7.已知点A(a,3)和点B(-4,b)关于原点对称，则A，B两点之间的距离是()。

A.6
B.7
C.8
D.10

7.D

【分析】
解题首先需要回忆关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。利用这个性质先求出a、b的值，得到A、B两点的具体坐标，再代入两点之间的距离公式计算即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵ 点A(a,3)和点B(-4,b)关于原点对称，
∴ 关于原点对称的两点横、纵坐标互为相反数，可得：
$a = -(-4) = 4$，$b = -3$，
即A点坐标为$(4,3)$，B点坐标为$(-4,-3)$。
根据两点间距离公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离为$\sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$，代入A、B坐标得：
$AB=\sqrt{[4-(-4)]^2 + [3-(-3)]^2}=\sqrt{8^2 + 6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；两点间的距离公式
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对原点对称坐标性质的记忆和两点距离公式的应用，熟练掌握基础概念和公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8

8.已知点Q(m,3)关于x轴对称的点在直线$y=-x+4$上，则点Q关于y轴对称的点的坐标是，关于原点对称的点的坐标是。

8.$(-7,3)$ $(-7,-3)$

【分析】
解题思路分为三步：第一步，先回忆关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数），写出点Q关于x轴对称的点的坐标；第二步，因为该对称点在已知直线上，将其坐标代入直线解析式，即可求出参数m的值，得到点Q的具体坐标；第三步，再分别根据关于y轴对称、关于原点对称的点的坐标特征，计算出对应对称点的坐标即可。
【解析】
1. 求点Q关于x轴对称的点的坐标：
根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得点Q(m,3)关于x轴对称的点坐标为$(m, -3)$。
2. 求m的值：
∵点$(m, -3)$在直线$y=-x+4$上，将x=m，y=-3代入解析式得：
$-3 = -m + 4$
移项解得：$m = 7$
∴点Q的坐标为$(7, 3)$。
3. 求点Q关于y轴对称的点的坐标：
根据关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得对称点坐标为$(-7, 3)$。
4. 求点Q关于原点对称的点的坐标：
根据关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标均互为相反数，可得对称点坐标为$(-7, -3)$。
【答案】
$(-7,3)$；$(-7,-3)$
【知识点】
1. 坐标对称点的坐标规律
2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查坐标对称的相关规律及一次函数的基本性质，解题的关键是熟练掌握各类坐标对称的变换规则，通过代入直线解析式求出未知参数后即可顺利求解，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8

9.如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长为1个单位长度,△ABC的三个顶点都在格点上,且△A₁B₁C₁与△ABC关于原点O对称.
(1)直接写出点A₁的坐标,并画出△A₁B₁C₁.
(2)点P(a,b)是△ABC的边AC上一点,将△ABC平移后点P的对应点P'的坐标为$(a+2,b-6)$,请画出平移后的△A₂B₂C₂.
(3)若△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂关于某一点中心对称,则对称中心的坐标为.

9.(1)$(3,-4)$,画图略. (2)画图略. (3)$(1,-3)$

【分析】
(1)解决第一问首先要明确关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标都互为相反数。首先从网格中读出点A的坐标，再根据规律计算出A₁的坐标，同理找到B、C的对称点B₁、C₁，顺次连接即可画出△A₁B₁C₁。
(2)解决第二问需要先从点P的坐标变化提炼平移规律：横坐标+2说明向右平移2个单位长度，纵坐标-6说明向下平移6个单位长度。将△ABC的三个顶点都按照这个平移规则得到对应点，顺次连接就能画出平移后的△A₂B₂C₂。
(3)解决第三问要用到中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称中心是任意一组对应点连线的中点。先算出平移后点A₂的坐标，再结合第一问得到的A₁坐标，代入中点坐标公式计算即可得到对称中心的坐标。
【解析】
(1)由网格可得点A的坐标为$(-3,4)$，根据关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，可得点A₁的坐标为$(3,-4)$；同理得到B、C关于原点的对称点B₁、C₁，顺次连接A₁、B₁、C₁即可得到△A₁B₁C₁。
(2)由点$P(a,b)$平移后对应点为$P'(a+2,b-6)$，可知平移规则为：向右平移2个单位长度，向下平移6个单位长度。将A、B、C三点均按此规则平移得到对应点A₂、B₂、C₂，顺次连接三点即可得到△A₂B₂C₂。
(3)点A$(-3,4)$按上述规则平移后得到A₂的坐标为$(-3+2,4-6)$，即$(-1,-2)$。已知A₁坐标为$(3,-4)$，根据中点坐标公式，两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，代入A₁、A₂坐标可得对称中心坐标为$(\frac{3+(-1)}{2},\frac{-4+(-2)}{2})$，计算得$(1,-3)$。
【答案】
(1)$(3,-4)$，画图略；(2)画图略；(3)$(1,-3)$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形平移变换；中心对称的性质
【点评】
本题主要考查平面直角坐标系中的图形变换，涵盖对称、平移相关知识点，侧重对坐标变换规律的应用，是平面直角坐标系与图形变换结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7

10.如图,点A,B,C,D都在正方形网格的格点上,其中点A的坐标为(-1,5),点B的坐标为(3,3).连接点A与点B,点C与点D得到两条线段.
(1)请在图①的正方形网格上画出平面直角坐标系,并写出点C,D的坐标.
(2)小明发现,图中两条线段存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段.请在图②中标出这个旋转中心P,点P的坐标是.

10.(1)画直角坐标系略.点$C(5,3),D(3,-1)$.
(2)画图略.$(1,1)$或$(4,4)$

【分析】
(1) 要建立平面直角坐标系，需根据已知点A(-1,5)和B(3,3)的坐标确定x轴、y轴的位置：点A横坐标为-1，说明y轴在点A右侧1个单位的竖直线上；点A纵坐标为5，说明x轴在点A下方5个单位的水平线上，建立坐标系后即可直接读出C、D两点的坐标。
(2) 根据旋转的性质，旋转中心到每一组对应点的距离相等，因此旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点。由于对应关系有两种（A对应C、B对应D，或A对应D、B对应C），分两种情况找垂直平分线的交点即可得到旋转中心坐标。
【解析】
(1) 步骤1：根据点A(-1,5)的坐标，确定y轴为点A右侧第1格的竖直线，x轴为点A下方第5格的水平线，两轴交点为原点，建立平面直角坐标系。
步骤2：观察网格中C、D的位置，读出点C的横坐标为5，纵坐标为3，即C(5,3)；点D的横坐标为3，纵坐标为-1，即D(3,-1)。
(2) 步骤1：根据旋转的性质，旋转中心到对应点的距离相等，因此旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点。
步骤2：第一种对应情况：若点A的对应点为C，点B的对应点为D，连接AC、BD，分别作AC、BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为(1,1)。
步骤3：第二种对应情况：若点A的对应点为D，点B的对应点为C，连接AD、BC，分别作AD、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为(4,4)。
综上，旋转中心P的坐标为(1,1)或(4,4)。
【答案】
(1) 平面直角坐标系略，$\boldsymbol{C(5,3)}$，$\boldsymbol{D(3,-1)}$；
(2) $\boldsymbol{(1,1)}$或$\boldsymbol{(4,4)}$
【知识点】
平面直角坐标系的建立；旋转的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题主要考查坐标系的确定和旋转中心的找法，解题的关键是掌握旋转前后对应点到旋转中心距离相等的性质，注意旋转的对应关系存在两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

11.如图,已知点 A 的坐标为$(3,0)$,点 B 在 y 轴正半轴上,将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转$120°$得到线段 AC,若点 C 的坐标为$(7,h)$且$h＞0$,求 h 的值.

11.在 x 轴上取点 D 和点 E,使得$∠ ADB=∠ AEC=120°$,过点 C 作 $CF⊥ x$ 轴于点 F.

$\because$ 点 C 的坐标为$(7,h),\therefore OF=7,CF=h$,
在 $\mathrm{Rt}△ CEF$ 中,$∠ CEF=180°-∠ AEC=60°,CF=h,\therefore EF=\frac{\sqrt{3}}{3}h,CE=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$.
$\because ∠ BAC=120°,\therefore ∠ BAD+∠ CAE=∠ BAD+∠ ABD=60°$,
$\therefore ∠ CAE=∠ ABD$,
$\because AB=CA,\therefore △ CAE≌ △ ABD(\mathrm{AAS}),\therefore AD=CE=\frac{2\sqrt{3}}{3}h,AE=BD$.
$\because$ 点 A 的坐标为$(3,0),\therefore OA=3,\therefore OD=OA-AD=3-\frac{2\sqrt{3}}{3}h$,
在 $\mathrm{Rt}△ BOD$ 中,$∠ BDO=180°-∠ ADB=60°,\therefore BD=2OD=6-\frac{4\sqrt{3}}{3}h$,
$\therefore AE=BD=6-\frac{4\sqrt{3}}{3}h$.
$\because OA+AE+EF=OF,\therefore 3+6-\frac{4\sqrt{3}}{3}h+\frac{\sqrt{3}}{3}h=7$,解得 $h=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

【分析】
这是旋转背景下的坐标求解问题，解题思路如下：首先根据旋转的性质可得$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，要结合坐标求$h$的值，需要构造全等三角形建立已知线段和未知量$h$的关系：先在$x$轴上构造两个$120°$的角，得到一组等角，再结合等角的余角相等得到另一组对应角相等，利用AAS证明两个三角形全等；之后通过解直角三角形用$h$表示出各段线段的长度，最后根据$x$轴上线段的和差关系列方程，即可求解$h$的值。
【解析】
在 $x$ 轴上取点 $D$ 和点 $E$,使得$∠ ADB=∠ AEC=120°$,过点 $C$ 作 $CF⊥ x$ 轴于点 $F$.

$\because$ 点 $C$ 的坐标为$(7,h)$,$\therefore OF=7$,$CF=h$,
在 $\mathrm{Rt}△ CEF$ 中,$∠ CEF=180°-∠ AEC=60°$,$CF=h$,$\therefore EF=\frac{\sqrt{3}}{3}h$,$CE=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$.
$\because ∠ BAC=120°$,$\therefore ∠ BAD+∠ CAE=∠ BAD+∠ ABD=60°$,
$\therefore ∠ CAE=∠ ABD$,
$\because AB=CA$,$\therefore △ CAE≌△ ABD(\mathrm{AAS})$,$\therefore AD=CE=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$,$AE=BD$.
$\because$ 点 $A$ 的坐标为$(3,0)$,$\therefore OA=3$,$\therefore OD=OA-AD=3-\frac{2\sqrt{3}}{3}h$,
在 $\mathrm{Rt}△ BOD$ 中,$∠ BDO=180°-∠ ADB=60°$,$\therefore BD=2OD=6-\frac{4\sqrt{3}}{3}h$,
$\therefore AE=BD=6-\frac{4\sqrt{3}}{3}h$.
$\because OA+AE+EF=OF$,$\therefore 3+6-\frac{4\sqrt{3}}{3}h+\frac{\sqrt{3}}{3}h=7$,解得 $h=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
【答案】
$\boldsymbol{h=\frac{2\sqrt{3}}{3}}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是通过构造含$120°$角的辅助线得到全等三角形，将坐标中的线段长度和未知量$h$建立联系，同时结合解直角三角形的知识表示各段线段长，较好地考察了几何推理能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.4