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24(12分)材料阅读：
问题解答：
如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q.测得∠NOQ=37°,NQ=12 cm,若P、O、C三点在同一条直线上,请依据相关材料回答以下问题(参考数据:$\sin 37°\approx\frac{3}{5},\cos 37°\approx\frac{4}{5},\tan 37°\approx\frac{3}{4}$):
(1)求∠POM的正弦值；
(2)求CQ的长.
问题解答：
如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q.测得∠NOQ=37°,NQ=12 cm,若P、O、C三点在同一条直线上,请依据相关材料回答以下问题(参考数据:$\sin 37°\approx\frac{3}{5},\cos 37°\approx\frac{4}{5},\tan 37°\approx\frac{3}{4}$):
(1)求∠POM的正弦值；
(2)求CQ的长.
答案
24.解:(1)由题意知折射率$n=\frac{\sin∠ POM}{\sin∠ NOQ}=\frac{4}{3},$
$\therefore \sin∠ POM=\frac{4}{3}×\sin37°\approx\frac{4}{3}×\frac{3}{5}=\frac{4}{5}.$
(2)在$\mathrm{Rt}△ ONQ$中,$∠ NOQ=37°,NQ=12\ \mathrm{cm},$
$\therefore ON=\frac{NQ}{\tan37°}\approx12×\frac{4}{3}=16(\mathrm{cm}).$
$\because ∠ POM=∠ CON,$
$\therefore \sin∠ CON=\sin∠ POM=\frac{4}{5}.$
在$\mathrm{Rt}△ CON$中,$\sin∠ CON=\frac{CN}{OC}=\frac{4}{5},$
设$CN=4x\ \mathrm{cm}$,则$OC=5x\ \mathrm{cm}$,
由勾股定理得
$ON=\sqrt{OC^2-CN^2}=\sqrt{(5x)^2-(4x)^2}=3x(\mathrm{cm}),$
$\therefore 3x=16,解得x=\frac{16}{3},\therefore CN=4x=\frac{64}{3}(\mathrm{cm}),$
$\therefore CQ=CN-NQ=\frac{64}{3}-12=\frac{28}{3}(\mathrm{cm}).$
故 CQ 的长约为$\frac{28}{3}\mathrm{cm}.$
$\therefore \sin∠ POM=\frac{4}{3}×\sin37°\approx\frac{4}{3}×\frac{3}{5}=\frac{4}{5}.$
(2)在$\mathrm{Rt}△ ONQ$中,$∠ NOQ=37°,NQ=12\ \mathrm{cm},$
$\therefore ON=\frac{NQ}{\tan37°}\approx12×\frac{4}{3}=16(\mathrm{cm}).$
$\because ∠ POM=∠ CON,$
$\therefore \sin∠ CON=\sin∠ POM=\frac{4}{5}.$
在$\mathrm{Rt}△ CON$中,$\sin∠ CON=\frac{CN}{OC}=\frac{4}{5},$
设$CN=4x\ \mathrm{cm}$,则$OC=5x\ \mathrm{cm}$,
由勾股定理得
$ON=\sqrt{OC^2-CN^2}=\sqrt{(5x)^2-(4x)^2}=3x(\mathrm{cm}),$
$\therefore 3x=16,解得x=\frac{16}{3},\therefore CN=4x=\frac{64}{3}(\mathrm{cm}),$
$\therefore CQ=CN-NQ=\frac{64}{3}-12=\frac{28}{3}(\mathrm{cm}).$
故 CQ 的长约为$\frac{28}{3}\mathrm{cm}.$
解析
【分析】
(1) 求解∠POM的正弦值时，先结合材料给出的光的折射规律，明确折射率n等于入射角正弦值与折射角正弦值的比值，本题中入射角为∠POM，折射角为∠NOQ，已知折射率n=4/3、∠NOQ=37°，直接代入公式即可计算结果。
(2) 求CQ的长时，观察图形可知CQ=CN-NQ，已知NQ长度，因此只需先求出CN的长度：第一步在Rt△ONQ中，利用∠NOQ的正切值求出ON的长度；第二步根据对顶角相等可得∠CON=∠POM，即sin∠CON等于第一问求出的sin∠POM，再在Rt△CON中结合三角函数和勾股定理，设未知数求出CN的长度；最后用CN减去NQ即可得到CQ的长度。
【解析】
(1) 由题意知光的折射满足关系：$n=\frac{\sin∠POM}{\sin∠NOQ}=\frac{4}{3}$，
将$\sin37°\approx\frac{3}{5}$代入得：
$\sin∠POM=\frac{4}{3}×\sin37°\approx\frac{4}{3}×\frac{3}{5}=\frac{4}{5}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ONQ$中，$∠ NOQ=37°$，$NQ=12\ \mathrm{cm}$，
$\because \tan37°=\frac{NQ}{ON}$，
$\therefore ON=\frac{NQ}{\tan37°}\approx12÷\frac{3}{4}=16(\mathrm{cm})$。
$\because ∠POM$与$∠CON$是对顶角，$\therefore ∠POM=∠CON$，
$\therefore \sin∠CON=\sin∠POM=\frac{4}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△CON$中，$\sin∠CON=\frac{CN}{OC}=\frac{4}{5}$，
设$CN=4x\ \mathrm{cm}$，则$OC=5x\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$ON=\sqrt{OC^2-CN^2}=\sqrt{(5x)^2-(4x)^2}=3x(\mathrm{cm})$，
$\because ON=16\ \mathrm{cm}$，$\therefore 3x=16$，解得$x=\frac{16}{3}$，
$\therefore CN=4x=4×\frac{16}{3}=\frac{64}{3}(\mathrm{cm})$，
$\therefore CQ=CN-NQ=\frac{64}{3}-12=\frac{28}{3}(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $\sin∠POM=\frac{4}{5}$；
(2) $CQ$的长为$\frac{28}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，对顶角的性质
【点评】
本题属于跨学科应用题型，将物理中的光折射规律与数学的解直角三角形知识结合，既考查了锐角三角函数、勾股定理等基础知识点的应用，也考查了提取材料信息、结合所学知识解决实际问题的能力，解题的关键是理清图中各角、各线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
(1) 求解∠POM的正弦值时，先结合材料给出的光的折射规律，明确折射率n等于入射角正弦值与折射角正弦值的比值，本题中入射角为∠POM，折射角为∠NOQ，已知折射率n=4/3、∠NOQ=37°，直接代入公式即可计算结果。
(2) 求CQ的长时，观察图形可知CQ=CN-NQ，已知NQ长度，因此只需先求出CN的长度：第一步在Rt△ONQ中，利用∠NOQ的正切值求出ON的长度；第二步根据对顶角相等可得∠CON=∠POM，即sin∠CON等于第一问求出的sin∠POM，再在Rt△CON中结合三角函数和勾股定理，设未知数求出CN的长度；最后用CN减去NQ即可得到CQ的长度。
【解析】
(1) 由题意知光的折射满足关系：$n=\frac{\sin∠POM}{\sin∠NOQ}=\frac{4}{3}$，
将$\sin37°\approx\frac{3}{5}$代入得：
$\sin∠POM=\frac{4}{3}×\sin37°\approx\frac{4}{3}×\frac{3}{5}=\frac{4}{5}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ONQ$中，$∠ NOQ=37°$，$NQ=12\ \mathrm{cm}$，
$\because \tan37°=\frac{NQ}{ON}$，
$\therefore ON=\frac{NQ}{\tan37°}\approx12÷\frac{3}{4}=16(\mathrm{cm})$。
$\because ∠POM$与$∠CON$是对顶角，$\therefore ∠POM=∠CON$，
$\therefore \sin∠CON=\sin∠POM=\frac{4}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△CON$中，$\sin∠CON=\frac{CN}{OC}=\frac{4}{5}$，
设$CN=4x\ \mathrm{cm}$，则$OC=5x\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$ON=\sqrt{OC^2-CN^2}=\sqrt{(5x)^2-(4x)^2}=3x(\mathrm{cm})$，
$\because ON=16\ \mathrm{cm}$，$\therefore 3x=16$，解得$x=\frac{16}{3}$，
$\therefore CN=4x=4×\frac{16}{3}=\frac{64}{3}(\mathrm{cm})$，
$\therefore CQ=CN-NQ=\frac{64}{3}-12=\frac{28}{3}(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $\sin∠POM=\frac{4}{5}$；
(2) $CQ$的长为$\frac{28}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，对顶角的性质
【点评】
本题属于跨学科应用题型，将物理中的光折射规律与数学的解直角三角形知识结合，既考查了锐角三角函数、勾股定理等基础知识点的应用，也考查了提取材料信息、结合所学知识解决实际问题的能力，解题的关键是理清图中各角、各线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
25(14分)如图，A、B、C、D是某科技公司的四个试验基地，且A、B、C、D在同一平面内，B位于A的正东方向60 km处，D位于A的南偏东30°方向40 km处，C位于B的正南方向，D位于C的南偏西60°方向.(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41,\sqrt{3}\approx1.73,\sqrt{5}\approx2.24$)
(1)求B和C两试验基地之间的距离;(结果保留整数)
(2)现甲从A基地出发沿AD前往D基地，乙从B基地出发沿BA方向前往A基地，两人同时出发，乙的速度是甲的速度的2倍.当两人的距离是甲到A基地距离的$2\sqrt{3}$倍时，甲距离A基地多少千米?(结果保留整数)
(1)求B和C两试验基地之间的距离;(结果保留整数)
(2)现甲从A基地出发沿AD前往D基地，乙从B基地出发沿BA方向前往A基地，两人同时出发，乙的速度是甲的速度的2倍.当两人的距离是甲到A基地距离的$2\sqrt{3}$倍时，甲距离A基地多少千米?(结果保留整数)
答案
25.解:(1)如图 1,作$DE⊥ AB$于点 E,$CF⊥ DE$于点 F.
由题意得$∠ HAB=∠ B=90°,∠ HAD=30°,∠ DCP=60°,$
$\therefore ∠ DAE=∠ HAB-∠ HAD=60°,$
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$AE=AD·\cos∠ DAE=40×\frac{1}{2}=20(\mathrm{km}),$
$DE=AD·\sin∠ DAE=40×\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}(\mathrm{km}),$
$\therefore BE=AB-AE=60-20=40(\mathrm{km}).$
$\because DE⊥ AB,CF⊥ DE,∠ B=90°,$
$\therefore$四边形 BEFC 为矩形,$∠ CFD=90°,$
$\therefore CF=BE=40\ \mathrm{km},∠ FCP=90°,$
$\therefore ∠ DCF=∠ PCF-∠ PCD=30°,$
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ DCF$中,$DF=CF·\tan30°=40×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{40\sqrt{3}}{3}(\mathrm{km}),$
$\therefore EF=DE-DF=20\sqrt{3}-\frac{40\sqrt{3}}{3}=\frac{20\sqrt{3}}{3}(\mathrm{km}),$
$\therefore BC=EF=\frac{20\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{km}\approx12\ \mathrm{km},$
即 B 和 C 两试验基地之间的距离约为 12 km.
(2)如图 2,当两人的距离是甲到 A 基地距离的$2\sqrt{3}$倍时,甲运动到点 M 处,乙运动到点 N 处,作$MQ⊥ AB$于点 Q,连接 MN,则$MN=2\sqrt{3}AM$,$∠ MAQ=90°-30°=60°.$
设$AM=x\ \mathrm{km}$,则$MN=2\sqrt{3}x\ \mathrm{km},BN=2AM=2x\ \mathrm{km},\therefore AN=AB-BN=(60-2x)\ \mathrm{km}.$
$\because AQ=AM·\cos∠ MAQ=\frac{1}{2}x\ \mathrm{km},$
$MQ=AM·\sin∠ MAQ=\frac{\sqrt{3}}{2}x\ \mathrm{km}.$
$\therefore QN=AN-AQ=60-2x-\frac{1}{2}x=(60-\frac{5}{2}x)\ \mathrm{km}.$
在$\mathrm{Rt}△ MNQ$中,由勾股定理,
得$QN^2+MQ^2=MN^2,$
即$(60-\frac{5}{2}x)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2=(2\sqrt{3}x)^2,$
整理得$x^2+60x-720=0,$
解得$x_1=-30+18\sqrt{5}\approx10,x_2=-30-18\sqrt{5}$(舍去).
故当两人的距离是甲到 A 基地距离的$2\sqrt{3}$倍时,甲距离 A 基地约为 10 km.
解析
【分析】
（1）要求B、C两地距离，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形转化线段：先过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，先在Rt△ADE中利用三角函数求出AE、DE，再结合矩形性质得到CF长度，根据方向角推出∠DCF=30°，在Rt△DCF中求出DF，最后DE-DF得到的EF就是BC的长度。
（2）这是动点类问题，可设甲距A基地x km，则乙行驶路程为2x km，先表示出AN的长度，再过甲的位置M作MQ⊥AB于Q，用三角函数表示出AQ、MQ，进而得到QN的长度，最后在Rt△MNQ中利用勾股定理列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果。
【解析】
(1) 如图1，作$DE⊥ AB$于点 E,$CF⊥ DE$于点 F.
由题意得$∠ HAB=∠ B=90°,∠ HAD=30°,∠ DCP=60°,$
$\therefore ∠ DAE=∠ HAB-∠ HAD=60°,$
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$AE=AD·\cos∠ DAE=40×\frac{1}{2}=20(\mathrm{km}),$
$DE=AD·\sin∠ DAE=40×\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}(\mathrm{km}),$
$\therefore BE=AB-AE=60-20=40(\mathrm{km}).$
$\because DE⊥ AB,CF⊥ DE,∠ B=90°,$
$\therefore$四边形 BEFC 为矩形,$∠ CFD=90°,$
$\therefore CF=BE=40\ \mathrm{km},∠ FCP=90°,$
$\therefore ∠ DCF=∠ PCF-∠ PCD=30°,$
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ DCF$中,$DF=CF·\tan30°=40×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{40\sqrt{3}}{3}(\mathrm{km}),$
$\therefore EF=DE-DF=20\sqrt{3}-\frac{40\sqrt{3}}{3}=\frac{20\sqrt{3}}{3}(\mathrm{km}),$
$\therefore BC=EF=\frac{20\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{km}\approx12\ \mathrm{km}.$
(2) 如图 2,当两人的距离是甲到A基地距离的$2\sqrt{3}$倍时,甲运动到点 M 处,乙运动到点 N 处,作$MQ⊥ AB$于点 Q,连接 MN,则$MN=2\sqrt{3}AM$,$∠ MAQ=90°-30°=60°.$
设$AM=x\ \mathrm{km}$,则$MN=2\sqrt{3}x\ \mathrm{km},BN=2AM=2x\ \mathrm{km},\therefore AN=AB-BN=(60-2x)\ \mathrm{km}.$
$\because AQ=AM·\cos∠ MAQ=\frac{1}{2}x\ \mathrm{km},$
$MQ=AM·\sin∠ MAQ=\frac{\sqrt{3}}{2}x\ \mathrm{km}.$
$\therefore QN=AN-AQ=60-2x-\frac{1}{2}x=(60-\frac{5}{2}x)\ \mathrm{km}.$
在$\mathrm{Rt}△ MNQ$中,由勾股定理,
得$QN^2+MQ^2=MN^2,$
即$(60-\frac{5}{2}x)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2=(2\sqrt{3}x)^2,$
整理得$x^2+60x-720=0,$
解得$x_1=-30+18\sqrt{5}\approx10,x_2=-30-18\sqrt{5}$(舍去).
【答案】
(1) B和C两试验基地之间的距离约为12 km；
(2) 甲距离A基地约为10 km。
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 勾股定理
3. 一元二次方程应用
【点评】
本题结合实际场景考查方向角相关的几何计算，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何边长计算问题；第二问的动点问题需要准确用未知数表示各线段长度，结合勾股定理列方程求解，注意要结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.3
（1）要求B、C两地距离，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形转化线段：先过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，先在Rt△ADE中利用三角函数求出AE、DE，再结合矩形性质得到CF长度，根据方向角推出∠DCF=30°，在Rt△DCF中求出DF，最后DE-DF得到的EF就是BC的长度。
（2）这是动点类问题，可设甲距A基地x km，则乙行驶路程为2x km，先表示出AN的长度，再过甲的位置M作MQ⊥AB于Q，用三角函数表示出AQ、MQ，进而得到QN的长度，最后在Rt△MNQ中利用勾股定理列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果。
【解析】
(1) 如图1，作$DE⊥ AB$于点 E,$CF⊥ DE$于点 F.
由题意得$∠ HAB=∠ B=90°,∠ HAD=30°,∠ DCP=60°,$
$\therefore ∠ DAE=∠ HAB-∠ HAD=60°,$
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$AE=AD·\cos∠ DAE=40×\frac{1}{2}=20(\mathrm{km}),$
$DE=AD·\sin∠ DAE=40×\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}(\mathrm{km}),$
$\therefore BE=AB-AE=60-20=40(\mathrm{km}).$
$\because DE⊥ AB,CF⊥ DE,∠ B=90°,$
$\therefore$四边形 BEFC 为矩形,$∠ CFD=90°,$
$\therefore CF=BE=40\ \mathrm{km},∠ FCP=90°,$
$\therefore ∠ DCF=∠ PCF-∠ PCD=30°,$
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ DCF$中,$DF=CF·\tan30°=40×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{40\sqrt{3}}{3}(\mathrm{km}),$
$\therefore EF=DE-DF=20\sqrt{3}-\frac{40\sqrt{3}}{3}=\frac{20\sqrt{3}}{3}(\mathrm{km}),$
$\therefore BC=EF=\frac{20\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{km}\approx12\ \mathrm{km}.$
(2) 如图 2,当两人的距离是甲到A基地距离的$2\sqrt{3}$倍时,甲运动到点 M 处,乙运动到点 N 处,作$MQ⊥ AB$于点 Q,连接 MN,则$MN=2\sqrt{3}AM$,$∠ MAQ=90°-30°=60°.$
设$AM=x\ \mathrm{km}$,则$MN=2\sqrt{3}x\ \mathrm{km},BN=2AM=2x\ \mathrm{km},\therefore AN=AB-BN=(60-2x)\ \mathrm{km}.$
$\because AQ=AM·\cos∠ MAQ=\frac{1}{2}x\ \mathrm{km},$
$MQ=AM·\sin∠ MAQ=\frac{\sqrt{3}}{2}x\ \mathrm{km}.$
$\therefore QN=AN-AQ=60-2x-\frac{1}{2}x=(60-\frac{5}{2}x)\ \mathrm{km}.$
在$\mathrm{Rt}△ MNQ$中,由勾股定理,
得$QN^2+MQ^2=MN^2,$
即$(60-\frac{5}{2}x)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}x)^2=(2\sqrt{3}x)^2,$
整理得$x^2+60x-720=0,$
解得$x_1=-30+18\sqrt{5}\approx10,x_2=-30-18\sqrt{5}$(舍去).
【答案】
(1) B和C两试验基地之间的距离约为12 km；
(2) 甲距离A基地约为10 km。
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 勾股定理
3. 一元二次方程应用
【点评】
本题结合实际场景考查方向角相关的几何计算，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何边长计算问题；第二问的动点问题需要准确用未知数表示各线段长度，结合勾股定理列方程求解，注意要结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.3
