1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,点D是BC边的垂直平分线与AB边的交点,点P是BC边上任意一点,$PE ⊥ BD$于点E,$PF ⊥ CD$于点F.求证:$PE+PF=AC$.

1. 连结 PD.
∵ S△BDC = S△PCD + S△PBD,
∴ $\frac{1}{2}BD · AC=\frac{1}{2}CD · PF+$$\frac{1}{2}BD · PE.$
∵ 点 D 在 BC 边的垂直平分线上,
∴ $BD = CD$,
∴ $PE+PF=AC.$

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$P$是$BC$延长线上任意一点,$PD ⊥ AB$于点$D$,$PE ⊥ AC$,交$AC$的延长线于$E$,$CF ⊥ AB$于点$F$.求证:$PD-PE=CF$.

2. 连结 AP.
∵ $PD ⊥ AB, PE ⊥ AC, CF ⊥ AB$, 且 $S_{△ ABC}=S_{△ ABP}-S_{△ ACP}, \therefore \frac{1}{2}AB · CF=\frac{1}{2}AB · PD-\frac{1}{2}AC · PE.$
∵ $AB=AC, \therefore PD-PE=CF.$

3. 如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点 D 是线段 CA 延长线上一点,且 AD=AB. 若点 F 是线段 BA 延长线上一点,连结 DF,以 DF 为斜边作等腰 Rt△DFE.连结 EA,且 EA ⊥ AB. 请写出线段 AE,AF,BC 之间的数量关系,并简要说明理由.

3. $BC=AF+AE.$理由如下:如图,过点 D 作 $DG ⊥ AE$,交 AE 的延长线于点 G,则 $∠DGE = 90°.$
∵ $AE ⊥ AB, \therefore ∠EAF = ∠DGE=90°.$
∵ $△ DEF$ 是以 DF 为斜边的等腰直角三角形, $\therefore ∠DEF = 90°$, $DE=EF, \therefore ∠GDE + ∠GED = ∠GED + ∠AEF=90°, \therefore ∠GDE = ∠AEF, \therefore △ GDE ≌ △ AEF (\mathrm{AAS}), \therefore GE=AF.$
∵ $∠DGE = ∠EAF = 90°, \therefore DG // AB, \therefore ∠GDA = ∠CAB,$ 在 $△ GDA$ 和 $△ CAB$ 中, $\begin{cases}∠DGA=∠C,\\∠GDA=∠CAB,\\AD=BA,\end{cases}$ $\therefore △ GDA ≌ △ CAB(\mathrm{AAS}), \therefore BC=AG, \therefore BC=EG+AE=AF+AE.$