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14. 如图1，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，阅读以下作图过程，并回答问题.
作法:如图2.
第1步,作直径AF.
第2步,以点F为圆心,FO为半径作圆弧,与$\odot O$交于点M,N.
第3步,连接AM,MN,NA.
(1)$△ AMN$是正三角形吗?请说明理由;
(2)从点A开始,以DN的长为边长,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些点,得到正n边形,求n的值.
作法:如图2.
第1步,作直径AF.
第2步,以点F为圆心,FO为半径作圆弧,与$\odot O$交于点M,N.
第3步,连接AM,MN,NA.
(1)$△ AMN$是正三角形吗?请说明理由;
(2)从点A开始,以DN的长为边长,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些点,得到正n边形,求n的值.
答案
解：(1)$△ AMN$是正三角形，理由如下：
连接$OM$，$FM$，$ON$，$FN$。
由作图过程可知：$FM=FO=FN$，
又$\because OM=ON=OF$，
$\therefore △ OMF$和$△ ONF$都是等边三角形，
$\therefore ∠ MOF=∠ NOF=60°$。
$\because AF$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AOM=180°-∠ MOF=120°$，$∠ AON=180°-∠ NOF=120°$，
$\therefore ∠ AOM=∠ MON=∠ AON=120°$，
$\therefore AM=MN=AN$，
$\therefore △ AMN$是正三角形。
(2)$\because$ 正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，
$\therefore$ 正五边形的中心角为$\dfrac{360°}{5}=72°$。
$\because AF$是$\odot O$的直径，由正五边形的对称性可知，$AF$平分弧$CD$，
$\therefore$ 弧$DF$对应的圆心角为$\dfrac{1}{2}×72°=36°$。
由(1)知$∠ AON=120°$，
$\therefore$ 弧$AN$对应的圆心角为$120°$，
$\therefore$ 弧$FN$对应的圆心角为$180°-120°=60°$，
$\therefore$ 弧$DN$对应的圆心角为$60°-36°=24°$，
$\therefore n=\dfrac{360°}{24°}=15$。
答：$n$的值为15。
连接$OM$，$FM$，$ON$，$FN$。
由作图过程可知：$FM=FO=FN$，
又$\because OM=ON=OF$，
$\therefore △ OMF$和$△ ONF$都是等边三角形，
$\therefore ∠ MOF=∠ NOF=60°$。
$\because AF$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AOM=180°-∠ MOF=120°$，$∠ AON=180°-∠ NOF=120°$，
$\therefore ∠ AOM=∠ MON=∠ AON=120°$，
$\therefore AM=MN=AN$，
$\therefore △ AMN$是正三角形。
(2)$\because$ 正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，
$\therefore$ 正五边形的中心角为$\dfrac{360°}{5}=72°$。
$\because AF$是$\odot O$的直径，由正五边形的对称性可知，$AF$平分弧$CD$，
$\therefore$ 弧$DF$对应的圆心角为$\dfrac{1}{2}×72°=36°$。
由(1)知$∠ AON=120°$，
$\therefore$ 弧$AN$对应的圆心角为$120°$，
$\therefore$ 弧$FN$对应的圆心角为$180°-120°=60°$，
$\therefore$ 弧$DN$对应的圆心角为$60°-36°=24°$，
$\therefore n=\dfrac{360°}{24°}=15$。
答：$n$的值为15。
解析
【分析】
(1) 要判断△AMN是否为正三角形，可通过证明三边相等实现，同圆中弦相等等价于弦对应的圆心角相等，因此先连接OM、ON、FM、FN，结合作图条件和同圆半径相等，可证△OMF、△ONF为等边三角形，进而推出∠AOM=∠AON=∠MON=120°，即可得到AM=MN=AN，证明△AMN是正三角形。
(2) 求正n边形的边数n，只需先求出边长DN对应的圆心角度数，再用360°除以该圆心角度数即可。先计算正五边形的中心角，再结合直径AF的对称性得到弧DF的圆心角，结合(1)的结论得到弧FN的圆心角，二者作差得到弧DN的圆心角，最后代入计算n的值。
【解析】
(1) $△ AMN$是正三角形，理由如下：
连接$OM$，$FM$，$ON$，$FN$。
由作图过程可知：$FM=FO=FN$，
又$\because OM=ON=OF$（同圆的半径相等），
$\therefore △ OMF$和$△ ONF$都是等边三角形，
$\therefore ∠ MOF=∠ NOF=60°$。
$\because AF$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AOM=180°-∠ MOF=120°$，$∠ AON=180°-∠ NOF=120°$，
$\therefore ∠MON=∠MOF+∠NOF=120°$，即$∠ AOM=∠ MON=∠ AON=120°$，
$\therefore AM=MN=AN$（同圆中相等的圆心角所对的弦相等），
$\therefore △ AMN$是正三角形。
(2)$\because$ 正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，
$\therefore$ 正五边形的中心角为$\dfrac{360°}{5}=72°$。
$\because AF$是$\odot O$的直径，由正五边形的对称性可知，$AF$平分弧$CD$，
$\therefore$ 弧$DF$对应的圆心角为$\dfrac{1}{2}×72°=36°$。
由(1)知$∠NOF=60°$，即弧$FN$对应的圆心角为60°，
$\therefore$ 弧$DN$对应的圆心角为$60°-36°=24°$，
$\therefore n=\dfrac{360°}{24°}=15$。
【答案】
(1) $△ AMN$是正三角形，理由见解析；
(2) $n$的值为$\boxed{15}$。
【知识点】
正多边形与圆，等边三角形的判定，圆心角与弧、弦的关系
【点评】
本题以正五边形和圆的尺规作图为背景，考查圆的基本性质和正多边形的相关计算，解题关键是熟练掌握同圆中圆心角、弧、弦的对应关系，以及正多边形中心角的计算方法，对学生的图形分析能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 要判断△AMN是否为正三角形，可通过证明三边相等实现，同圆中弦相等等价于弦对应的圆心角相等，因此先连接OM、ON、FM、FN，结合作图条件和同圆半径相等，可证△OMF、△ONF为等边三角形，进而推出∠AOM=∠AON=∠MON=120°，即可得到AM=MN=AN，证明△AMN是正三角形。
(2) 求正n边形的边数n，只需先求出边长DN对应的圆心角度数，再用360°除以该圆心角度数即可。先计算正五边形的中心角，再结合直径AF的对称性得到弧DF的圆心角，结合(1)的结论得到弧FN的圆心角，二者作差得到弧DN的圆心角，最后代入计算n的值。
【解析】
(1) $△ AMN$是正三角形，理由如下：
连接$OM$，$FM$，$ON$，$FN$。
由作图过程可知：$FM=FO=FN$，
又$\because OM=ON=OF$（同圆的半径相等），
$\therefore △ OMF$和$△ ONF$都是等边三角形，
$\therefore ∠ MOF=∠ NOF=60°$。
$\because AF$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ AOM=180°-∠ MOF=120°$，$∠ AON=180°-∠ NOF=120°$，
$\therefore ∠MON=∠MOF+∠NOF=120°$，即$∠ AOM=∠ MON=∠ AON=120°$，
$\therefore AM=MN=AN$（同圆中相等的圆心角所对的弦相等），
$\therefore △ AMN$是正三角形。
(2)$\because$ 正五边形$ABCDE$内接于$\odot O$，
$\therefore$ 正五边形的中心角为$\dfrac{360°}{5}=72°$。
$\because AF$是$\odot O$的直径，由正五边形的对称性可知，$AF$平分弧$CD$，
$\therefore$ 弧$DF$对应的圆心角为$\dfrac{1}{2}×72°=36°$。
由(1)知$∠NOF=60°$，即弧$FN$对应的圆心角为60°，
$\therefore$ 弧$DN$对应的圆心角为$60°-36°=24°$，
$\therefore n=\dfrac{360°}{24°}=15$。
【答案】
(1) $△ AMN$是正三角形，理由见解析；
(2) $n$的值为$\boxed{15}$。
【知识点】
正多边形与圆，等边三角形的判定，圆心角与弧、弦的关系
【点评】
本题以正五边形和圆的尺规作图为背景，考查圆的基本性质和正多边形的相关计算，解题关键是熟练掌握同圆中圆心角、弧、弦的对应关系，以及正多边形中心角的计算方法，对学生的图形分析能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
