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变式1 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=90°$,$∠ ABC$的平分线BD交AC于点D。若$AD=2$,则点D到BC的距离为（
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.2
变式1题图
变式2题图
D
）A.1
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.2
变式1题图
变式2题图
答案
D
变式2 如图，$△ ABC$的面积为10 $\mathrm{cm}^2$，BP平分$∠ ABC$，过点A作$AP⊥ BP$于点P，则$△ PBC$的面积为
5
$\mathrm{cm}^2$。答案
5
变式3 如图，$DE ⊥ AB$交AB的延长线于点E，$DF ⊥ AC$于点F，若$BD=CD$，$BE=CF$。求证：AD平分$∠ BAC$。
答案
证明:因为$DE⊥AE$,$DF⊥AC$,
所以$∠E=∠DFC=90°$。
在$Rt△BDE$和$Rt△CDF$中,
因为$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
所以$Rt△BDE≌Rt△CDF(\mathrm{HL})$,
所以$DE=DF$,所以 AD 平分$∠BAC$。
所以$∠E=∠DFC=90°$。
在$Rt△BDE$和$Rt△CDF$中,
因为$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
所以$Rt△BDE≌Rt△CDF(\mathrm{HL})$,
所以$DE=DF$,所以 AD 平分$∠BAC$。
例3 如图,有一张三角形纸片ABC, $∠ C=90°,AC=8\ \mathrm{cm},BC=6\ \mathrm{cm}$,现将纸片折叠,使点A与点B重合,求折痕的长度。
答案
解:如图,折痕为 DE。
因为在$Rt△ABC$中,$∠C=90°$,
$AC=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,
所以根据勾股定理得
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10\ \mathrm{cm}$。
设$CE=x\ \mathrm{cm}$,由折叠的性质得
$BD=AD=5\ \mathrm{cm}$,$BE=AE=(8-x)\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△BCE$中,根据勾股定理可知$BC^2+CE^2=BE^2$,
即$6^2+x^2=(8-x)^2$,解得$x=\frac{7}{4}$,
故折痕长$DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\frac{15}{4}\ \mathrm{cm}$。
变式1 如图,有一张直角三角形纸片,∠ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,现将△ABC折叠,使边AC与AB重合,点C的对应点为点D,折痕为AE,则CE的长为 (
A.1 cm
B.2 cm
C.$\frac{3}{2}$ cm
D.$\frac{5}{2}$ cm
C
)A.1 cm
B.2 cm
C.$\frac{3}{2}$ cm
D.$\frac{5}{2}$ cm
答案
C
变式2 小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片(如图1)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图2)。小明认为△AEF是等腰三角形，你同意他的说法吗？请说明理由。
答案
解:同意。理由如下：
设 AD 与 EF 交于点 G(图略)。
由第一次折叠知 AD 平分$∠BAC$,
所以$∠BAD=∠CAD$。
由第二次折叠知,$∠AGE=∠DGE$。
又因为$∠AGE+∠DGE=180°$,
所以$∠AGE=∠DGE=90°$,
所以$∠AGE=∠AGF=90°$,
所以$∠AEF=∠AFE$,
所以$AE=AF$,
即$△AEF$为等腰三角形。
设 AD 与 EF 交于点 G(图略)。
由第一次折叠知 AD 平分$∠BAC$,
所以$∠BAD=∠CAD$。
由第二次折叠知,$∠AGE=∠DGE$。
又因为$∠AGE+∠DGE=180°$,
所以$∠AGE=∠DGE=90°$,
所以$∠AGE=∠AGF=90°$,
所以$∠AEF=∠AFE$,
所以$AE=AF$,
即$△AEF$为等腰三角形。
