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22.(12分)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,AC=6√2,AD=6,tan∠ABC=$\frac{3}{4}$.
(1)求BC的长;
(2)求sin∠DEA的值.
(1)求BC的长;
(2)求sin∠DEA的值.
答案
22.解:(1)$\because AD⊥ BC,\therefore ∠ ADC=∠ ADB=90°,$
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AC=6\sqrt{2},AD=6,$
由勾股定理得
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2-6^2}=6.$
$\because \tan∠ ABC=\frac{3}{4},\therefore \tan∠ ABD=\frac{AD}{BD}=\frac{3}{4},$
即$\frac{6}{BD}=\frac{3}{4},\therefore BD=8,$
$\therefore BC=BD+CD=8+6=14.$
(2)$\because AE$是 BC 边上的中线,$BC=14,$
$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=7,\therefore DE=BD-BE=1.$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理得
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37},$
$\therefore \sin∠ DEA=\frac{AD}{AE}=\frac{6}{\sqrt{37}}=\frac{6\sqrt{37}}{37}.$
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,$AC=6\sqrt{2},AD=6,$
由勾股定理得
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2-6^2}=6.$
$\because \tan∠ ABC=\frac{3}{4},\therefore \tan∠ ABD=\frac{AD}{BD}=\frac{3}{4},$
即$\frac{6}{BD}=\frac{3}{4},\therefore BD=8,$
$\therefore BC=BD+CD=8+6=14.$
(2)$\because AE$是 BC 边上的中线,$BC=14,$
$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=7,\therefore DE=BD-BE=1.$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理得
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37},$
$\therefore \sin∠ DEA=\frac{AD}{AE}=\frac{6}{\sqrt{37}}=\frac{6\sqrt{37}}{37}.$
解析
【分析】
(1)求BC的长度可拆分求解BD和CD：由AD⊥BC可知△ADC、△ADB均为直角三角形，在Rt△ADC中已知AC和AD的长度，用勾股定理即可求出CD；在Rt△ADB中，已知tan∠ABC的值和AD的长度，根据正切的定义可求出BD，二者相加即为BC的长。
(2)求sin∠DEA的值，可将其放在Rt△ADE中计算：首先根据三角形中线的定义求出BE的长度，再用BD减去BE得到DE的长度；接着用勾股定理求出Rt△ADE的斜边AE的长度，最后根据正弦的定义（对边与斜边的比值）计算即可，注意结果要化为最简二次根式。
【解析】
(1)
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AC=6\sqrt{2}$，$AD=6$，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2-6^2}=\sqrt{72-36}=6$，
∵$\tan∠ABC=\frac{3}{4}$，在$\mathrm{Rt}△ABD$中$\tan∠ABD=\frac{AD}{BD}=\frac{3}{4}$，
即$\frac{6}{BD}=\frac{3}{4}$，解得$BD=8$，
∴$BC=BD+CD=8+6=14$。
(2)
∵AE是BC边上的中线，$BC=14$，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=7$，
∴$DE=BD-BE=8-7=1$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37}$，
∴$\sin∠DEA=\frac{AD}{AE}=\frac{6}{\sqrt{37}}=\frac{6\sqrt{37}}{37}$。
【答案】
(1)$BC=14$；(2)$\sin∠DEA=\frac{6\sqrt{37}}{37}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；三角形中线定义
【点评】
本题是解直角三角形的常规综合题，将直角三角形性质、锐角三角函数、三角形中线的知识点结合考查，解题核心是把待求的线段、角对应到合适的直角三角形中，结合已知条件逐步计算，侧重基础应用，解题思路清晰。
【难度系数】
0.75
(1)求BC的长度可拆分求解BD和CD：由AD⊥BC可知△ADC、△ADB均为直角三角形，在Rt△ADC中已知AC和AD的长度，用勾股定理即可求出CD；在Rt△ADB中，已知tan∠ABC的值和AD的长度，根据正切的定义可求出BD，二者相加即为BC的长。
(2)求sin∠DEA的值，可将其放在Rt△ADE中计算：首先根据三角形中线的定义求出BE的长度，再用BD减去BE得到DE的长度；接着用勾股定理求出Rt△ADE的斜边AE的长度，最后根据正弦的定义（对边与斜边的比值）计算即可，注意结果要化为最简二次根式。
【解析】
(1)
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AC=6\sqrt{2}$，$AD=6$，
由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2-6^2}=\sqrt{72-36}=6$，
∵$\tan∠ABC=\frac{3}{4}$，在$\mathrm{Rt}△ABD$中$\tan∠ABD=\frac{AD}{BD}=\frac{3}{4}$，
即$\frac{6}{BD}=\frac{3}{4}$，解得$BD=8$，
∴$BC=BD+CD=8+6=14$。
(2)
∵AE是BC边上的中线，$BC=14$，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=7$，
∴$DE=BD-BE=8-7=1$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37}$，
∴$\sin∠DEA=\frac{AD}{AE}=\frac{6}{\sqrt{37}}=\frac{6\sqrt{37}}{37}$。
【答案】
(1)$BC=14$；(2)$\sin∠DEA=\frac{6\sqrt{37}}{37}$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；三角形中线定义
【点评】
本题是解直角三角形的常规综合题，将直角三角形性质、锐角三角函数、三角形中线的知识点结合考查，解题核心是把待求的线段、角对应到合适的直角三角形中，结合已知条件逐步计算，侧重基础应用，解题思路清晰。
【难度系数】
0.75
23(12分)如图，某旅游景点的游客中心AB垂直于地面，测得游客中心的高度AB为10米，该景点的后山上长有一棵松树EF，嘉嘉在游客中心楼顶A处测得树顶F的俯角α＝22.62°，经询问当地导游，得知后山的坡比为3：4，从山脚C处沿着斜坡行走6米可到达E处，游客中心楼底B处到山脚C的距离BC＝6米.
(1)求游客中心AB与松树EF之间的水平距离；
(2)求松树EF的高度.(参考数据：$\tan22.62°\approx\frac{5}{12}$，$\cos22.62°\approx\frac{12}{13}$，$\sin22.62°\approx\frac{5}{13}$)
(1)求游客中心AB与松树EF之间的水平距离；
(2)求松树EF的高度.(参考数据：$\tan22.62°\approx\frac{5}{12}$，$\cos22.62°\approx\frac{12}{13}$，$\sin22.62°\approx\frac{5}{13}$)
答案
23.解:(1)$\because$后山的坡比为 3:4,
$\therefore$设$DE=3x,CD=4x,\therefore CE=5x.$
由题可知$CE=6$米,即$5x=6,\therefore x=1.2,$
$\therefore CD=4.8$米,$DE=3.6$米.
$\because BC=6$米,$\therefore BD=BC+CD=6+4.8=10.8$(米).
答:游客中心 AB 与松树 EF 之间的水平距离为 10.8 米.
(2)如图,过点 F 作$FM⊥ AB$,过点 E 作$EN⊥ AB$,垂足分别为 M、N,
$\therefore BN=ED=3.6$ 米,$∠ AFM=α=22.62°,EF=MN,$
$\therefore MF=BD=10.8$ 米.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ AFM$中,$\tan∠ AFM=\frac{AM}{MF},$
$\therefore \tan22.62°=\frac{AM}{10.8},\therefore AM=10.8\tan22.62°\approx10.8×\frac{5}{12}=4.5$(米).
$\because AB=10$米,
$\therefore MB=AB-AM\approx10-4.5=5.5$(米),
$\therefore MN=MB-NB\approx5.5-3.6=1.9$(米),
$\therefore EF=1.9$米.
答:松树 EF 的高度约为 1.9 米.
解析
【分析】
(1) 要求游客中心与松树的水平距离，就是求线段BD的长度，已知BC的长度，只需先求出CD的长度即可。题目给出斜坡CE的坡比为3:4，坡比是斜坡竖直高度与水平宽度的比值，因此可在Rt△CDE中设DE=3x，CD=4x，结合勾股定理得CE=5x，再根据CE的长度求出x的值，就能得到CD的长度，进而算出BD的总长度。
(2) 要求松树EF的高度，需作辅助线构造矩形转化线段：过F作FM⊥AB，过E作EN⊥AB，可得四边形FMBD、ENBD都是矩形，因此MF=BD，BN=DE，且EF=MN。已知A处看F的俯角α=22.62°，可得∠AFM=α，在Rt△AFM中利用tanα的值求出AM的长度，再用AB的长度减去AM得到MB的长度，最后用MB减去BN的长度即可得到EF的高度。
【解析】
(1) 已知后山的坡比为3:4，即Rt△CDE中，$DE:CD=3:4$。
设$DE=3x$米，$CD=4x$米，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{(3x)^2+(4x)^2}=5x$
由题意$CE=6$米，因此$5x=6$，解得$x=1.2$。
所以$CD=4x=4×1.2=4.8$米，
又因为$BC=6$米，因此水平距离$BD=BC+CD=6+4.8=10.8$米。
(2) 如图，过点F作$FM⊥ AB$，过点E作$EN⊥ AB$，垂足分别为M、N，
易知四边形FMBD、ENBD均为矩形，因此$MF=BD=10.8$米，$BN=DE=3.6$米，且$EF=MN$，俯角α对应的内错角$∠AFM=α=22.62°$。
在$\mathrm{Rt}△ AFM$中，$\tan∠ AFM=\frac{AM}{MF}$，代入已知数据：
$\tan22.62°\approx\frac{5}{12}=\frac{AM}{10.8}$
解得$AM=10.8×\frac{5}{12}=4.5$米。
已知$AB=10$米，因此$MB=AB-AM=10-4.5=5.5$米，
所以$EF=MN=MB-BN=5.5-3.6=1.9$米。
【答案】
(1) 游客中心AB与松树EF之间的水平距离为10.8米；
(2) 松树EF的高度约为1.9米。
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 坡比与俯角
3. 勾股定理
【点评】
这道题是解直角三角形的实际应用类常规题型，结合了坡比、俯角两个高频考点，需要通过作辅助线构造直角三角形和矩形转化线段长度，解题时要理清各线段的数量关系，考察对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求游客中心与松树的水平距离，就是求线段BD的长度，已知BC的长度，只需先求出CD的长度即可。题目给出斜坡CE的坡比为3:4，坡比是斜坡竖直高度与水平宽度的比值，因此可在Rt△CDE中设DE=3x，CD=4x，结合勾股定理得CE=5x，再根据CE的长度求出x的值，就能得到CD的长度，进而算出BD的总长度。
(2) 要求松树EF的高度，需作辅助线构造矩形转化线段：过F作FM⊥AB，过E作EN⊥AB，可得四边形FMBD、ENBD都是矩形，因此MF=BD，BN=DE，且EF=MN。已知A处看F的俯角α=22.62°，可得∠AFM=α，在Rt△AFM中利用tanα的值求出AM的长度，再用AB的长度减去AM得到MB的长度，最后用MB减去BN的长度即可得到EF的高度。
【解析】
(1) 已知后山的坡比为3:4，即Rt△CDE中，$DE:CD=3:4$。
设$DE=3x$米，$CD=4x$米，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{(3x)^2+(4x)^2}=5x$
由题意$CE=6$米，因此$5x=6$，解得$x=1.2$。
所以$CD=4x=4×1.2=4.8$米，
又因为$BC=6$米，因此水平距离$BD=BC+CD=6+4.8=10.8$米。
(2) 如图，过点F作$FM⊥ AB$，过点E作$EN⊥ AB$，垂足分别为M、N，
易知四边形FMBD、ENBD均为矩形，因此$MF=BD=10.8$米，$BN=DE=3.6$米，且$EF=MN$，俯角α对应的内错角$∠AFM=α=22.62°$。
在$\mathrm{Rt}△ AFM$中，$\tan∠ AFM=\frac{AM}{MF}$，代入已知数据：
$\tan22.62°\approx\frac{5}{12}=\frac{AM}{10.8}$
解得$AM=10.8×\frac{5}{12}=4.5$米。
已知$AB=10$米，因此$MB=AB-AM=10-4.5=5.5$米，
所以$EF=MN=MB-BN=5.5-3.6=1.9$米。
【答案】
(1) 游客中心AB与松树EF之间的水平距离为10.8米；
(2) 松树EF的高度约为1.9米。
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 坡比与俯角
3. 勾股定理
【点评】
这道题是解直角三角形的实际应用类常规题型，结合了坡比、俯角两个高频考点，需要通过作辅助线构造直角三角形和矩形转化线段长度，解题时要理清各线段的数量关系，考察对基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
