登录
7.已知点A(a,3)和点B(-4,b)关于原点对称，则A，B两点之间的距离是(
A.6
B.7
C.8
D.10
D
)。A.6
B.7
C.8
D.10
答案
7.D
解析
【分析】
解题首先要回忆关于原点对称的点的坐标性质：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，先据此求出a、b的值，得到A、B两点的具体坐标，再利用两点之间的距离公式计算两点间的距离即可。
【解析】
解：
∵ 点A(a,3)和点B(-4,b)关于原点对称
根据关于原点对称的点的坐标特征，横、纵坐标均互为相反数，可得：
$a=-(-4)=4$，$b=-3$
即A点坐标为$(4,3)$，B点坐标为$(-4,-3)$
根据两点间距离公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
代入A、B坐标计算得：
$AB=\sqrt{[4-(-4)]^2+[3-(-3)]^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征，两点间的距离公式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握原点对称的点的坐标变化规律，再结合距离公式计算即可，主要考查基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题首先要回忆关于原点对称的点的坐标性质：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，先据此求出a、b的值，得到A、B两点的具体坐标，再利用两点之间的距离公式计算两点间的距离即可。
【解析】
解：
∵ 点A(a,3)和点B(-4,b)关于原点对称
根据关于原点对称的点的坐标特征，横、纵坐标均互为相反数，可得：
$a=-(-4)=4$，$b=-3$
即A点坐标为$(4,3)$，B点坐标为$(-4,-3)$
根据两点间距离公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
代入A、B坐标计算得：
$AB=\sqrt{[4-(-4)]^2+[3-(-3)]^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征，两点间的距离公式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握原点对称的点的坐标变化规律，再结合距离公式计算即可，主要考查基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.8
8.已知点Q(m,3)关于x轴对称的点在直线$y=-x+4$上，则点Q关于y轴对称的点的坐标是
$(-7,3)$
，关于原点对称的点的坐标是$(-7,-3)$
。答案
8.$(-7,3)$ $(-7,-3)$
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，先回忆关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此写出点Q关于x轴对称的点的坐标；第二步，直线上的点的坐标满足直线解析式，将得到的对称点坐标代入直线$y=-x+4$，即可求出m的值，确定点Q的坐标；第三步，再分别根据关于y轴对称、关于原点对称的点的坐标特征，计算得到对应的对称点坐标即可。
【解析】
1. 求点Q关于x轴对称的点的坐标：
关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，因此点$Q(m,3)$关于x轴对称的点坐标为$(m,-3)$。
2. 代入直线解析式求m的值：
$\because$ 点$(m,-3)$在直线$y=-x+4$上，将$x=m$，$y=-3$代入解析式得：
$-3=-m+4$
移项解得$m=7$，因此点Q的坐标为$(7,3)$。
3. 求关于y轴对称的点的坐标：
关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，因此点Q关于y轴对称的点坐标为$(-7,3)$。
4. 求关于原点对称的点的坐标：
关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此点Q关于原点对称的点坐标为$(-7,-3)$。
【答案】
$(-7,3)$；$(-7,-3)$
【知识点】
1. 对称点的坐标规律
2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查不同对称类型下点的坐标变化规则，以及一次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，熟练掌握各类对称点的坐标变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题可分三步思考：第一步，先回忆关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此写出点Q关于x轴对称的点的坐标；第二步，直线上的点的坐标满足直线解析式，将得到的对称点坐标代入直线$y=-x+4$，即可求出m的值，确定点Q的坐标；第三步，再分别根据关于y轴对称、关于原点对称的点的坐标特征，计算得到对应的对称点坐标即可。
【解析】
1. 求点Q关于x轴对称的点的坐标：
关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，因此点$Q(m,3)$关于x轴对称的点坐标为$(m,-3)$。
2. 代入直线解析式求m的值：
$\because$ 点$(m,-3)$在直线$y=-x+4$上，将$x=m$，$y=-3$代入解析式得：
$-3=-m+4$
移项解得$m=7$，因此点Q的坐标为$(7,3)$。
3. 求关于y轴对称的点的坐标：
关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，因此点Q关于y轴对称的点坐标为$(-7,3)$。
4. 求关于原点对称的点的坐标：
关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此点Q关于原点对称的点坐标为$(-7,-3)$。
【答案】
$(-7,3)$；$(-7,-3)$
【知识点】
1. 对称点的坐标规律
2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查不同对称类型下点的坐标变化规则，以及一次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，熟练掌握各类对称点的坐标变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9.如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长为1个单位长度,△ABC的三个顶点都在格点上,且△A₁B₁C₁与△ABC关于原点O对称.
(1)直接写出点A₁的坐标
(2)点P(a,b)是△ABC的边AC上一点,将△ABC平移后点P的对应点P'的坐标为$(a+2,b-6)$,请画出平移后的△A₂B₂C₂.
(3)若△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂关于某一点中心对称,则对称中心的坐标为
(1)直接写出点A₁的坐标
$(3,-4)$
,并画出△A₁B₁C₁.(2)点P(a,b)是△ABC的边AC上一点,将△ABC平移后点P的对应点P'的坐标为$(a+2,b-6)$,请画出平移后的△A₂B₂C₂.
(3)若△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂关于某一点中心对称,则对称中心的坐标为
$(1,-3)$
.答案
9.(1)$(3,-4)$,画图略. (2)画图略. (3)$(1,-3)$
解析
【分析】
(1) 解决第一问需先确定点A的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可得到A₁的坐标；再分别找到B、C关于原点的对称点B₁、C₁，顺次连接即可画出△A₁B₁C₁。
(2) 第二问根据点P平移前后的坐标变化，可确定平移规律为：向右平移2个单位长度，向下平移6个单位长度；将△ABC的三个顶点都按此规律平移得到对应点，顺次连接即可得到平移后的△A₂B₂C₂。
(3) 第三问根据中心对称的性质：对称中心是任意一对对应点连线的中点，利用中点坐标公式计算对应点连线的中点坐标，即可得到对称中心的坐标。
【解析】
(1) 观察网格可得点A的坐标为$(-3,4)$，根据关于原点对称的点的坐标特征，横、纵坐标均取相反数，因此A₁的坐标为$(3,-4)$；分别作出B$(-4,2)$的对称点B₁$(4,-2)$、C$(-2,1)$的对称点C₁$(2,-1)$，顺次连接A₁、B₁、C₁即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 由点$P(a,b)$平移后得到$P'(a+2,b-6)$，可知平移规律为：向右平移2个单位长度，向下平移6个单位长度。将A、B、C三点按此规律平移，得到对应点A₂$(-3+2,4-6)=(-1,-2)$、B₂$(-4+2,2-6)=(-2,-4)$、C₂$(-2+2,1-6)=(0,-5)$，顺次连接A₂、B₂、C₂即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 根据中心对称的性质，对称中心为对应点连线的中点。取对应点A₁$(3,-4)$和A₂$(-1,-2)$，由中点坐标公式可得：
中点横坐标为$\frac{3+(-1)}{2}=1$，中点纵坐标为$\frac{-4+(-2)}{2}=-3$，因此对称中心的坐标为$(1,-3)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,-4)}$，画图略；(2) 画图略；(3) $\boldsymbol{(1,-3)}$
【知识点】
关于原点对称的坐标特征，图形的平移变换，中心对称的性质
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中的图形变换，涵盖对称、平移两类基础变换，解题关键是熟练掌握坐标变换的规律，作图时要注意顶点位置的准确性。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问需先确定点A的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可得到A₁的坐标；再分别找到B、C关于原点的对称点B₁、C₁，顺次连接即可画出△A₁B₁C₁。
(2) 第二问根据点P平移前后的坐标变化，可确定平移规律为：向右平移2个单位长度，向下平移6个单位长度；将△ABC的三个顶点都按此规律平移得到对应点，顺次连接即可得到平移后的△A₂B₂C₂。
(3) 第三问根据中心对称的性质：对称中心是任意一对对应点连线的中点，利用中点坐标公式计算对应点连线的中点坐标，即可得到对称中心的坐标。
【解析】
(1) 观察网格可得点A的坐标为$(-3,4)$，根据关于原点对称的点的坐标特征，横、纵坐标均取相反数，因此A₁的坐标为$(3,-4)$；分别作出B$(-4,2)$的对称点B₁$(4,-2)$、C$(-2,1)$的对称点C₁$(2,-1)$，顺次连接A₁、B₁、C₁即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 由点$P(a,b)$平移后得到$P'(a+2,b-6)$，可知平移规律为：向右平移2个单位长度，向下平移6个单位长度。将A、B、C三点按此规律平移，得到对应点A₂$(-3+2,4-6)=(-1,-2)$、B₂$(-4+2,2-6)=(-2,-4)$、C₂$(-2+2,1-6)=(0,-5)$，顺次连接A₂、B₂、C₂即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 根据中心对称的性质，对称中心为对应点连线的中点。取对应点A₁$(3,-4)$和A₂$(-1,-2)$，由中点坐标公式可得：
中点横坐标为$\frac{3+(-1)}{2}=1$，中点纵坐标为$\frac{-4+(-2)}{2}=-3$，因此对称中心的坐标为$(1,-3)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,-4)}$，画图略；(2) 画图略；(3) $\boldsymbol{(1,-3)}$
【知识点】
关于原点对称的坐标特征，图形的平移变换，中心对称的性质
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中的图形变换，涵盖对称、平移两类基础变换，解题关键是熟练掌握坐标变换的规律，作图时要注意顶点位置的准确性。
【难度系数】
0.7
10.如图,点A,B,C,D都在正方形网格的格点上,其中点A的坐标为(-1,5),点B的坐标为(3,3).连接点A与点B,点C与点D得到两条线段.
(1)请在图①的正方形网格上画出平面直角坐标系,并写出点C,D的坐标.
(2)小明发现,图中两条线段存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段.请在图②中标出这个旋转中心P,点P的坐标是
(1)请在图①的正方形网格上画出平面直角坐标系,并写出点C,D的坐标.
(2)小明发现,图中两条线段存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段.请在图②中标出这个旋转中心P,点P的坐标是
$(1,1)$或$(4,4)$
.答案
10.(1)画直角坐标系略.点$C(5,3),D(3,-1)$.
(2)画图略.$(1,1)$或$(4,4)$
(2)画图略.$(1,1)$或$(4,4)$
解析
【分析】
(1) 已知点A(-1,5)、B(3,3)，可根据两点坐标确定坐标原点的位置，建立平面直角坐标系，再根据坐标系读取点C、D的坐标即可。
(2) 根据旋转的性质，旋转中心到每一组对应点的距离相等，因此旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点；由于线段AB旋转得到线段CD时，对应点有两种情况（A对应C、B对应D，或A对应D、B对应C），因此需要分两种情况找垂直平分线的交点，即可得到旋转中心P的坐标。
【解析】
(1) 由点A坐标(-1,5)可知，将点A向右平移1个单位，再向下平移5个单位即为坐标原点(0,0)，以此建立平面直角坐标系（x轴向右为正方向，y轴向上为正方向，每格边长为1个单位长度）。
观察网格可得：点C横坐标为5，纵坐标为3，即$C(5,3)$；点D横坐标为3，纵坐标为-1，即$D(3,-1)$。
(2) 旋转中心到两组对应点的距离相等，即旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点：
① 当A对应C、B对应D时：
连接AC、BD，分别作两条线段的垂直平分线，交点为$(1,1)$；
② 当A对应D、B对应C时：
连接AD、BC，分别作两条线段的垂直平分线，交点为$(4,4)$。
因此旋转中心P的坐标为$(1,1)$或$(4,4)$。
【答案】
(1) $C(5,3)$，$D(3,-1)$；
(2) $(1,1)$或$(4,4)$
【知识点】
平面直角坐标系的建立，旋转的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题结合网格考查坐标系的确定与旋转中心的求解，解题关键是掌握旋转中心的性质，注意对应点存在两种不同的对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 已知点A(-1,5)、B(3,3)，可根据两点坐标确定坐标原点的位置，建立平面直角坐标系，再根据坐标系读取点C、D的坐标即可。
(2) 根据旋转的性质，旋转中心到每一组对应点的距离相等，因此旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点；由于线段AB旋转得到线段CD时，对应点有两种情况（A对应C、B对应D，或A对应D、B对应C），因此需要分两种情况找垂直平分线的交点，即可得到旋转中心P的坐标。
【解析】
(1) 由点A坐标(-1,5)可知，将点A向右平移1个单位，再向下平移5个单位即为坐标原点(0,0)，以此建立平面直角坐标系（x轴向右为正方向，y轴向上为正方向，每格边长为1个单位长度）。
观察网格可得：点C横坐标为5，纵坐标为3，即$C(5,3)$；点D横坐标为3，纵坐标为-1，即$D(3,-1)$。
(2) 旋转中心到两组对应点的距离相等，即旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点：
① 当A对应C、B对应D时：
连接AC、BD，分别作两条线段的垂直平分线，交点为$(1,1)$；
② 当A对应D、B对应C时：
连接AD、BC，分别作两条线段的垂直平分线，交点为$(4,4)$。
因此旋转中心P的坐标为$(1,1)$或$(4,4)$。
【答案】
(1) $C(5,3)$，$D(3,-1)$；
(2) $(1,1)$或$(4,4)$
【知识点】
平面直角坐标系的建立，旋转的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题结合网格考查坐标系的确定与旋转中心的求解，解题关键是掌握旋转中心的性质，注意对应点存在两种不同的对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
11.如图,已知点 A 的坐标为$(3,0)$,点 B 在 y 轴正半轴上,将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转$120°$得到线段 AC,若点 C 的坐标为$(7,h)$且$h＞0$,求 h 的值.
答案
11.在 x 轴上取点 D 和点 E,使得$∠ ADB=∠ AEC=120°$,过点 C 作 $CF⊥ x$ 轴于点 F.
$\because$ 点 C 的坐标为$(7,h),\therefore OF=7,CF=h$,
在 $\mathrm{Rt}△ CEF$ 中,$∠ CEF=180°-∠ AEC=60°,CF=h,\therefore EF=\frac{\sqrt{3}}{3}h,CE=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$.
$\because ∠ BAC=120°,\therefore ∠ BAD+∠ CAE=∠ BAD+∠ ABD=60°$,
$\therefore ∠ CAE=∠ ABD$,
$\because AB=CA,\therefore △ CAE≌ △ ABD(\mathrm{AAS}),\therefore AD=CE=\frac{2\sqrt{3}}{3}h,AE=BD$.
$\because$ 点 A 的坐标为$(3,0),\therefore OA=3,\therefore OD=OA-AD=3-\frac{2\sqrt{3}}{3}h$,
在 $\mathrm{Rt}△ BOD$ 中,$∠ BDO=180°-∠ ADB=60°,\therefore BD=2OD=6-\frac{4\sqrt{3}}{3}h$,
$\therefore AE=BD=6-\frac{4\sqrt{3}}{3}h$.
$\because OA+AE+EF=OF,\therefore 3+6-\frac{4\sqrt{3}}{3}h+\frac{\sqrt{3}}{3}h=7$,解得 $h=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
本题是平面直角坐标系中的旋转类计算问题，首先根据旋转的性质可得到AB=AC、∠BAC=120°，要计算点C的纵坐标h，我们可以构造含120°角的三角形，结合已知的等角、等边条件证明三角形全等，再利用特殊角的直角三角形的边角关系，用h表示出x轴上各段线段的长度，最后根据x轴上线段的和差关系列方程求解即可。
【解析】
在x轴上取点D和点E，使得$∠ ADB=∠ AEC=120°$，过点C作 $CF⊥ x$ 轴于点F.
$\because$ 点 C 的坐标为$(7,h),\therefore OF=7,CF=h$,
在 $\mathrm{Rt}△ CEF$ 中,$∠ CEF=180°-∠ AEC=60°,CF=h,\therefore EF=\frac{\sqrt{3}}{3}h,CE=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$.
$\because ∠ BAC=120°,\therefore ∠ BAD+∠ CAE=∠ BAD+∠ ABD=60°$,
$\therefore ∠ CAE=∠ ABD$,
$\because AB=CA,\therefore △ CAE≌ △ ABD(\mathrm{AAS}),\therefore AD=CE=\frac{2\sqrt{3}}{3}h,AE=BD$.
$\because$ 点 A 的坐标为$(3,0),\therefore OA=3,\therefore OD=OA-AD=3-\frac{2\sqrt{3}}{3}h$,
在 $\mathrm{Rt}△ BOD$ 中,$∠ BDO=180°-∠ ADB=60°,\therefore BD=2OD=6-\frac{4\sqrt{3}}{3}h$,
$\therefore AE=BD=6-\frac{4\sqrt{3}}{3}h$.
$\because OA+AE+EF=OF,\therefore 3+6-\frac{4\sqrt{3}}{3}h+\frac{\sqrt{3}}{3}h=7$,解得 $h=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
【答案】
$\boldsymbol{h=\frac{2\sqrt{3}}{3}}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形判定与性质；特殊角的三角函数应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，综合考查了旋转性质、全等三角形构造以及特殊直角三角形的边角关系，解题的核心是合理构造辅助线得到全等三角形，将坐标条件转化为线段之间的数量关系列方程求解，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
本题是平面直角坐标系中的旋转类计算问题，首先根据旋转的性质可得到AB=AC、∠BAC=120°，要计算点C的纵坐标h，我们可以构造含120°角的三角形，结合已知的等角、等边条件证明三角形全等，再利用特殊角的直角三角形的边角关系，用h表示出x轴上各段线段的长度，最后根据x轴上线段的和差关系列方程求解即可。
【解析】
在x轴上取点D和点E，使得$∠ ADB=∠ AEC=120°$，过点C作 $CF⊥ x$ 轴于点F.
$\because$ 点 C 的坐标为$(7,h),\therefore OF=7,CF=h$,
在 $\mathrm{Rt}△ CEF$ 中,$∠ CEF=180°-∠ AEC=60°,CF=h,\therefore EF=\frac{\sqrt{3}}{3}h,CE=\frac{2\sqrt{3}}{3}h$.
$\because ∠ BAC=120°,\therefore ∠ BAD+∠ CAE=∠ BAD+∠ ABD=60°$,
$\therefore ∠ CAE=∠ ABD$,
$\because AB=CA,\therefore △ CAE≌ △ ABD(\mathrm{AAS}),\therefore AD=CE=\frac{2\sqrt{3}}{3}h,AE=BD$.
$\because$ 点 A 的坐标为$(3,0),\therefore OA=3,\therefore OD=OA-AD=3-\frac{2\sqrt{3}}{3}h$,
在 $\mathrm{Rt}△ BOD$ 中,$∠ BDO=180°-∠ ADB=60°,\therefore BD=2OD=6-\frac{4\sqrt{3}}{3}h$,
$\therefore AE=BD=6-\frac{4\sqrt{3}}{3}h$.
$\because OA+AE+EF=OF,\therefore 3+6-\frac{4\sqrt{3}}{3}h+\frac{\sqrt{3}}{3}h=7$,解得 $h=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
【答案】
$\boldsymbol{h=\frac{2\sqrt{3}}{3}}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形判定与性质；特殊角的三角函数应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，综合考查了旋转性质、全等三角形构造以及特殊直角三角形的边角关系，解题的核心是合理构造辅助线得到全等三角形，将坐标条件转化为线段之间的数量关系列方程求解，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
