例1 如图，在$△ ABC$中，$DE$垂直平分边$AC$，分别交边$AC$，$AB$于点$D$，$E$，连结$CE$，且$CE$平分$∠ ACB$。
(1)若$AB=9$，$BC=5$，求$△ BCE$的周长。
(2)设$∠ A=α$，$∠ B=β$，试用含$α$的式子表示$β$，再求当$α=28°$时，$β$的值。

解:(1)因为 DE 垂直平分边 AC，
所以 EA=EC，所以$△BCE$的周长$=BC+BE+EC$
$=BC+BE+EA=BC+AB=14$。
(2)因为$EA=EC$，所以$∠ECA=∠A=α$。
因为 CE 平分$∠ACB$，所以$∠BCE=∠ECA=α$，
所以$β=180°-3α$。
当$α=28°$时，$β=180°-3×28°=96°$。

变式1 如图，在$△ ABC$中，AB边的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E。已知$△ ABC$与$△ BCE$的周长分别为22 cm和14 cm，则BD的长为（）

A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm

B

变式2 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=9$,$BC=12$,分别以$A$,$B$为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$为半径画弧,两弧分别交于点$E$,$F$,直线$EF$交$BC$于点$D$,则$△ ACD$的周长为
（）

A.21
B.24
C.27
D.30


变式2题图
变式3题图

A

变式3 如图，$△ ABC$的边$AB$，$AC$的垂直平分线$DM$，$EN$相交于点$O$，$M$，$N$在$BC$边上，若$∠ MAN=20°$，则$∠ BAC$的度数为。

100°
【解析】因为 DM,EN 分别垂直平分 AB,AC，
所以$AM=BM$,$AN=CN$,
所以$∠B=∠BAM$,$∠C=∠CAN$。
因为$∠B+∠BAM+∠C+∠CAN+∠MAN$
$=180°$,
所以$2(∠B+∠C)+∠MAN=180°$。
因为$∠MAN=20°$,
所以$∠B+∠C=\frac{1}{2}×(180°-20°)=80°$,
所以$∠BAC=180°-(∠B+∠C)=100°$。

例2 在$△ ABC$中，$∠ ABC = 60°$，$∠ ACB=40°$，$BD$平分$∠ ABC$，$CD$平分$∠ ACB$。
（1）如图1，求$∠ BDC$的度数。
（2）如图2，连结$AD$，过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$，$DE=2$，$AC=4$，求$△ ADC$的面积。

解:(1)因为 BD 平分$∠ABC$,
所以$∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
因为 CD 平分$∠ACB$,
所以$∠DCB=\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}×40°=20°$,
所以$∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB$
$=180°-30°-20°=130°$。
(2)过点 D 作$DF⊥AC$于点 F,$DH⊥BC$于点 H，如图。
因为 BD 平分$∠ABC$,$DE⊥AB$,$DH⊥BC$,
所以$DH=DE=2$。
因为 CD 平分$∠ACB$,$DF⊥AC$,$DH⊥BC$,
所以$DF=DH=2$,
所以$△ADC$的面积$=\frac{1}{2}DF·AC=\frac{1}{2}×2×4=4$。