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1. 方程$(x-2)(x+3)=0$的解是（
A.$x=2$
B.$x=-3$
C.$x_1=-2,x_2=3$
D.$x_1=2,x_2=-3$
D
）A.$x=2$
B.$x=-3$
C.$x_1=-2,x_2=3$
D.$x_1=2,x_2=-3$
答案
1.D 解析:$(x-2)(x+3)=0,x-2=0$或$x+3=0$,解得$x_1=2$,$x_2=-3$,故选 D.
2. (2025·青岛期中)方程$x^2=2024x$的根为（
A.$x=0$
B.$x=2024$
C.$x_1=0,x_2=2024$
D.无实数根
C
）A.$x=0$
B.$x=2024$
C.$x_1=0,x_2=2024$
D.无实数根
答案
2.C 解析:$x^2=2\ 024x$,$x^2-2\ 024x=0$,$x(x-2\ 024)=0$,$x=0$或$x-2\ 024=0$,解得$x_1=0$,$x_2=2\ 024$,故选 C.
3. 方程$(x+1)^2 = -(x+1)(x-1)$的解是（
A.$x_1=1, x_2=2$
B.$x_1=-1, x_2=0$
C.$x=1$
D.$x_1=1, x_2=-1$
B
）A.$x_1=1, x_2=2$
B.$x_1=-1, x_2=0$
C.$x=1$
D.$x_1=1, x_2=-1$
答案
3.B 解析:$\because (x+1)^2+(x+1)(x-1)=0$,$\therefore 2x(x+1)=0$,$\therefore x+1=0$或$x=0$,解得$x_1=-1$,$x_2=0$.故选 B.
4. 已知方程$x^2 + px + q = 0$的两个根分别是3和-5，则$x^2 + px + q$可分解为
(x-3)(x+5)
。答案
4.$(x-3)(x+5)$ 解析:方程$x^2+px+q=0$的两个根分别是3和-5,则$(x-3)(x+5)=0$,即$x^2+px+q$可分解为$(x-3)(x+5)$.
5.（威海中考）一元二次方程$4x(x-2)=x-2$的解为
$x_1=2,x_2=\frac{1}{4}$
.答案
5.$x_1=2,x_2=\frac{1}{4}$ 解析:$4x(x-2)=x-2$,$4x(x-2)-(x-2)=0$,$(x-2)(4x-1)=0$,解得$x_1=2$,$x_2=\frac{1}{4}$.
6. 阅读下面的材料，回答问题.因式分解二次三项式时可以使用“十字相乘法”，例如因式分解$x^2+4x+3$，如图，二次项$x^2=x· x$，常数项$3=1×3$，一次项系数$4=1+3$，$\therefore x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$.试用十字相乘法解方程：$x^2-5x+6=0$，则$x_1=$
2
，$x_2=$3
.答案
6.2 3 解析:如图,$x^2-5x+6=0$,$(x-2)(x-3)=0$,$x-2=0$或$x-3=0$,$\therefore x_1=2$,$x_2=3$.
7. (2026·青岛月考)已知关于x的一元二次方程$(m+1)x^2 + x + m^2 - 3m -4 = 0$的一个根为0，则m的值为
4
.答案
7.4 解析:$\because$ 关于$x$的一元二次方程$(m+1)x^2+x+m^2-3m-4=0$的一个根为0,$\therefore (m+1)×0^2+0+m^2-3m-4=0$,$m+1≠0$,则$m^2-3m-4=0$,$m≠-1$,$\therefore (m-4)(m+1)=0$,$\therefore m_1=4$,$m_2=-1$(舍去),故答案为4.
8. 用因式分解法解方程：
(1)$(2x-3)^2 = 5(3-2x)$；
(2)$(2x-5)(x+3) = 15-6x$；
(3)$(2x+1)(x-1) = x(3+x)-5$；
(4)$4(2x-1)^2 = 9(x+4)^2$。
(1)$(2x-3)^2 = 5(3-2x)$；
(2)$(2x-5)(x+3) = 15-6x$；
(3)$(2x+1)(x-1) = x(3+x)-5$；
(4)$4(2x-1)^2 = 9(x+4)^2$。
答案
8.(1)原方程可变形为$(2x-3)^2-5(3-2x)=0$,$(2x-3)^2+5(2x-3)=0$,即$(2x-3)(2x-3+5)=0$,$(2x-3)(2x+2)=0$,所以$2x-3=0$或$2x+2=0$,所以$x_1=\frac{3}{2}$,$x_2=-1$.
(2)原方程可变形为$(2x-5)(x+3)+3(2x-5)=0$,即$(2x-5)(x+6)=0$,所以$2x-5=0$或$x+6=0$,解得$x_1=2.5$,$x_2=-6$.
(3)原方程可变形为$2x^2-x-1=3x+x^2-5$,即$x^2-4x+4=0$,所以$(x-2)^2=0$,解得$x_1=x_2=2$.
(4)原方程可变形为$4(2x-1)^2-9(x+4)^2=0$,$[2(2x-1)+3(x+4)][2(2x-1)-3(x+4)]=0$,所以$2(2x-1)+3(x+4)=0$或$2(2x-1)-3(x+4)=0$,解得$x_1=-\frac{10}{7}$,$x_2=14$.
(2)原方程可变形为$(2x-5)(x+3)+3(2x-5)=0$,即$(2x-5)(x+6)=0$,所以$2x-5=0$或$x+6=0$,解得$x_1=2.5$,$x_2=-6$.
(3)原方程可变形为$2x^2-x-1=3x+x^2-5$,即$x^2-4x+4=0$,所以$(x-2)^2=0$,解得$x_1=x_2=2$.
(4)原方程可变形为$4(2x-1)^2-9(x+4)^2=0$,$[2(2x-1)+3(x+4)][2(2x-1)-3(x+4)]=0$,所以$2(2x-1)+3(x+4)=0$或$2(2x-1)-3(x+4)=0$,解得$x_1=-\frac{10}{7}$,$x_2=14$.
9. 阅读下列材料，解答问题.
$(2x-5)^2+(3x+7)^2=(5x+2)^2$.
解:设$m=2x-5,n=3x+7$,则$m+n=5x+2$,
则原方程可化为$m^2+n^2=(m+n)^2$,
所以$mn=0$,即$(2x-5)(3x+7)=0$,
解得$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{7}{3}$.
请利用上述方法解方程:
$(4x-5)^2+(3x-2)^2=(x-3)^2$.
$(2x-5)^2+(3x+7)^2=(5x+2)^2$.
解:设$m=2x-5,n=3x+7$,则$m+n=5x+2$,
则原方程可化为$m^2+n^2=(m+n)^2$,
所以$mn=0$,即$(2x-5)(3x+7)=0$,
解得$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{7}{3}$.
请利用上述方法解方程:
$(4x-5)^2+(3x-2)^2=(x-3)^2$.
答案
9.设$m=4x-5,n=3x-2$,则$m-n=(4x-5)-(3x-2)=x-3$,原方程可化为$m^2+n^2=(m-n)^2$,整理得$mn=0$,即$(4x-5)·(3x-2)=0$,故$4x-5=0$或$3x-2=0$,解得$x_1=\frac{5}{4}$,$x_2=\frac{2}{3}$.
10. 已知$x$为实数，且满足$(x^2+x+1)^2 +2(x^2+x+1)-3=0$，那么$x^2+x+1$的值为（
A.1
B.-3
C.-3或1
D.-1或3
A
）A.1
B.-3
C.-3或1
D.-1或3
答案
10.A 解析:设$y=x^2+x+1$,则$(x^2+x+1)^2+2(x^2+x+1)-3=0$可化为$y^2+2y-3=0$,分解因式,得$(y+3)(y-1)=0$,解得$y_1=-3$,$y_2=1$.当$x^2+x+1=-3$时,无解;当$x^2+x+1=1$时,经检验,符合题意.故选 A.
