7. （2026·聊城期中）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，顶点$C$在直线$MN$上，点$P$以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$A→C→B$向终点$B$运动，同时点$Q$以$5\ \mathrm{cm/s}$的速度从点$B$开始，在线段$BC$上往返运动（即沿$B→C→B→C→\dots$运动），当点$P$到达终点$B$时，$P,Q$同时停止运动。过点$P,Q$分别作直线$MN$的垂线段，垂足分别为$D,E$。设运动时间为$t(\mathrm{s})$，当$△ PCD$与$△ QCE$全等时，$t=\_\_\_\_\_\_\mathrm{s}$.

7. 1或$\frac{7}{4}$或$\frac{15}{4}$

8. ★★（2026·厦门月考）如图，在$△ ABC$中，AD是$∠ BAC$的外角平分线，点P是AD上异于点A的任意一点，设$PB=m$，$PC=n$，$AB=c$，$AC=b$，则$m+n$ $b+c$.（填“＞”“＜”或“=”） ＞＞对点专练P41

8. ＞ 解析:在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连结EP.
∵ AD是∠CAE的平分线,,
∴ ∠CAD=∠EAD.在△ACP和△AEP中,$\begin{cases} AC=AE, \\ ∠CAD=∠EAD, \\ AP=AP, \end{cases}$
∴ △ACP≌△AEP(SAS),
∴ PE=PC,在△PBE中,PB+PE＞AB+AE.
∵ PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,
∴ m+n＞b+c.

三、解答题
9. (2026·广元期中)如图，AD，BE是△ABC的高线，AD，BE交于点F，且AD=BD.
(1)求证:BF=AC;
(2)若AF=2，CD=4，求△ABC的面积.

9. (1)
∵ AD,BE是△ABC的高,
∴ AD⊥BC,BE⊥AC,
∴ ∠ADB=∠ADC=∠AEF=90°.
∵ ∠AFE=∠BFD,
∴ ∠FBD=∠CAD.在△FDB和△CDA 中,$\begin{cases} ∠FDB=∠CDA, \\ BD=AD, \\ ∠FBD=∠CAD, \end{cases}$
∴ △FDB ≌ △CDA(ASA),
∴ BF=AC.
(2)由(1)得△FDB≌△CDA,
∴ FD=CD.
∵ AF=2,CD=4,
∴ DF=4,
∴ BD=AD=AF+DF=6,
∴ BC=BD+CD=6+4=10,
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×10×6=30$,
∴ △ABC的面积为30.

10. 如图,在$△ ABC$和$△ DCE$中,$AC=BC$,$DC=EC$,$∠ ACB=∠ DCE=90°$,将$△ DCE$绕点$C$旋转(其中$0°＜∠ ACD＜180°$),连结$BD$和$AE$,$BD$与$AE$,$AC$分别交于点$O$和点$H$.
(1)求证:$△ BCD ≌ △ ACE$;
(2)试确定线段$BD$和$AE$的数量关系和位置关系;
(3)连结$AD$和$BE$,在旋转过程中,$△ ACD$的面积记为$S_1$,$△ BCE$的面积记为$S_2$,试判断$S_1$和$S_2$的大小,并给予证明.

$\gg$ 根据诊断结果,请完成对应的练习

10. (1)
∵ ∠ACB=∠DCE=90°,
∴ ∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
∴ ∠BCD=∠ACE.在△BCD与△ACE中,$\begin{cases} BC=AC, \\ ∠BCD=∠ACE, \\ DC=EC, \end{cases}$
∴ △BCD≌△ACE(SAS).
(2)由(1)得△BCD≌△ACE,
∴ BD=AE,∠DBC=∠EAC.
∵ ∠AHO=∠BHC,
∴ ∠AHO+∠EAC=∠BHC+∠DBC=90°,
∴ ∠AOH=90°,
∴ BD⊥AE.
∴ BD=AE且BD⊥AE.
(3)$S_1=S_2$.证明如下:如图,作DM⊥AC于点M,EN⊥BC交BC的延长线于点N.
∴ ∠DMC=∠ENC=90°.
∵ ∠MCD+∠DCN=90°,∠ECN+∠DCN=90°,
∴ ∠MCD=∠NCE.在△DCM和△ECN中,$\begin{cases} ∠DMC=∠ENC, \\ ∠MCD=∠NCE, \\ DC=EC, \end{cases}$
∴ △DCM≌△ECN(AAS),
∴ DM=EN.
∵ $S_1=\frac{1}{2}AC·DM$,$S_2=\frac{1}{2}BC·EN$,AC=BC,
∴ $S_1=S_2$.