二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,若$\tan B=\frac{1}{2}$,则$\sin B$的值为.

7.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

【分析】
解题时先明确锐角三角函数的定义，已知$\tan B$的值，也就是角$B$的对边与邻边的比值，我们可以通过设参数的方式分别表示出这两条边的长度，再结合勾股定理求出斜边长度，最后根据正弦函数的定义就能求出$\sin B$的值。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据正切的定义可得：$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$，
设$AC=k$（$k＞0$），则$BC=2k$，
由勾股定理计算斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{k^2+(2k)^2}=\sqrt{5k^2}=\sqrt{5}k$，
再根据正弦的定义可得：
$\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{k}{\sqrt{5}k}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，考查锐角三角函数的基础应用，设参数是解决这类比值类问题的常用技巧，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理就能快速解答。
【难度系数】
0.85

8.若$α$为锐角，且$\tan(α + 15°)=1$，则$\cosα$的值为。

8.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

【分析】
解题时首先回忆特殊角的三角函数值，已知正切值为1，可得对应角度为45°；再结合α是锐角的条件，确定α+15°的取值范围，验证角度的合理性，进而求出α的度数，最后代入计算cosα的值即可。
【解析】
∵$\tan45°=1$，且$\tan(α + 15°)=1$，
又
∵α为锐角，即$0°＜α＜90°$，
∴$15°＜α+15°＜105°$，
∴$α+15°=45°$，
解得$α=45°-15°=30°$，
∴$\cosα=\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；角度运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的掌握，解题的关键是先根据已知三角函数值求出对应角度，再代入计算目标三角函数值，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8

9. 甲、乙两人约好一起去江边垂钓.如图,钓鱼竿AC的长为4 m,露在水面上的鱼线BC的长为$2\sqrt{2}$ m,把鱼竿AC逆时针转动$15°$到$AC'$的位置,此时露在水面上的鱼线$B'C'$的长度是 m.(精确到0.1 m.参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$)

9.3.5

【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先明确鱼竿旋转前后长度不变，即$AC=AC'=4\mathrm{m}$，鱼线始终垂直水面，因此$△ ABC$和$△ AB'C'$均为直角三角形。第一步先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，利用三角函数求出原鱼竿与水平方向的夹角$∠ CAB$的度数；第二步结合旋转的$15°$，算出旋转后鱼竿与水平方向的夹角$∠ C'AB$的度数；最后在$\mathrm{Rt}△ AB'C'$中利用三角函数求出$B'C'$的长度，按要求取近似值即可。
【解析】
解：由题意得：$∠ ABC=∠ AB'C'=90°$，$AC=AC'=4\mathrm{m}$，$∠ CAC'=15°$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中：
$\sin∠ CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\therefore ∠ CAB=45°$
2. 由旋转性质可得：
$∠ C'AB=∠ CAB+∠ CAC'=45°+15°=60°$
3. 在$\mathrm{Rt}△ AB'C'$中：
$\sin∠ C'AB=\frac{B'C'}{AC'}$
$\therefore B'C'=AC'·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$
代入$\sqrt{3}\approx1.73$，得$B'C'\approx2×1.73=3.46\approx3.5(\mathrm{m})$
【答案】
3.5
【知识点】
解直角三角形的应用，旋转的性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的相关知识，解题核心是抓住旋转前后鱼竿长度不变的特点，结合特殊角的三角函数值计算，需要注意最终结果的精确度要求。
【难度系数】
0.7

10. 在学习特殊角的正弦、余弦与正切值的过程中，我们可以了解到$\sin 15°$、$\sin 30°$、$\sin 35°$、$\sin 45°$、$\sin 55°$、$\sin 65°$、$\sin 75°$、$\sin 85°$值的大小与$α$的变化规律，根据这个规律判断：若$\frac{1}{2}＜\sinα＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$α$的取值范围是。

10.$30°＜α＜60°$

【分析】
解题时首先要明确锐角正弦值的变化规律：在0°~90°的范围内，锐角的正弦值随角度的增大而增大。接下来回忆特殊角的三角函数值，找到正弦值为$\frac{1}{2}$和$\frac{\sqrt{3}}{2}$对应的角度分别是30°和60°，最后结合正弦的增减性，将三角函数值的不等式转化为角度的不等式，即可得到α的取值范围。
【解析】
解：
∵ 在0°＜α＜90°范围内，$\sinα$随α的增大而增大，
又
∵ $\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
已知$\frac{1}{2}＜\sinα＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $\sin30°＜\sinα＜\sin60°$，
根据正弦的增减性可得：$30°＜α＜60°$。
【答案】
$30°＜α＜60°$
【知识点】
1. 锐角正弦的增减性
2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对锐角正弦函数变化规律的掌握和特殊角三角函数值的记忆，熟练掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8

11. 如图，将$45°$的$∠ AOB$放置在一把刻度尺上，顶点$O$与刻度尺下沿的端点重合，$OA$与刻度尺下沿重合，$OB$与刻度尺上沿的交点$B$在刻度尺上的读数为$2\ \mathrm{cm}$. 若按相同的方式将$37°$的$∠ AOC$放置在该刻度尺上，则$OC$与刻度尺上沿的交点$C$在刻度尺上的读数是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
（结果精确到$0.1\ \mathrm{cm}$，参考数据：$\sin 37°\approx0.60$，$\cos 37°\approx0.80$，$\tan 37°\approx0.75$）

11.2.7

【分析】
解题的核心是抓住刻度尺上下沿平行、垂直宽度固定这一隐含条件，分两步推导：第一步先通过45°的∠AOB和B点的读数求出刻度尺的垂直宽度，第二步再结合37°的∠AOC，利用正切三角函数的定义计算C点的读数。
【解析】
设刻度尺上下沿的垂直距离为$ h\ \mathrm{cm} $。
1. 求刻度尺的宽度$ h $：
在$ ∠ AOB=45° $对应的直角三角形中，B点读数为水平邻边长2cm，$ h $为对边长，根据正切定义：
$ \tan45°=\frac{h}{2} $
代入$ \tan45°=1 $，得$ h=2×1=2\ \mathrm{cm} $。
2. 求C点的读数：
设C点读数为$ x\ \mathrm{cm} $，同理在$ ∠ AOC=37° $对应的直角三角形中：
$ \tan37°=\frac{h}{x} $
变形得$ x=\frac{h}{\tan37°} $，代入$ h=2 $、$ \tan37°\approx0.75 $，计算得：
$ x=\frac{2}{0.75}\approx2.7 $
【答案】
2.7
【知识点】
正切三角函数的定义，解直角三角形的应用
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，难度不大，只要能将实际场景转化为直角三角形模型，熟练运用正切公式即可求解。
【难度系数】
0.7

12.定义一种运算：$\sin(α+β)=\sinα\cosβ+\cosα\sinβ$，$\sin(α-β)=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ$.例如：当$α=60°,β=45°$时，$\sin(60°+45°)=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，则$\sin15°$的值为.

12.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

【分析】
要计算$\sin15°$的值，首先观察到$15°$可以表示为两个特殊锐角的差，如$45°-30°$（或$60°-45°$），结合题目给出的$\sin(α-β)$的运算公式，代入特殊角的三角函数值计算即可。
【解析】
我们可以将$15°$转化为$45°-30°$，根据题目给出的运算公式$\sin(α-β)=\sinα\cosβ-\cosα\sinβ$，代入$α=45°$，$β=30°$：
$\begin{aligned}\sin15°&=\sin(45°-30°)\\&=\sin45°\cos30° - \cos45°\sin30°\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}\\&=\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}\\&=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
（也可转化为$60°-45°$计算，结果一致）
【答案】
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
新定义运算、特殊角的三角函数值、二次根式混合运算
【点评】
本题属于新定义运算类基础题，解题核心是将非特殊角转化为两个特殊角的差，正确套用给定的运算公式，准确记忆特殊角的三角函数值并正确计算二次根式即可得到结果。
【难度系数】
0.7

13. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$AB=2\sqrt{13}$,$\tan B=\frac{2}{3}$,点 D 为边 AB 上的一点,连接 CD,过点 A 作 $AE⊥ CD$,交 CD 于点 E,交 BC 于点 F.当 $AD=2BD$ 时,CF 的长为 .

13.$\frac{4}{3}$ 解析:过点 B 作$BK// AC$,交 CD 的延长线于点 K,
由题意可得$\frac{AC}{BC}=\frac{2}{3}$,
设$AC=2x$,$BC=3x$,则$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{13}x=2\sqrt{13}$,$\therefore x=2$,
$\therefore AC=4$,$BC=6$.
$\because BK// AC$,$AD=2BD$,$\therefore △ADC∽ △BDK$,
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BK}=2$,$\therefore BK=2$.
$\because ∠ACB=90°$,$AE⊥CD$,
$\therefore ∠CAE=∠BCK=90°-∠ACE$,
$\therefore \tan∠CAE=\tan∠BCK$,
$\therefore \frac{CF}{AC}=\frac{BK}{BC}$,$\therefore \frac{CF}{4}=\frac{2}{6}$,$\therefore CF=\frac{4}{3}$.

【分析】
解题时首先利用直角三角形的正切值和勾股定理求出两条直角边AC、BC的长度；接着根据AD=2BD的线段比例关系，通过作平行线构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出辅助线段BK的长度；最后根据同角的余角相等得到相等的角，结合锐角三角函数的比例关系即可求出CF的长度。
【解析】
过点B作$BK// AC$，交CD的延长线于点K，
∵在$Rt△ABC$中，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴设$AC=2x$，$BC=3x$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2x)^2+(3x)^2}=\sqrt{13}x$，
已知$AB=2\sqrt{13}$，$\therefore \sqrt{13}x=2\sqrt{13}$，解得$x=2$，
$\therefore AC=4$，$BC=6$。
∵$BK// AC$，$\therefore ∠ACD=∠K$，$∠CAD=∠DBK$，
$\therefore △ADC∽△BDK$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BK}$，
∵$AD=2BD$，$\therefore \frac{AC}{BK}=2$，代入$AC=4$得$BK=2$。
∵$∠ACB=90°$，$AE⊥CD$，
$\therefore ∠CAE + ∠ACE = 90°$，$∠BCK + ∠ACE = 90°$，
$\therefore ∠CAE=∠BCK$，
$\therefore \tan∠CAE=\tan∠BCK$，即$\frac{CF}{AC}=\frac{BK}{BC}$，
代入$AC=4$，$BK=2$，$BC=6$得：$\frac{CF}{4}=\frac{2}{6}$，
解得$CF=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数
【点评】
本题属于几何中等综合题，作平行线构造相似三角形是解题的关键，需要学生熟练掌握直角三角形的相关性质、相似三角形的比例关系以及三角函数的应用，能有效考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

14.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，O是AC的中点，BO=2DO，已知AB=4，AD=2，$\tan∠ ACD=\frac{\sqrt{3}}{5}$，则AC的长为。

14.$\frac{8\sqrt{3}}{3}$ 解析:如图,过点 D 作$DE⊥AC$于点 E,过点 B 作$BF⊥AC$于点 F。
$\because ∠OFB=∠OED=90°$,$∠BOF=∠DOE$,
$\therefore △OBF∽ △ODE$,$\therefore \frac{BO}{DO}=\frac{OF}{OE}=\frac{BF}{DE}=2$.
设$OE=x$,则$OF=2x$,$EF=3x$.
$\because AB=4$,$AD=2$,$\therefore \frac{AB}{AD}=2$,$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{BF}{DE}=2$.
$\because ∠AED=∠AFB=90°$,
$\therefore \mathrm{Rt}△AED∽ \mathrm{Rt}△AFB$,
$\therefore \frac{AE}{AF}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$,$\therefore AF=2AE$,
即$AE=EF=3x$,$\therefore AO=AE+OE=4x$.
$\because O$是 AC 的中点,$\therefore CO=AO=4x$,
$\therefore CE=CO+OE=5x$.
$\because \tan∠ACD=\frac{\sqrt{3}}{5}$,$\therefore \frac{DE}{CE}=\frac{\sqrt{3}}{5}$,$\therefore DE=\sqrt{3}x$.
在$\mathrm{Rt}△ADE$中,$AD=2$,由勾股定理,
得$AE^2+DE^2=AD^2$,即$(3x)^2+(\sqrt{3}x)^2=2^2$,
解得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$(负值舍去),
$\therefore AC=2AO=8x=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

【分析】
遇到本题包含线段比例关系、锐角三角函数值、求线段长的几何问题，首先考虑作垂线构造直角三角形，方便结合三角函数、勾股定理解题。第一步：分别过D、B作AC的垂线，利用对顶角相等和直角相等，证明△OBF与△ODE相似，得到对应线段的比例关系；第二步：结合AB与AD的长度比，证明Rt△AED和Rt△AFB相似，得到AE与AF的比例；第三步：设未知数表示各段线段长度，结合O是AC中点的性质，用含未知数的式子表示CE，再根据tan∠ACD的条件得到DE的表达式，最后在Rt△ADE中用勾股定理列方程求解未知数，即可算出AC的长度。
【解析】
过点D作$DE⊥AC$于点E，过点B作$BF⊥AC$于点F，如图。
$\because ∠OFB=∠OED=90°$，$∠BOF=∠DOE$，
$\therefore △OBF∽△ODE$，$\therefore \frac{BO}{DO}=\frac{OF}{OE}=\frac{BF}{DE}=2$。
设$OE=x$，则$OF=2x$，$EF=OE+OF=3x$。
$\because AB=4$，$AD=2$，$\therefore \frac{AB}{AD}=2$，即$\frac{AB}{AD}=\frac{BF}{DE}=2$。
又$\because ∠AED=∠AFB=90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△AED∽\mathrm{Rt}△AFB$，
$\therefore \frac{AE}{AF}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，即$AF=2AE$，
$\therefore AE=EF=3x$，则$AO=AE+OE=3x+x=4x$。
$\because O$是AC的中点，$\therefore CO=AO=4x$，
$\therefore CE=CO+OE=4x+x=5x$。
$\because \tan∠ACD=\frac{\sqrt{3}}{5}$，$\therefore \frac{DE}{CE}=\frac{\sqrt{3}}{5}$，代入$CE=5x$得$DE=\sqrt{3}x$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$AD=2$，由勾股定理得$AE^2+DE^2=AD^2$，
即$(3x)^2+(\sqrt{3}x)^2=2^2$，整理得$12x^2=4$，
解得$x=\frac{\sqrt{3}}{3}$（负值舍去），
$\therefore AC=2AO=2×4x=8x=8×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数应用
【点评】
本题是典型的几何综合题，解题核心是作垂线构造相似三角形和直角三角形，将已知的比例、角度三角函数值、边长条件串联，通过方程思想求解未知量，要求学生掌握辅助线构造方法，能灵活综合运用多个几何知识点解题。
【难度系数】
0.55

15如图，$△ ABC$的顶点都在正方形网格纸的格点上，则$\sin \dfrac{C}{2}=$.

15.$\frac{\sqrt{10}}{10}$

【分析】
要计算$\sin \dfrac{C}{2}$，可按以下步骤思考：第一步，设每个小正方形边长为1，利用勾股定理求出$△ ABC$三边的长度；第二步，运用余弦定理求出$∠ C$的余弦值$\cos C$；第三步，结合$∠ C$是三角形内角，判断$\dfrac{C}{2}$的范围，确定$\sin \dfrac{C}{2}$的符号为正，再利用三角函数半角公式计算$\sin \dfrac{C}{2}$的值。
【解析】
设网格中每个小正方形的边长为1。
1. 用勾股定理计算$△ ABC$三边长度：
$AB = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，
$AC = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$，
$BC = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$。
2. 由余弦定理求$\cos C$：
$\cos C = \dfrac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2· AC· BC}$
代入数值计算：$AC^2=18$，$BC^2=50$，$AB^2=20$，
分子$=18+50-20=48$，分母$=2×3\sqrt{2}×5\sqrt{2}=60$，
故$\cos C = \dfrac{48}{60} = \dfrac{4}{5}$。
3. 计算$\sin \dfrac{C}{2}$：
$\because ∠ C$是三角形内角，$\therefore 0°＜∠ C＜180°$，则$0°＜\dfrac{C}{2}＜90°$，$\sin \dfrac{C}{2}＞0$，
由半角公式$\sin \dfrac{α}{2}=\sqrt{\dfrac{1-\cosα}{2}}$（$α$为锐角），得：
$\sin \dfrac{C}{2}=\sqrt{\dfrac{1 - \cos C}{2}} = \sqrt{\dfrac{1 - \dfrac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\dfrac{1}{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
勾股定理，余弦定理，半角公式
【点评】
本题结合网格背景考查三角函数值的计算，需要熟练运用勾股定理求格点线段长度，掌握余弦定理和半角公式的应用，同时要注意结合角的范围确定三角函数值的符号。
【难度系数】
0.6