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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若三角形各边同时扩大为原来的2倍，则$\tan A$的值 （
A.不变
B.扩大为原来的2倍
C.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
D.无法确定
A
）A.不变
B.扩大为原来的2倍
C.缩小为原来的$\frac{1}{2}$
D.无法确定
答案
1.A
解析
【分析】
解题首先要明确锐角正切的定义，在直角三角形中，锐角A的正切值等于∠A的对边与邻边的比值。我们可以先写出原三角形中tanA的表达式，再计算各边扩大2倍后的tanA值，对比两者是否变化；也可以通过相似三角形的性质判断，边长同时扩大相同倍数后新三角形与原三角形相似，∠A的大小不变，因此其正切值也不变。
【解析】
设$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$的对边为$a$，邻边为$b$，根据正切的定义可得：$\tan A = \frac{a}{b}$。
将三角形各边同时扩大为原来的2倍后，$∠ A$的对边变为$2a$，邻边变为$2b$，此时$\tan A' = \frac{2a}{2b} = \frac{a}{b}$，和原$\tan A$的值相等。
也可通过相似性质推导：各边同时扩大2倍后得到的新三角形与原三角形相似，因此∠A的大小不变，而锐角的正切值仅由角的大小决定，故$\tan A$的值不变。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角正切的定义；相似三角形的性质
【点评】
本题考查对锐角三角函数本质的理解，需要明确三角函数值仅对应角的大小，与直角三角形的边长无关，属于基础概念题，易错点是忽略比值不变的规律，误认为边长变化会带动三角函数值变化。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确锐角正切的定义，在直角三角形中，锐角A的正切值等于∠A的对边与邻边的比值。我们可以先写出原三角形中tanA的表达式，再计算各边扩大2倍后的tanA值，对比两者是否变化；也可以通过相似三角形的性质判断，边长同时扩大相同倍数后新三角形与原三角形相似，∠A的大小不变，因此其正切值也不变。
【解析】
设$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$的对边为$a$，邻边为$b$，根据正切的定义可得：$\tan A = \frac{a}{b}$。
将三角形各边同时扩大为原来的2倍后，$∠ A$的对边变为$2a$，邻边变为$2b$，此时$\tan A' = \frac{2a}{2b} = \frac{a}{b}$，和原$\tan A$的值相等。
也可通过相似性质推导：各边同时扩大2倍后得到的新三角形与原三角形相似，因此∠A的大小不变，而锐角的正切值仅由角的大小决定，故$\tan A$的值不变。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角正切的定义；相似三角形的性质
【点评】
本题考查对锐角三角函数本质的理解，需要明确三角函数值仅对应角的大小，与直角三角形的边长无关，属于基础概念题，易错点是忽略比值不变的规律，误认为边长变化会带动三角函数值变化。
【难度系数】
0.9
2. 如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC:BC=1:2,连接AC,过点O作OP//AB交AC的延长线于点P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是 (
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.3
C
)A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.3
答案
2.C
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，由OP平行AB，可推出△ABC与△POC相似，结合OC:BC=1:2得到相似比；第二步，结合P点坐标(1,1)，可求出OP的长度，结合相似比得到AB的长度，再由OP的倾斜角推出AB的倾斜角为45°，可知△AOB是等腰直角三角形，求出OA的长度；第三步，根据正切的定义，∠OAP的正切值等于其对边比邻边，计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OP//AB，
∴∠CAB=∠CPO，∠CBA=∠COP，又
∵∠ACB与∠PCO是对顶角，
∴∠ACB=∠PCO，
∴△ACB∽△PCO。
已知OC:BC=1:2，
∴相似比为BC:OC=2:1，即$\frac{AB}{OP}=\frac{2}{1}$，$AB=2OP$。
∵P(1,1)，
∴$OP=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，代入得$AB=2\sqrt{2}$。
∵直线OP过原点和(1,1)，与x轴夹角为45°，且OP//AB，
∴直线AB与x轴夹角也为45°，即△AOB为等腰直角三角形，$OA=OB$。
在Rt△AOB中，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2}OA=2\sqrt{2}$，解得$OA=2$，即点A坐标为(-2,0)。
过点P作PH⊥x轴于点H，则$PH=1$，$AH=AO+OH=2+1=3$。
在Rt△AHP中，$\tan∠ OAP=\frac{PH}{AH}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于中等难度的综合题，解题的核心是利用平行线的性质推导相似关系，将坐标条件转化为线段长度，再结合锐角三角函数的定义求解，能够很好地考查学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，由OP平行AB，可推出△ABC与△POC相似，结合OC:BC=1:2得到相似比；第二步，结合P点坐标(1,1)，可求出OP的长度，结合相似比得到AB的长度，再由OP的倾斜角推出AB的倾斜角为45°，可知△AOB是等腰直角三角形，求出OA的长度；第三步，根据正切的定义，∠OAP的正切值等于其对边比邻边，计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OP//AB，
∴∠CAB=∠CPO，∠CBA=∠COP，又
∵∠ACB与∠PCO是对顶角，
∴∠ACB=∠PCO，
∴△ACB∽△PCO。
已知OC:BC=1:2，
∴相似比为BC:OC=2:1，即$\frac{AB}{OP}=\frac{2}{1}$，$AB=2OP$。
∵P(1,1)，
∴$OP=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，代入得$AB=2\sqrt{2}$。
∵直线OP过原点和(1,1)，与x轴夹角为45°，且OP//AB，
∴直线AB与x轴夹角也为45°，即△AOB为等腰直角三角形，$OA=OB$。
在Rt△AOB中，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2}OA=2\sqrt{2}$，解得$OA=2$，即点A坐标为(-2,0)。
过点P作PH⊥x轴于点H，则$PH=1$，$AH=AO+OH=2+1=3$。
在Rt△AHP中，$\tan∠ OAP=\frac{PH}{AH}=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于中等难度的综合题，解题的核心是利用平行线的性质推导相似关系，将坐标条件转化为线段长度，再结合锐角三角函数的定义求解，能够很好地考查学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a=2\sqrt{2}$，$b=2\sqrt{6}$，则下列结论中，错误的是（
A.$c=4\sqrt{2}$
B.$\tan B=\sqrt{3}$
C.$\sin^2 A + \sin^2 B=1$
D.$∠ B=30°$
D
）A.$c=4\sqrt{2}$
B.$\tan B=\sqrt{3}$
C.$\sin^2 A + \sin^2 B=1$
D.$∠ B=30°$
答案
3.D
解析
【分析】
本题是直角三角形相关的正误判断题，解题思路如下：第一步，利用勾股定理求出斜边c的长度，验证A选项；第二步，根据正切的定义计算tanB的值，验证B选项；第三步，利用互余两角的三角函数关系或直接计算正弦值的平方和，验证C选项；第四步，结合特殊角的三角函数值判断∠B的度数，验证D选项，最终找出错误结论。
【解析】
已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，直角边$a=2\sqrt{2}$，$b=2\sqrt{6}$。
1. 验证A选项：由勾股定理得$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{6})^2}=\sqrt{8+24}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，故A正确，不符合题意；
2. 验证B选项：根据正切的定义，$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，故B正确，不符合题意；
3. 验证C选项：
∵$∠A+∠B=90°$，
∴$\sin B=\cos A$，则$\sin^2A+\sin^2B=\sin^2A+\cos^2A=1$，故C正确，不符合题意；
4. 验证D选项：由$\tan B=\sqrt{3}$，且∠B为锐角，可得$∠B=60°≠30°$，故D错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查直角三角形中边、角的计算规律，只要熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的相关性质，就能快速判断各选项正误。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形相关的正误判断题，解题思路如下：第一步，利用勾股定理求出斜边c的长度，验证A选项；第二步，根据正切的定义计算tanB的值，验证B选项；第三步，利用互余两角的三角函数关系或直接计算正弦值的平方和，验证C选项；第四步，结合特殊角的三角函数值判断∠B的度数，验证D选项，最终找出错误结论。
【解析】
已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，直角边$a=2\sqrt{2}$，$b=2\sqrt{6}$。
1. 验证A选项：由勾股定理得$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{6})^2}=\sqrt{8+24}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，故A正确，不符合题意；
2. 验证B选项：根据正切的定义，$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，故B正确，不符合题意；
3. 验证C选项：
∵$∠A+∠B=90°$，
∴$\sin B=\cos A$，则$\sin^2A+\sin^2B=\sin^2A+\cos^2A=1$，故C正确，不符合题意；
4. 验证D选项：由$\tan B=\sqrt{3}$，且∠B为锐角，可得$∠B=60°≠30°$，故D错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查直角三角形中边、角的计算规律，只要熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的相关性质，就能快速判断各选项正误。
【难度系数】
0.8
4. 在如图所示的$8×8$的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则$∠ AED$的正切值是 （
A.$2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B
）A.$2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
答案
4.B
解析
【分析】
要计算∠AED的正切值，直接在交点处构造直角三角形较为不便，我们可以利用平行线的性质，将∠AED转化为与之相等的角，放入合适的直角三角形中，再根据正切的定义（直角三角形中锐角的对边与邻边的比值）求解。首先观察网格特征，找到与CD平行的线段，将∠AED平移到由格点构成的直角三角形内，再计算对应边的比值即可。
【解析】
我们通过构造辅助线转化角度：
1. 取格点构造与CD平行的线段BF，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠ABF = ∠AED。
2. 再选取合适格点构造直角三角形，使∠ABF为直角三角形的锐角，由小正方形边长为1，可得该直角三角形中∠ABF的对边长为2，邻边长为4。
3. 根据正切的定义，在直角三角形中$\tan∠ ABF=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，因此$\tan∠ AED=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
锐角正切的定义，平行线的性质，网格图形计算
【点评】
本题考查网格中锐角三角函数值的求解，核心是运用转化思想，通过平移线段将所求角转化为直角三角形的内角，解题时要注意准确识别格点位置、计算对应线段长度。
【难度系数】
0.6
要计算∠AED的正切值，直接在交点处构造直角三角形较为不便，我们可以利用平行线的性质，将∠AED转化为与之相等的角，放入合适的直角三角形中，再根据正切的定义（直角三角形中锐角的对边与邻边的比值）求解。首先观察网格特征，找到与CD平行的线段，将∠AED平移到由格点构成的直角三角形内，再计算对应边的比值即可。
【解析】
我们通过构造辅助线转化角度：
1. 取格点构造与CD平行的线段BF，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠ABF = ∠AED。
2. 再选取合适格点构造直角三角形，使∠ABF为直角三角形的锐角，由小正方形边长为1，可得该直角三角形中∠ABF的对边长为2，邻边长为4。
3. 根据正切的定义，在直角三角形中$\tan∠ ABF=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，因此$\tan∠ AED=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
锐角正切的定义，平行线的性质，网格图形计算
【点评】
本题考查网格中锐角三角函数值的求解，核心是运用转化思想，通过平移线段将所求角转化为直角三角形的内角，解题时要注意准确识别格点位置、计算对应线段长度。
【难度系数】
0.6
5 小伟同学酷爱健身，一天去爬山锻炼，在出发点 C 处测得山顶部 A 的仰角为 $30°$，在爬山过程中，每一段平路(CD、EF、GH)都与水平线平行，每一段上坡路(DE、FG、HA)与水平线的夹角都是 $45°$，在山的另一边有一点 B(B、C、D 在同一水平线上)，斜坡 AB 的坡度为 2：1，且 AB 长为 $900\sqrt{5}$ 米，其中小伟走平路的速度为 65.7 米/分，走上坡路的速度为 42.3 米/分。则小伟从 C 出发到坡顶 A 的时间约为(图中所有点在同一平面内。参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41,\sqrt{3}\approx1.73$ )(
A.60 分钟
B.70 分钟
C.80 分钟
D.90 分钟
C
)A.60 分钟
B.70 分钟
C.80 分钟
D.90 分钟
答案
5.C 解析:如图,作$AP⊥BC$于点P,延长AH交BC于点Q,延长EF交AQ于点T。
由题意,得$\frac{PA}{PB}=2$,$AQ=AH+FG+DE$,$CQ=CD+EF+GH$,$∠AQP=45°$,$∠C=30°$。
$\because ∠APB=90°$,$AB=900\sqrt{5}$米,
$\therefore PB=900$米,$PA=1\ 800$米。
$\because ∠PQA=∠PAQ=45°$,
$\therefore PA=PQ=1\ 800$米,$AQ=\sqrt{2}PA=1\ 800\sqrt{2}$米。
$\because ∠C=30°$,$\therefore PC=\sqrt{3}PA=1\ 800\sqrt{3}$米,
$\therefore CQ=(1\ 800\sqrt{3}-1\ 800)$米,
$\therefore$小伟从 C 出发到坡顶 A 的时间$=\frac{1\ 800\sqrt{3}-1\ 800}{65.7}+\frac{1\ 800\sqrt{2}}{42.3}\approx80$(分钟).故选 C.
解析
【分析】
要计算小伟从C到A的总时间，需先分别求出平路总路程和上坡路总路程，再结合对应速度计算两段路程的用时后求和。首先通过斜坡AB的坡度和AB长度求出山高AP，再利用所有上坡路与水平线夹角均为45°的特点，可推导出所有上坡路的长度和等于AQ的长度，所有平路的长度和等于CQ的长度；接着结合C处测得A的仰角为30°求出PC的长度，进而得到CQ的长度，最后分别计算两段路程的用时相加即可得到结果。
【解析】
如图，作$AP⊥BC$于点P，延长AH交BC于点Q，延长EF交AQ于点T。
由题意得：$\frac{PA}{PB}=2$，上坡路总长度$AQ=AH+FG+DE$，平路总长度$CQ=CD+EF+GH$，$∠AQP=45°$，$∠C=30°$。
$\because ∠APB=90°$，$AB=900\sqrt{5}$米，设$PB=x$，则$PA=2x$，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{PA^2+PB^2}=\sqrt{(2x)^2+x^2}=\sqrt{5}x=900\sqrt{5}$，解得$x=900$，
$\therefore PB=900$米，$PA=1800$米。
$\because ∠PQA=45°$，$∠APQ=90°$，$\therefore ∠PAQ=∠PQA=45°$，
$\therefore PA=PQ=1800$米，$AQ=\sqrt{PA^2+PQ^2}=1800\sqrt{2}$米。
$\because ∠C=30°$，$∠APC=90°$，$\therefore PC=\frac{PA}{\tan30°}=\sqrt{3}PA=1800\sqrt{3}$米，
$\therefore CQ=PC-PQ=1800\sqrt{3}-1800$米。
$\therefore$总时间$=\frac{\mathrm{平路路程}}{\mathrm{平路速度}}+\frac{\mathrm{上坡路程}}{\mathrm{上坡速度}}=\frac{1800\sqrt{3}-1800}{65.7}+\frac{1800\sqrt{2}}{42.3}$
代入$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$计算：
$\frac{1800×(1.73-1)}{65.7}+\frac{1800×1.41}{42.3}=\frac{1314}{65.7}+\frac{2538}{42.3}\approx20+60=80$（分钟）
故选C。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度坡角问题，仰角俯角问题
【点评】
本题结合行程问题考查解直角三角形的实际应用，解题核心是运用平移转化的思想，将分散的平路、上坡路段分别整合求和，简化计算过程，同时要求熟练掌握坡度、仰角的相关性质，具备一定的数值计算能力。
【难度系数】
0.6
要计算小伟从C到A的总时间，需先分别求出平路总路程和上坡路总路程，再结合对应速度计算两段路程的用时后求和。首先通过斜坡AB的坡度和AB长度求出山高AP，再利用所有上坡路与水平线夹角均为45°的特点，可推导出所有上坡路的长度和等于AQ的长度，所有平路的长度和等于CQ的长度；接着结合C处测得A的仰角为30°求出PC的长度，进而得到CQ的长度，最后分别计算两段路程的用时相加即可得到结果。
【解析】
如图，作$AP⊥BC$于点P，延长AH交BC于点Q，延长EF交AQ于点T。
由题意得：$\frac{PA}{PB}=2$，上坡路总长度$AQ=AH+FG+DE$，平路总长度$CQ=CD+EF+GH$，$∠AQP=45°$，$∠C=30°$。
$\because ∠APB=90°$，$AB=900\sqrt{5}$米，设$PB=x$，则$PA=2x$，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{PA^2+PB^2}=\sqrt{(2x)^2+x^2}=\sqrt{5}x=900\sqrt{5}$，解得$x=900$，
$\therefore PB=900$米，$PA=1800$米。
$\because ∠PQA=45°$，$∠APQ=90°$，$\therefore ∠PAQ=∠PQA=45°$，
$\therefore PA=PQ=1800$米，$AQ=\sqrt{PA^2+PQ^2}=1800\sqrt{2}$米。
$\because ∠C=30°$，$∠APC=90°$，$\therefore PC=\frac{PA}{\tan30°}=\sqrt{3}PA=1800\sqrt{3}$米，
$\therefore CQ=PC-PQ=1800\sqrt{3}-1800$米。
$\therefore$总时间$=\frac{\mathrm{平路路程}}{\mathrm{平路速度}}+\frac{\mathrm{上坡路程}}{\mathrm{上坡速度}}=\frac{1800\sqrt{3}-1800}{65.7}+\frac{1800\sqrt{2}}{42.3}$
代入$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$计算：
$\frac{1800×(1.73-1)}{65.7}+\frac{1800×1.41}{42.3}=\frac{1314}{65.7}+\frac{2538}{42.3}\approx20+60=80$（分钟）
故选C。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度坡角问题，仰角俯角问题
【点评】
本题结合行程问题考查解直角三角形的实际应用，解题核心是运用平移转化的思想，将分散的平路、上坡路段分别整合求和，简化计算过程，同时要求熟练掌握坡度、仰角的相关性质，具备一定的数值计算能力。
【难度系数】
0.6
6如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CE$是斜边$AB$上的中线,过点$E$作$EF⊥ AB$交$AC$于点$F$.若$BC=4$,$\sin∠ CEF=\frac{3}{5}$,则$△ AEF$的面积为（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
6.C 解析:过点 C 作$CD⊥AB$,垂足为 D,如图。
$\because EF⊥AB$,$\therefore CD// EF$,$\therefore ∠DCE=∠CEF$。
在$\mathrm{Rt}△CDE$中,$\sin∠DCE=\sin∠CEF=\frac{DE}{CE}=\frac{3}{5}$。
设$DE=3x$,则$CE=5x$,$\therefore CD=\sqrt{CE^2-DE^2}=4x$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$BE=EA$,
$\therefore CE=BE=EA=5x$,$\therefore AB=2BE=10x$,
$\therefore BD=BE-DE=2x$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中,$BC^2=BD^2+CD^2$,$BC=4$,
$\therefore 4^2=(2x)^2+(4x)^2$,$\therefore x=\frac{2}{5}\sqrt{5}$(负值舍去),
$\therefore AE=5x=2\sqrt{5}$。
$\because ∠CDA=∠FEA=90°$,$∠A=∠A$,
$\therefore △ACD∽ △AFE$,$\therefore \frac{EF}{CD}=\frac{AE}{AD}$,
$\therefore \frac{EF}{4x}=\frac{5x}{5x+3x}$,$\therefore EF=\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}×\frac{2}{5}\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
$\therefore S_{△AEF}=\frac{1}{2}EF·AE=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$.故选 C.
解析
【分析】
解题可按以下思路推进：1. 先利用直角三角形斜边中线的性质，得到CE=BE=AE，为边长推导做铺垫；2. 已知sin∠CEF且EF⊥AB，过点C作CD⊥AB构造平行线，可将∠CEF转化为Rt△CDE内的∠DCE，就能结合三角函数设参数表示各边长度；3. 借助已知的BC长度，在Rt△BCD中用勾股定理列方程求出参数值，得到AE的长度；4. 证明△ACD和△AFE相似，通过相似三角形对应边成比例求出EF的长度，最后用直角三角形面积公式计算△AEF的面积。
【解析】
过点C作$CD⊥AB$，垂足为D，如图。
$\because EF⊥AB$，$\therefore CD// EF$，$\therefore ∠DCE=∠CEF$。
在$\mathrm{Rt}△CDE$中，$\sin∠DCE=\sin∠CEF=\frac{DE}{CE}=\frac{3}{5}$。
设$DE=3x$，则$CE=5x$，由勾股定理得$CD=\sqrt{CE^2-DE^2}=4x$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，CE是斜边AB上的中线，$\therefore CE=BE=EA=5x$，$\therefore AB=2BE=10x$，$\therefore BD=BE-DE=5x-3x=2x$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$BC^2=BD^2+CD^2$，已知$BC=4$，代入得：
$4^2=(2x)^2+(4x)^2$，解得$x=\frac{2}{5}\sqrt{5}$（负值舍去），
$\therefore AE=5x=2\sqrt{5}$。
$\because ∠CDA=∠FEA=90°$，$∠A=∠A$，$\therefore △ACD∽△AFE$，
$\therefore \frac{EF}{CD}=\frac{AE}{AD}$，其中$AD=AE+DE=5x+3x=8x$，代入得：
$\frac{EF}{4x}=\frac{5x}{8x}$，解得$EF=\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}×\frac{2}{5}\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
$\therefore S_{△AEF}=\frac{1}{2}EF·AE=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；锐角三角函数；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查直角三角形相关性质、锐角三角函数及相似三角形的应用，解题关键是通过作辅助线转化已知角，结合参数法和方程思想求解边长，能有效考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路推进：1. 先利用直角三角形斜边中线的性质，得到CE=BE=AE，为边长推导做铺垫；2. 已知sin∠CEF且EF⊥AB，过点C作CD⊥AB构造平行线，可将∠CEF转化为Rt△CDE内的∠DCE，就能结合三角函数设参数表示各边长度；3. 借助已知的BC长度，在Rt△BCD中用勾股定理列方程求出参数值，得到AE的长度；4. 证明△ACD和△AFE相似，通过相似三角形对应边成比例求出EF的长度，最后用直角三角形面积公式计算△AEF的面积。
【解析】
过点C作$CD⊥AB$，垂足为D，如图。
$\because EF⊥AB$，$\therefore CD// EF$，$\therefore ∠DCE=∠CEF$。
在$\mathrm{Rt}△CDE$中，$\sin∠DCE=\sin∠CEF=\frac{DE}{CE}=\frac{3}{5}$。
设$DE=3x$，则$CE=5x$，由勾股定理得$CD=\sqrt{CE^2-DE^2}=4x$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，CE是斜边AB上的中线，$\therefore CE=BE=EA=5x$，$\therefore AB=2BE=10x$，$\therefore BD=BE-DE=5x-3x=2x$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$BC^2=BD^2+CD^2$，已知$BC=4$，代入得：
$4^2=(2x)^2+(4x)^2$，解得$x=\frac{2}{5}\sqrt{5}$（负值舍去），
$\therefore AE=5x=2\sqrt{5}$。
$\because ∠CDA=∠FEA=90°$，$∠A=∠A$，$\therefore △ACD∽△AFE$，
$\therefore \frac{EF}{CD}=\frac{AE}{AD}$，其中$AD=AE+DE=5x+3x=8x$，代入得：
$\frac{EF}{4x}=\frac{5x}{8x}$，解得$EF=\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}×\frac{2}{5}\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
$\therefore S_{△AEF}=\frac{1}{2}EF·AE=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；锐角三角函数；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查直角三角形相关性质、锐角三角函数及相似三角形的应用，解题关键是通过作辅助线转化已知角，结合参数法和方程思想求解边长，能有效考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
