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11.(枣庄中考)若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于x的方程$x^2 -6x +n=0$的两个根,则n的值为
8或9
.答案
11.8或9 解析:当4为腰长时,将 $x=4$ 代入 $x^2-6x+n=0$, 得 $4^2-6×4+n=0$, 解得 $n=8$. 当 $n=8$ 时, 原方程为 $x^2-6x+8=0$, 解得 $x_1=2,x_2=4.\because 2+4＞4,\therefore n=8$ 符合题意. 当4为底边长时, 关于 $x$ 的方程 $x^2-6x+n=0$ 有两个相等的实数根, $\therefore \Delta=(-6)^2-4×1×n=0$, 解得 $n=9$. 当 $n=9$ 时, 原方程为 $x^2-6x+9=0$, 解得 $x_1=x_2=3.\because 3+3=6＞4,\therefore n=9$ 符合题意. 综上所述, $n$ 的值为 8 或 9.
12. (2024·南充中考)已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2kx + k^2 - k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$k＜5$，且$k,x_1,x_2$都是整数，求$k$的值.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$k＜5$，且$k,x_1,x_2$都是整数，求$k$的值.
答案
12.(1)$\because x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2-2kx+k^2-k+1=0$ 的两个不相等的实数根, $\therefore \Delta＞0,\therefore \Delta=(-2k)^2-4×1×(k^2-k+1)=4k^2-4k^2+4k-4=4k-4＞0$, 解得 $k＞1$.
(2)$\because k＜5$, 由(1)得 $k＞1,\therefore 1＜k＜5,\therefore$ 整数 $k$ 的值有 2,3,4,
当 $k=2$ 时, 方程为 $x^2-4x+3=0$, 解得 $x_1=1,x_2=3$(都是整数,此情况符合题意);
当 $k=3$ 时, 方程为 $x^2-6x+7=0$, 解得 $x=3\pm\sqrt{2}$(都不是整数,此情况不符合题意);
当 $k=4$ 时, 方程为 $x^2-8x+13=0$, 解得 $x=4\pm\sqrt{3}$(都不是整数,此情况不符合题意).
综上所述, $k$ 的值为 2.
(2)$\because k＜5$, 由(1)得 $k＞1,\therefore 1＜k＜5,\therefore$ 整数 $k$ 的值有 2,3,4,
当 $k=2$ 时, 方程为 $x^2-4x+3=0$, 解得 $x_1=1,x_2=3$(都是整数,此情况符合题意);
当 $k=3$ 时, 方程为 $x^2-6x+7=0$, 解得 $x=3\pm\sqrt{2}$(都不是整数,此情况不符合题意);
当 $k=4$ 时, 方程为 $x^2-8x+13=0$, 解得 $x=4\pm\sqrt{3}$(都不是整数,此情况不符合题意).
综上所述, $k$ 的值为 2.
13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $(a+c)x^2 + 2bx + a - c = 0$，其中 $ a,b,c $ 分别为 $ △ ABC $ 三边的长.
(1) 如果 $ x=-1 $ 是方程的根，试判断 $ △ ABC $ 的形状，并说明理由；
(2) 如果方程有两个相等的实数根，试判断 $ △ ABC $ 的形状，并说明理由.
(1) 如果 $ x=-1 $ 是方程的根，试判断 $ △ ABC $ 的形状，并说明理由；
(2) 如果方程有两个相等的实数根，试判断 $ △ ABC $ 的形状，并说明理由.
答案
13.(1)$△ ABC$ 是等腰三角形.理由如下:$\because x=-1$ 是方程的根, $\therefore (a+c)×(-1)^2-2b+a-c=0,\therefore a+c-2b+a-c=0,\therefore a=b,\therefore △ ABC$ 是等腰三角形.
(2)$△ ABC$ 是直角三角形.理由如下:$\because$ 方程有两个相等的实数根, $\therefore \Delta=(2b)^2-4(a+c)(a-c)=0,\therefore 4b^2-4a^2+4c^2=0,\therefore a^2=b^2+c^2,\therefore △ ABC$ 是直角三角形.
(2)$△ ABC$ 是直角三角形.理由如下:$\because$ 方程有两个相等的实数根, $\therefore \Delta=(2b)^2-4(a+c)(a-c)=0,\therefore 4b^2-4a^2+4c^2=0,\therefore a^2=b^2+c^2,\therefore △ ABC$ 是直角三角形.
14. 阅读下面的例题:分解因式$x^2+2x-1$.
解:令$x^2+2x-1=0$,得到一个关于$x$的一元二次方程.
$\because a=1,b=2,c=-1$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$.
解得$x_1=-1+\sqrt{2},x_2=-1-\sqrt{2}$.
$\therefore x^2+2x-1=(x-x_1)(x-x_2)$
$=[x-(-1+\sqrt{2})][x-(-1-\sqrt{2})]$
$=(x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2})$.
这种分解因式的方法叫作求根法,请你利用这种方法分解下列因式:
(1)$x^2-3x+1$;
(2)$x^2-3|x|-2$.
解:令$x^2+2x-1=0$,得到一个关于$x$的一元二次方程.
$\because a=1,b=2,c=-1$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$.
解得$x_1=-1+\sqrt{2},x_2=-1-\sqrt{2}$.
$\therefore x^2+2x-1=(x-x_1)(x-x_2)$
$=[x-(-1+\sqrt{2})][x-(-1-\sqrt{2})]$
$=(x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2})$.
这种分解因式的方法叫作求根法,请你利用这种方法分解下列因式:
(1)$x^2-3x+1$;
(2)$x^2-3|x|-2$.
答案
14.(1)令 $x^2-3x+1=0$, 得到一个关于 $x$ 的一元二次方程.
$\because a=1,b=-3,c=1,\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$, 解得 $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2},\therefore x^2-3x+1=(x-x_1)(x-x_2)=(x-\frac{3+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2})$.
(2)令 $x^2-3|x|-2=0$, 得到一个关于 $x$ 的一元二次方程.设 $|x|=y$, 方程变形为 $y^2-3y-2=0(y＞0).\because a=1,b=-3,c=-2,\therefore y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2},\therefore |x|=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ 或 $|x|=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$(舍去), 则 $x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=-\frac{3+\sqrt{17}}{2}$,$\therefore x^2-3|x|-2=(x-x_1)(x-x_2)=(x-\frac{3+\sqrt{17}}{2})[x-(-\frac{3+\sqrt{17}}{2})]=(x+\frac{3+\sqrt{17}}{2})(x-\frac{3+\sqrt{17}}{2})$.
$\because a=1,b=-3,c=1,\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$, 解得 $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2},\therefore x^2-3x+1=(x-x_1)(x-x_2)=(x-\frac{3+\sqrt{5}}{2})(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2})$.
(2)令 $x^2-3|x|-2=0$, 得到一个关于 $x$ 的一元二次方程.设 $|x|=y$, 方程变形为 $y^2-3y-2=0(y＞0).\because a=1,b=-3,c=-2,\therefore y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2},\therefore |x|=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ 或 $|x|=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$(舍去), 则 $x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_2=-\frac{3+\sqrt{17}}{2}$,$\therefore x^2-3|x|-2=(x-x_1)(x-x_2)=(x-\frac{3+\sqrt{17}}{2})[x-(-\frac{3+\sqrt{17}}{2})]=(x+\frac{3+\sqrt{17}}{2})(x-\frac{3+\sqrt{17}}{2})$.
