}$，拆分得到含$30°$角的直角三角形，由$\tan30°=\frac{a/2}{\sqrt{3}}$，得边长$a=2$
半径：正六边形半径等于边长，$R=2$
周长：$6×2=12$
面积：$\frac{1}{2}×12×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
最终填表结果：
| 正多边形边数 | 内角 | 中心角 | 半径 | 边长 | 边心距 | 周长 | 面积 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 3 | $60°$ | $120°$ | $2$ | $2\sqrt{3}$ | $1$ | $6\sqrt{3}$ | $3\sqrt{3}$ |
| 4 | $90°$ | $90°$ | $\sqrt{2}$ | $2$ | $1$ | $8$ | $4$ |
| 6 | $120°$ | $60°$ | $2$ | $2$ | $\sqrt{3}$ | $12$ | $6\sqrt{3}$ |
1. 边数为3（正三角形）的计算
中心角：$\frac{360°}{3}=120°$
设边心距为$r$，将中心与边长两端连线，作边心距得含$60°$角的直角三角形，边长一半为$\sqrt{3}$，由$\tan60°=\frac{\sqrt{3}}{r}$，得$r=1$
半径：由$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{R}$，得$R=2$
周长：$3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
面积：$\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×1=3\sqrt{3}$
2. 边数为4（正方形）的计算
内角：$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$
中心角：$\frac{360°}{4}=90°$
已知边心距为1，得边长$a=2×1=2$
半径：正方形外接圆半径为对角线一半，$R=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
周长：$4×2=8$
面积：$\frac{1}{2}×8×1=4$
3. 边数为6（正六边形）的计算
内角：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
中心角：$\frac{360°}{6}=60°$
已知边心距为$\sqrt{3}$，拆分得到含$30°$角的直角三角形，由$\tan30°=\frac{a/2}{\sqrt{3}}$，得边长$a=2$
半径：正六边形半径等于边长，$R=2$
周长：$6×2=12$
面积：$\frac{1}{2}×12×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
最终填表结果：
| 正多边形边数 | 内角 | 中心角 | 半径 | 边长 | 边心距 | 周长 | 面积 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 3 | $60°$ | $120°$ | $2$ | $2\sqrt{3}$ | $1$ | $6\sqrt{3}$ | $3\sqrt{3}$ |
| 4 | $90°$ | $90°$ | $\sqrt{2}$ | $2$ | $1$ | $8$ | $4$ |
| 6 | $120°$ | $60°$ | $2$ | $2$ | $\sqrt{3}$ | $12$ | $6\sqrt{3}$ |
解析
【分析】
这道题考查正多边形和圆的相关计算，解题思路如下：1. 先计算固定量：中心角=360°÷边数，内角=$\frac{(n-2)×180°}{n}$（n为边数）；2. 正多边形的半径、边长的一半、边心距可构成直角三角形，通过作辅助线构造该直角三角形，结合三角函数或勾股定理即可求出未知的半径、边长、边心距；3. 最后用边长乘边数得周长，用“$\frac{1}{2}$×周长×边心距”计算面积即可。
【解析】
我们按边数分类逐一计算：
1. 正三角形（边数$n=3$）
① 中心角：$\frac{360°}{3}=120°$
② 构造直角三角形：将正三角形中心与边的两端点连接，再作边心距，得到含$60°$角的直角三角形，边长的一半为$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
③ 边心距$r$：由$\tan60°=\frac{\mathrm{边长一半}}{r}$，即$\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{r}$，得$r=1$
④ 半径$R$：由$\sin60°=\frac{\mathrm{边长一半}}{R}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{R}$，得$R=2$
⑤ 周长：$3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
⑥ 面积：$\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×1=3\sqrt{3}$
2. 正方形（边数$n=4$）
① 内角：$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$
② 中心角：$\frac{360°}{4}=90°$
③ 边长：边心距为1，正方形边心距等于边长的一半，因此边长$a=2×1=2$
④ 半径$R$：为外接圆半径，即正方形对角线的一半，由勾股定理得$R=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
⑤ 周长：$4×2=8$
⑥ 面积：$\frac{1}{2}×8×1=4$
3. 正六边形（边数$n=6$）
① 内角：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
② 中心角：$\frac{360°}{6}=60°$
③ 构造直角三角形：作边心距得到含$30°$角的直角三角形，由$\tan30°=\frac{\mathrm{边长一半}}{\mathrm{边心距}}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a/2}{\sqrt{3}}$，解得边长$a=2$
④ 半径$R$：正六边形半径等于边长，因此$R=2$
⑤ 周长：$6×2=12$
⑥ 面积：$\frac{1}{2}×12×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
【答案】
| 正多边形边数 | 内角 | 中心角 | 半径 | 边长 | 边心距 | 周长 | 面积 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 3 | $60°$ | $120°$ | $2$ | $2\sqrt{3}$ | $1$ | $6\sqrt{3}$ | $3\sqrt{3}$ |
| 4 | $90°$ | $90°$ | $\sqrt{2}$ | $2$ | $1$ | $8$ | $4$ |
| 6 | $120°$ | $60°$ | $2$ | $2$ | $\sqrt{3}$ | $12$ | $6\sqrt{3}$ |
【知识点】
正多边形的性质；正多边形与圆；解直角三角形
【点评】
这道题是正多边形相关计算的基础题型，核心解题方法是将正多边形问题转化为直角三角形求解问题，熟练掌握内角、中心角公式和周长、面积计算方法，就能快速完成解题。
【难度系数】
0.7
这道题考查正多边形和圆的相关计算，解题思路如下：1. 先计算固定量：中心角=360°÷边数，内角=$\frac{(n-2)×180°}{n}$（n为边数）；2. 正多边形的半径、边长的一半、边心距可构成直角三角形，通过作辅助线构造该直角三角形，结合三角函数或勾股定理即可求出未知的半径、边长、边心距；3. 最后用边长乘边数得周长，用“$\frac{1}{2}$×周长×边心距”计算面积即可。
【解析】
我们按边数分类逐一计算：
1. 正三角形（边数$n=3$）
① 中心角：$\frac{360°}{3}=120°$
② 构造直角三角形：将正三角形中心与边的两端点连接，再作边心距，得到含$60°$角的直角三角形，边长的一半为$\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
③ 边心距$r$：由$\tan60°=\frac{\mathrm{边长一半}}{r}$，即$\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{r}$，得$r=1$
④ 半径$R$：由$\sin60°=\frac{\mathrm{边长一半}}{R}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{R}$，得$R=2$
⑤ 周长：$3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
⑥ 面积：$\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×1=3\sqrt{3}$
2. 正方形（边数$n=4$）
① 内角：$\frac{(4-2)×180°}{4}=90°$
② 中心角：$\frac{360°}{4}=90°$
③ 边长：边心距为1，正方形边心距等于边长的一半，因此边长$a=2×1=2$
④ 半径$R$：为外接圆半径，即正方形对角线的一半，由勾股定理得$R=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
⑤ 周长：$4×2=8$
⑥ 面积：$\frac{1}{2}×8×1=4$
3. 正六边形（边数$n=6$）
① 内角：$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
② 中心角：$\frac{360°}{6}=60°$
③ 构造直角三角形：作边心距得到含$30°$角的直角三角形，由$\tan30°=\frac{\mathrm{边长一半}}{\mathrm{边心距}}$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a/2}{\sqrt{3}}$，解得边长$a=2$
④ 半径$R$：正六边形半径等于边长，因此$R=2$
⑤ 周长：$6×2=12$
⑥ 面积：$\frac{1}{2}×12×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
【答案】
| 正多边形边数 | 内角 | 中心角 | 半径 | 边长 | 边心距 | 周长 | 面积 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 3 | $60°$ | $120°$ | $2$ | $2\sqrt{3}$ | $1$ | $6\sqrt{3}$ | $3\sqrt{3}$ |
| 4 | $90°$ | $90°$ | $\sqrt{2}$ | $2$ | $1$ | $8$ | $4$ |
| 6 | $120°$ | $60°$ | $2$ | $2$ | $\sqrt{3}$ | $12$ | $6\sqrt{3}$ |
【知识点】
正多边形的性质；正多边形与圆；解直角三角形
【点评】
这道题是正多边形相关计算的基础题型，核心解题方法是将正多边形问题转化为直角三角形求解问题，熟练掌握内角、中心角公式和周长、面积计算方法，就能快速完成解题。
【难度系数】
0.7
10.如图，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，点P在$\overset{\frown}{AB}$上，点Q是$\overset{\frown}{DE}$的中点，则$∠ CPQ$的度数为（）
A.$30°$
B.$45°$
C.$36°$
D.$60°$
A.$30°$
B.$45°$
C.$36°$
D.$60°$
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，首先结合正六边形内接于圆的性质，可知正六边形各边所对的劣弧度数相等，均为$360°÷6=60°$；所求的$∠ CPQ$是圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，因此只需要求出$∠ CPQ$所对弧的度数即可。首先根据Q是$\overset{\frown}{DE}$中点求出$\overset{\frown}{DQ}$的度数，再计算出$∠ CPQ$所对的$\overset{\frown}{CQ}$的度数，最后代入圆周角定理计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴正六边形各边所对的劣弧度数相等，
$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FA}=\frac{360°}{6}=60°$，
∵Q是$\overset{\frown}{DE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DQ}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{DE}=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∴$\overset{\frown}{CQ}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DQ}=60°+30°=90°$，
∵$∠ CPQ$是$\odot O$的圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{CQ}$，
∴$∠ CPQ=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{CQ}$的度数$=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆与正多边形结合的常规题型，解题关键是掌握正六边形各段弧的度数特点，找准圆周角对应的弧，熟练运用圆周角定理进行计算。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先结合正六边形内接于圆的性质，可知正六边形各边所对的劣弧度数相等，均为$360°÷6=60°$；所求的$∠ CPQ$是圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，因此只需要求出$∠ CPQ$所对弧的度数即可。首先根据Q是$\overset{\frown}{DE}$中点求出$\overset{\frown}{DQ}$的度数，再计算出$∠ CPQ$所对的$\overset{\frown}{CQ}$的度数，最后代入圆周角定理计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴正六边形各边所对的劣弧度数相等，
$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FA}=\frac{360°}{6}=60°$，
∵Q是$\overset{\frown}{DE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DQ}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{DE}=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∴$\overset{\frown}{CQ}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DQ}=60°+30°=90°$，
∵$∠ CPQ$是$\odot O$的圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{CQ}$，
∴$∠ CPQ=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{CQ}$的度数$=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆与正多边形结合的常规题型，解题关键是掌握正六边形各段弧的度数特点，找准圆周角对应的弧，熟练运用圆周角定理进行计算。
【难度系数】
0.7
11.如图,点$P_1$~$P_8$是$\odot O$的八等分点.若$△ P_1P_3P_7$、四边形$P_3P_4P_6P_7$的周长分别为$a$,$b$,则下列结论正确的是（）
A.$a＜b$
B.$a=b$
C.$a＞b$
D.$a$,$b$大小无法比较
A.$a＜b$
B.$a=b$
C.$a＞b$
D.$a$,$b$大小无法比较
答案
A
解析
【分析】
首先设$\odot O$的半径为$r$，利用八等分点的性质可得每段弧对应的圆心角为$360°÷8=45°$，先分别计算$△ P_1P_3P_7$的三边长求出周长$a$，再计算四边形$P_3P_4P_6P_7$的四边长求出周长$b$，最后通过数值估算或代数方法比较$a$和$b$的大小即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$。
1. 求$△ P_1P_3P_7$的周长$a$：
八等分点相邻两点对应的圆心角为$45°$，
弧$P_1P_3$、弧$P_1P_7$对应的圆心角均为$2×45°=90°$，由勾股定理得弦长$P_1P_3=P_1P_7=\sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2}r$；
弧$P_3P_7$对应的圆心角为$4×45°=180°$，即$P_3P_7$是直径，长度为$2r$；
因此$a=\sqrt{2}r+2r+\sqrt{2}r=2r+2\sqrt{2}r\approx4.828r$。
2. 求四边形$P_3P_4P_6P_7$的周长$b$：
弧$P_3P_4$、弧$P_6P_7$对应的圆心角均为$45°$，由弦长公式得$P_3P_4=P_6P_7=2r\sin22.5°\approx0.766r$；
弧$P_4P_6$对应的圆心角为$2×45°=90°$，故$P_4P_6=\sqrt{2}r\approx1.414r$；
$P_3P_7$为直径，长度为$2r$；
因此$b=0.766r+1.414r+0.766r+2r\approx4.946r$。
3. 比较大小：$4.828r＜4.946r$，即$a＜b$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆，弦长计算，实数大小比较
【点评】
本题结合正八等分圆的性质考查周长比较，解题核心是找到各边对应的圆心角计算弦长，既可以用数值估算快速判断，也可以通过平方作差的代数方法比较，考查学生对圆的基本性质的应用能力。
【难度系数】
0.65
首先设$\odot O$的半径为$r$，利用八等分点的性质可得每段弧对应的圆心角为$360°÷8=45°$，先分别计算$△ P_1P_3P_7$的三边长求出周长$a$，再计算四边形$P_3P_4P_6P_7$的四边长求出周长$b$，最后通过数值估算或代数方法比较$a$和$b$的大小即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$。
1. 求$△ P_1P_3P_7$的周长$a$：
八等分点相邻两点对应的圆心角为$45°$，
弧$P_1P_3$、弧$P_1P_7$对应的圆心角均为$2×45°=90°$，由勾股定理得弦长$P_1P_3=P_1P_7=\sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2}r$；
弧$P_3P_7$对应的圆心角为$4×45°=180°$，即$P_3P_7$是直径，长度为$2r$；
因此$a=\sqrt{2}r+2r+\sqrt{2}r=2r+2\sqrt{2}r\approx4.828r$。
2. 求四边形$P_3P_4P_6P_7$的周长$b$：
弧$P_3P_4$、弧$P_6P_7$对应的圆心角均为$45°$，由弦长公式得$P_3P_4=P_6P_7=2r\sin22.5°\approx0.766r$；
弧$P_4P_6$对应的圆心角为$2×45°=90°$，故$P_4P_6=\sqrt{2}r\approx1.414r$；
$P_3P_7$为直径，长度为$2r$；
因此$b=0.766r+1.414r+0.766r+2r\approx4.946r$。
3. 比较大小：$4.828r＜4.946r$，即$a＜b$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆，弦长计算，实数大小比较
【点评】
本题结合正八等分圆的性质考查周长比较，解题核心是找到各边对应的圆心角计算弦长，既可以用数值估算快速判断，也可以通过平方作差的代数方法比较，考查学生对圆的基本性质的应用能力。
【难度系数】
0.65
12.如图,用若干个全等的正五边形沿圆周紧密排列,图中所示的是其中3个正五边形的排列.要完成这一排列,共需要正五边形的个数是 （）
A.15
B.12
C.10
D.8
A.15
B.12
C.10
D.8
答案
C
解析
【分析】
解题时首先利用正多边形内角公式求出正五边形的内角度数，再结合图形特征分析圆心处等腰三角形的底角，进而求出每个正五边形对应的中心角，最后用周角360°除以单个中心角的度数，即可得到所需正五边形的总个数。
【解析】
1. 计算正五边形的每个内角度数：
根据正n边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}$，代入$n=5$，得正五边形内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$。
2. 求中心处等腰三角形的底角：
观察图形，圆心O与相邻两个正五边形的相邻顶点、公共顶点构成等腰三角形，该三角形的底角是正五边形内角的邻补角，即$180°-108°=72°$。
3. 求单个正五边形对应的中心角：
根据三角形内角和为180°，可得中心角为$180°-72°×2=36°$。
4. 计算总个数：
整个圆周为360°，因此所需正五边形的总个数为$\frac{360°}{36°}=10$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算，三角形内角和，正多边形与圆
【点评】
本题考查正多边形和圆的相关知识，解题核心是结合图形特征推导中心角的度数，侧重对基础公式应用能力和图形观察能力的考查，理清图形中角的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用正多边形内角公式求出正五边形的内角度数，再结合图形特征分析圆心处等腰三角形的底角，进而求出每个正五边形对应的中心角，最后用周角360°除以单个中心角的度数，即可得到所需正五边形的总个数。
【解析】
1. 计算正五边形的每个内角度数：
根据正n边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}$，代入$n=5$，得正五边形内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$。
2. 求中心处等腰三角形的底角：
观察图形，圆心O与相邻两个正五边形的相邻顶点、公共顶点构成等腰三角形，该三角形的底角是正五边形内角的邻补角，即$180°-108°=72°$。
3. 求单个正五边形对应的中心角：
根据三角形内角和为180°，可得中心角为$180°-72°×2=36°$。
4. 计算总个数：
整个圆周为360°，因此所需正五边形的总个数为$\frac{360°}{36°}=10$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算，三角形内角和，正多边形与圆
【点评】
本题考查正多边形和圆的相关知识，解题核心是结合图形特征推导中心角的度数，侧重对基础公式应用能力和图形观察能力的考查，理清图形中角的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
13.如图，$\odot O$的半径为$R$，六边形$ABCDEF$是圆内接正六边形，四边形$EFGH$是正方形.
(1)求$∠ OGF$的度数；
(2)求正六边形与正方形的面积比.
(1)求$∠ OGF$的度数；
(2)求正六边形与正方形的面积比.
答案
解：
(1) 连接OE，
∵ 六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴ $OF=EF=R$，$∠ OFE=60°$，
∵ 四边形EFGH是正方形，
∴ $EF=FG$，$∠ EFG=90°$，
∴ $OF=FG$，
$∠ OFG=∠ OFE+∠ EFG=60°+90°=150°$，
在$△ OFG$中，
$∠ OGF=\frac{1}{2}×(180°-∠ OFG)=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$。
(2) 圆内接正六边形可分割为6个全等的边长为$R$的等边三角形，
其面积$S_{\mathrm{正六边形}}=6×\frac{\sqrt{3}}{4}R^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$，
正方形EFGH的边长$EF=R$，其面积$S_{\mathrm{正方形}}=R^2$，
∴ 正六边形与正方形的面积比为：
$\frac{S_{\mathrm{正六边形}}}{S_{\mathrm{正方形}}}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2}{R^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
答：(1) $∠ OGF=15°$；(2) 正六边形与正方形的面积比为$3\sqrt{3}:2$。
(1) 连接OE，
∵ 六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴ $OF=EF=R$，$∠ OFE=60°$，
∵ 四边形EFGH是正方形，
∴ $EF=FG$，$∠ EFG=90°$，
∴ $OF=FG$，
$∠ OFG=∠ OFE+∠ EFG=60°+90°=150°$，
在$△ OFG$中，
$∠ OGF=\frac{1}{2}×(180°-∠ OFG)=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$。
(2) 圆内接正六边形可分割为6个全等的边长为$R$的等边三角形，
其面积$S_{\mathrm{正六边形}}=6×\frac{\sqrt{3}}{4}R^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$，
正方形EFGH的边长$EF=R$，其面积$S_{\mathrm{正方形}}=R^2$，
∴ 正六边形与正方形的面积比为：
$\frac{S_{\mathrm{正六边形}}}{S_{\mathrm{正方形}}}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2}{R^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
答：(1) $∠ OGF=15°$；(2) 正六边形与正方形的面积比为$3\sqrt{3}:2$。
解析
【分析】
(1) 求解$∠ OGF$时，首先利用圆内接正六边形的性质：正六边形边长等于外接圆半径，相邻顶点与圆心构成等边三角形，得到$OF=EF$和$∠ OFE$的度数；再结合正方形四边相等、内角为$90°$的性质，推导出$OF=FG$，求出$∠ OFG$的度数；最后根据等腰三角形两底角相等的性质，即可计算出$∠ OGF$的度数。
(2) 求解面积比时，先将正六边形拆分为6个边长为$R$的全等等边三角形，计算正六边形的总面积；再结合正方形边长等于正六边形边长$R$，求出正方形的面积，最后将两个面积作比化简即可。
【解析】
(1) 连接$OE$，
∵ 六边形$ABCDEF$是$\odot O$的内接正六边形，
∴ $OF=EF=R$，$∠ OFE=60°$，
∵ 四边形$EFGH$是正方形，
∴ $EF=FG$，$∠ EFG=90°$，
∴ $OF=FG$，
$∠ OFG=∠ OFE+∠ EFG=60°+90°=150°$，
在$△ OFG$中，
$∠ OGF=\frac{1}{2}×(180°-∠ OFG)=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$。
(2) 圆内接正六边形可分割为6个全等的边长为$R$的等边三角形，
其面积$S_{\mathrm{正六边形}}=6×\frac{\sqrt{3}}{4}R^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$，
正方形$EFGH$的边长$EF=R$，其面积$S_{\mathrm{正方形}}=R^2$，
∴ 正六边形与正方形的面积比为：
$\frac{S_{\mathrm{正六边形}}}{S_{\mathrm{正方形}}}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2}{R^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}:2$。
【答案】
(1) $∠ OGF=15°$；
(2) 正六边形与正方形的面积比为$3\sqrt{3}:2$。
【知识点】
正多边形与圆的性质，等腰三角形的性质，特殊图形面积计算
【点评】
本题是正多边形相关的基础典型题，结合正六边形、正方形的性质考查角度计算和面积求解，解题核心是掌握圆内接正六边形的边长等于外接圆半径这一特殊性质，再结合特殊图形的角度、面积公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 求解$∠ OGF$时，首先利用圆内接正六边形的性质：正六边形边长等于外接圆半径，相邻顶点与圆心构成等边三角形，得到$OF=EF$和$∠ OFE$的度数；再结合正方形四边相等、内角为$90°$的性质，推导出$OF=FG$，求出$∠ OFG$的度数；最后根据等腰三角形两底角相等的性质，即可计算出$∠ OGF$的度数。
(2) 求解面积比时，先将正六边形拆分为6个边长为$R$的全等等边三角形，计算正六边形的总面积；再结合正方形边长等于正六边形边长$R$，求出正方形的面积，最后将两个面积作比化简即可。
【解析】
(1) 连接$OE$，
∵ 六边形$ABCDEF$是$\odot O$的内接正六边形，
∴ $OF=EF=R$，$∠ OFE=60°$，
∵ 四边形$EFGH$是正方形，
∴ $EF=FG$，$∠ EFG=90°$，
∴ $OF=FG$，
$∠ OFG=∠ OFE+∠ EFG=60°+90°=150°$，
在$△ OFG$中，
$∠ OGF=\frac{1}{2}×(180°-∠ OFG)=\frac{1}{2}×(180°-150°)=15°$。
(2) 圆内接正六边形可分割为6个全等的边长为$R$的等边三角形，
其面积$S_{\mathrm{正六边形}}=6×\frac{\sqrt{3}}{4}R^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$，
正方形$EFGH$的边长$EF=R$，其面积$S_{\mathrm{正方形}}=R^2$，
∴ 正六边形与正方形的面积比为：
$\frac{S_{\mathrm{正六边形}}}{S_{\mathrm{正方形}}}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2}{R^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}:2$。
【答案】
(1) $∠ OGF=15°$；
(2) 正六边形与正方形的面积比为$3\sqrt{3}:2$。
【知识点】
正多边形与圆的性质，等腰三角形的性质，特殊图形面积计算
【点评】
本题是正多边形相关的基础典型题，结合正六边形、正方形的性质考查角度计算和面积求解，解题核心是掌握圆内接正六边形的边长等于外接圆半径这一特殊性质，再结合特殊图形的角度、面积公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
