登录
16为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，以便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，阴影CD的长约为
2.2
米.（结果精确到0.1米，参考数据：$\sin 16° \approx 0.28$，$\cos 16° \approx 0.96$，$\tan 16° \approx 0.29$）答案
16.2.2
解析
【分析】
要解决本题，我们可以通过作辅助线构造直角三角形和矩形，把遮阳篷的长度、角度等已知条件转化为直角三角形的边角关系计算：①先过点A分别作BC和地面CE的垂线，得到矩形和两个直角三角形；②利用AB的长度及与水平面的16°夹角，计算出A点到墙面的水平距离、A点距离地面的竖直高度；③根据太阳光线与地面夹角为45°，得到等腰直角三角形，求出D点到A点正下方的水平距离；④最后用A点到墙面的水平距离减去上述距离，即可得到CD的长。
【解析】
过点A作AF⊥BC于点F，AG⊥CE于点G，
∵∠C=∠AFC=∠AGC=90°，
∴四边形AFCG是矩形，
∴AF=CG，AG=CF。
在Rt△ABF中，∠BAF=16°，AB=5米：
$BF=AB·\sin16°\approx5×0.28=1.4$米，
$AF=AB·\cos16°\approx5×0.96=4.8$米，
∴$CG=AF=4.8$米，$AG=CF=BC-BF=4-1.4=2.6$米。
在Rt△AGD中，∠ADG=45°，
∴△AGD为等腰直角三角形，
∴$DG=AG=2.6$米，
∴$CD=CG-DG=4.8-2.6=2.2$米。
【答案】
2.2
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是合理作辅助线，将实际问题中的条件转化为几何图形中的边角关系，通过解直角三角形求出对应线段长度。
【难度系数】
0.7
要解决本题，我们可以通过作辅助线构造直角三角形和矩形，把遮阳篷的长度、角度等已知条件转化为直角三角形的边角关系计算：①先过点A分别作BC和地面CE的垂线，得到矩形和两个直角三角形；②利用AB的长度及与水平面的16°夹角，计算出A点到墙面的水平距离、A点距离地面的竖直高度；③根据太阳光线与地面夹角为45°，得到等腰直角三角形，求出D点到A点正下方的水平距离；④最后用A点到墙面的水平距离减去上述距离，即可得到CD的长。
【解析】
过点A作AF⊥BC于点F，AG⊥CE于点G，
∵∠C=∠AFC=∠AGC=90°，
∴四边形AFCG是矩形，
∴AF=CG，AG=CF。
在Rt△ABF中，∠BAF=16°，AB=5米：
$BF=AB·\sin16°\approx5×0.28=1.4$米，
$AF=AB·\cos16°\approx5×0.96=4.8$米，
∴$CG=AF=4.8$米，$AG=CF=BC-BF=4-1.4=2.6$米。
在Rt△AGD中，∠ADG=45°，
∴△AGD为等腰直角三角形，
∴$DG=AG=2.6$米，
∴$CD=CG-DG=4.8-2.6=2.2$米。
【答案】
2.2
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是合理作辅助线，将实际问题中的条件转化为几何图形中的边角关系，通过解直角三角形求出对应线段长度。
【难度系数】
0.7
17王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球.已知王子家B在小于家A的北偏西$25°$方向上，$AB=3\ \mathrm{km}$.两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西$25°$方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西$70°$方向上，则小于家A到篮球馆C的距离约为
4.2
$\mathrm{km}$.（结果精确到$0.1\ \mathrm{km}$，参考数据：$\sin 50° \approx 0.77$，$\cos 50° \approx 0.64$，$\tan 50° \approx 1.19$）答案
17.4.2 解析:过点 B 作$BD⊥AC$于点 D,如图,
$\therefore ∠BDA=∠BDC=90°$.
依题意得$AB=3\ \mathrm{km}$,$∠BAE=25°$,$∠FCA=25°$,$∠FCB=70°$,$CF// AE$,
$\therefore ∠CAE=∠FCA=25°$,$∠BCA=∠FCB-∠FCA=70°-25°=45°$.
在$\mathrm{Rt}△BAD$中,$∠BAD=∠BAE+∠CAE=25°+25°=50°$.
$\because \sin∠BAD=\frac{BD}{AB}$,$\cos∠BAD=\frac{AD}{AB}$,
$\therefore BD=AB·\sin∠BAD=3×\sin 50°≈3×0.77=2.31(\mathrm{km})$,
$AD=AB·\cos∠BAD=3×\cos 50°≈3×0.64=1.92(\mathrm{km})$.
在$△BCD$中,$∠BDC=90°$,$∠BCD=45°$,
$\therefore △BCD$是等腰直角三角形,
$\therefore CD=BD≈2.31\ \mathrm{km}$,
$\therefore AC=AD+CD≈1.92+2.31≈4.2(\mathrm{km})$.
解析
【分析】
这是一道结合方向角的解直角三角形应用题，解题思路如下：首先根据方向角的定义，结合南北方向直线互相平行的性质，推导△ABC的内角度数：∠BAC为25°加25°等于50°，∠ACB为70°减25°等于45°；已知AB的长度，要求AC的长度，可过点B作AC边上的高BD，将斜三角形拆分为两个直角三角形：在含50°角的Rt△ABD中，利用三角函数分别求出BD、AD的长度；在含45°角的Rt△BCD中，根据等腰直角三角形的性质得到CD=BD，最后将AD和CD相加即可得到AC的长度。
【解析】
过点B作$BD⊥AC$于点D，如图，$\therefore ∠BDA=∠BDC=90°$。
依题意得：$AB=3\ \mathrm{km}$，$∠BAE=25°$，$∠FCA=25°$，$∠FCB=70°$，且南北方向线$CF// AE$。
由平行线内错角相等可得$∠CAE=∠FCA=25°$，$\therefore ∠BAC=∠BAE+∠CAE=25°+25°=50°$；
$∠BCA=∠FCB-∠FCA=70°-25°=45°$。
在$\mathrm{Rt}△BAD$中，根据三角函数定义：
$\sin∠BAD=\frac{BD}{AB}$，$\cos∠BAD=\frac{AD}{AB}$，
代入数值计算得：
$BD=AB·\sin50°≈3×0.77=2.31(\mathrm{km})$，
$AD=AB·\cos50°≈3×0.64=1.92(\mathrm{km})$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠BDC=90°$，$∠BCD=45°$，$\therefore △BCD$是等腰直角三角形，
$\therefore CD=BD≈2.31\ \mathrm{km}$，
$\therefore AC=AD+CD≈1.92+2.31≈4.2(\mathrm{km})$。
【答案】
4.2
【知识点】
方向角的应用，解直角三角形，平行线的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题关键是正确理解方向角的含义，通过作高构造直角三角形，将斜三角形的求解问题转化为直角三角形问题，同时需要熟练掌握三角函数和等腰直角三角形的性质，是几何应用类的常考题型。
【难度系数】
0.6
这是一道结合方向角的解直角三角形应用题，解题思路如下：首先根据方向角的定义，结合南北方向直线互相平行的性质，推导△ABC的内角度数：∠BAC为25°加25°等于50°，∠ACB为70°减25°等于45°；已知AB的长度，要求AC的长度，可过点B作AC边上的高BD，将斜三角形拆分为两个直角三角形：在含50°角的Rt△ABD中，利用三角函数分别求出BD、AD的长度；在含45°角的Rt△BCD中，根据等腰直角三角形的性质得到CD=BD，最后将AD和CD相加即可得到AC的长度。
【解析】
过点B作$BD⊥AC$于点D，如图
，$\therefore ∠BDA=∠BDC=90°$。依题意得：$AB=3\ \mathrm{km}$，$∠BAE=25°$，$∠FCA=25°$，$∠FCB=70°$，且南北方向线$CF// AE$。
由平行线内错角相等可得$∠CAE=∠FCA=25°$，$\therefore ∠BAC=∠BAE+∠CAE=25°+25°=50°$；
$∠BCA=∠FCB-∠FCA=70°-25°=45°$。
在$\mathrm{Rt}△BAD$中，根据三角函数定义：
$\sin∠BAD=\frac{BD}{AB}$，$\cos∠BAD=\frac{AD}{AB}$，
代入数值计算得：
$BD=AB·\sin50°≈3×0.77=2.31(\mathrm{km})$，
$AD=AB·\cos50°≈3×0.64=1.92(\mathrm{km})$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠BDC=90°$，$∠BCD=45°$，$\therefore △BCD$是等腰直角三角形，
$\therefore CD=BD≈2.31\ \mathrm{km}$，
$\therefore AC=AD+CD≈1.92+2.31≈4.2(\mathrm{km})$。
【答案】
4.2
【知识点】
方向角的应用，解直角三角形，平行线的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题关键是正确理解方向角的含义，通过作高构造直角三角形，将斜三角形的求解问题转化为直角三角形问题，同时需要熟练掌握三角函数和等腰直角三角形的性质，是几何应用类的常考题型。
【难度系数】
0.6
18如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AE的高度，从旗杆正前方$2\sqrt{3}$米处的点B出发，沿斜面坡度$i=1:\sqrt{3}$的斜坡BC前进4米到达点C，在点C处安置测角仪，测得旗杆顶部E的仰角为$37°$，量得仪器的高CD为1.5米，已知A、B、C、D、E在同一平面内，$AE⊥ AB$，$AE// CD$，则旗杆AE的高度约是
8.7
米。（结果精确到0.1米，参考数据：$\sin 37°\approx\frac{3}{5}$，$\cos 37°\approx\frac{4}{5}$，$\tan 37°\approx\frac{3}{4}$，$\sqrt{3}\approx1.73$）答案
18.8.7 解析:如图,过点 D 作$DF⊥AE$于点 F,
延长 DC 交 AB 于点 G,则$DF=AG$,$AF=GD$.
在$\mathrm{Rt}△CBG$中,$\tan∠CBG=i=1:\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore ∠CBG=30°$,$\therefore CG=\frac{1}{2}BC=2$米,
$BG=BC·\cos∠CBG=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$(米),
$\therefore AF=GD=CG+CD=2+1.5=3.5$(米),
$DF=AG=AB+BG=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$(米).
在$\mathrm{Rt}△DFE$中,$EF=DF·\tan∠EDF≈4\sqrt{3}×\frac{3}{4}=3\sqrt{3}$(米),
$\therefore AE=EF+AF≈3\sqrt{3}+3.5≈8.7$(米),
即旗杆 AE 的高度约为 8.7 米.
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题核心是通过作辅助线将不规则图形转化为矩形和直角三角形求解。首先过点D作$DF⊥AE$于F，延长DC交AB于G，可得四边形AFDG为矩形，即可得到$DF=AG$、$AF=GD$的等量关系。先利用斜坡BC的坡度求解$\mathrm{Rt}△CBG$，得到CG、BG的长度，再结合已知线段长度求出DF和AF的长度；接着在$\mathrm{Rt}△DFE$中利用37°仰角的正切值求出EF的长度，最终AE的高度为EF与AF的和，代入参考数据计算即可得到结果。
【解析】
解：如图，过点D作$DF⊥AE$于点F，延长DC交AB于点G，则四边形AFDG为矩形，$\therefore DF=AG$，$AF=GD$。
在$\mathrm{Rt}△CBG$中，斜坡坡度$i=\tan∠CBG=1:\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore ∠CBG=30°$，
$\therefore CG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$米，
$BG=BC·\cos∠CBG=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$米，
$\therefore AF=GD=CG+CD=2+1.5=3.5$米，
$DF=AG=AB+BG=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$米。
在$\mathrm{Rt}△DFE$中，$∠EDF=37°$，
$\therefore EF=DF·\tan∠EDF≈4\sqrt{3}×\frac{3}{4}=3\sqrt{3}$米，
$\therefore AE=EF+AF≈3×1.73+3.5≈8.7$米。
【答案】
8.7
【知识点】
解直角三角形的应用（仰角），解直角三角形的应用（坡度），矩形的性质
【点评】
本题结合仰角、坡度两个考点，考查解直角三角形的实际应用，需要学生熟练掌握直角三角形的边角关系，能通过添加辅助线构造直角三角形和矩形完成线段的转化，是这类题型的典型考法。
【难度系数】
0.6
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题核心是通过作辅助线将不规则图形转化为矩形和直角三角形求解。首先过点D作$DF⊥AE$于F，延长DC交AB于G，可得四边形AFDG为矩形，即可得到$DF=AG$、$AF=GD$的等量关系。先利用斜坡BC的坡度求解$\mathrm{Rt}△CBG$，得到CG、BG的长度，再结合已知线段长度求出DF和AF的长度；接着在$\mathrm{Rt}△DFE$中利用37°仰角的正切值求出EF的长度，最终AE的高度为EF与AF的和，代入参考数据计算即可得到结果。
【解析】
解：如图，过点D作$DF⊥AE$于点F，延长DC交AB于点G，则四边形AFDG为矩形，$\therefore DF=AG$，$AF=GD$。
在$\mathrm{Rt}△CBG$中，斜坡坡度$i=\tan∠CBG=1:\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore ∠CBG=30°$，
$\therefore CG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$米，
$BG=BC·\cos∠CBG=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$米，
$\therefore AF=GD=CG+CD=2+1.5=3.5$米，
$DF=AG=AB+BG=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$米。
在$\mathrm{Rt}△DFE$中，$∠EDF=37°$，
$\therefore EF=DF·\tan∠EDF≈4\sqrt{3}×\frac{3}{4}=3\sqrt{3}$米，
$\therefore AE=EF+AF≈3×1.73+3.5≈8.7$米。
【答案】
8.7
【知识点】
解直角三角形的应用（仰角），解直角三角形的应用（坡度），矩形的性质
【点评】
本题结合仰角、坡度两个考点，考查解直角三角形的实际应用，需要学生熟练掌握直角三角形的边角关系，能通过添加辅助线构造直角三角形和矩形完成线段的转化，是这类题型的典型考法。
【难度系数】
0.6
19. (8分)已知 $x=2\cos 45°+1$，$y=\dfrac{\sqrt{3}\sin 45°}{\sin 60°}-1$，求 $-(xy)^{2026}$ 的值。
答案
19. 解:$x=2×\frac{\sqrt{2}}{2}+1=\sqrt{2}+1$,
$y=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}÷\frac{\sqrt{3}}{2}-1=\sqrt{2}-1$,
$\therefore xy=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1$,
$\therefore -(xy)^{2\ 026}=-1^{2\ 026}=-1$.
$y=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}÷\frac{\sqrt{3}}{2}-1=\sqrt{2}-1$,
$\therefore xy=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1$,
$\therefore -(xy)^{2\ 026}=-1^{2\ 026}=-1$.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，先回忆30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值，分别代入x、y的表达式中，化简求出x和y的最简结果；第二步，计算x与y的乘积，观察x、y的形式刚好符合平方差公式的结构，可以用平方差公式简化计算，得到xy的值；第三步，将xy的值代入所求代数式$-(xy)^{2026}$中，根据乘方的运算规则计算出最终结果即可。
【解析】
首先计算x的值：
已知$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入x的表达式得：
$x=2\cos45°+1=2×\frac{\sqrt{2}}{2}+1=\sqrt{2}+1$
接下来计算y的值：
已知$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入y的表达式得：
$y=\frac{\sqrt{3}\sin45°}{\sin60°}-1=\frac{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}-1=\sqrt{2}-1$
然后计算xy的乘积，利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$：
$xy=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$
最后代入所求代数式计算：
$-(xy)^{2026}=-1^{2026}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
特殊角的三角函数值；平方差公式；乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，综合考查了特殊角三角函数的计算、乘法公式的简便应用以及乘方的符号规律，解题的核心是准确记忆特殊角的三角函数值，同时能观察代数式的结构选择简便方法计算，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，先回忆30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值，分别代入x、y的表达式中，化简求出x和y的最简结果；第二步，计算x与y的乘积，观察x、y的形式刚好符合平方差公式的结构，可以用平方差公式简化计算，得到xy的值；第三步，将xy的值代入所求代数式$-(xy)^{2026}$中，根据乘方的运算规则计算出最终结果即可。
【解析】
首先计算x的值：
已知$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入x的表达式得：
$x=2\cos45°+1=2×\frac{\sqrt{2}}{2}+1=\sqrt{2}+1$
接下来计算y的值：
已知$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入y的表达式得：
$y=\frac{\sqrt{3}\sin45°}{\sin60°}-1=\frac{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}-1=\sqrt{2}-1$
然后计算xy的乘积，利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$：
$xy=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$
最后代入所求代数式计算：
$-(xy)^{2026}=-1^{2026}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
特殊角的三角函数值；平方差公式；乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，综合考查了特殊角三角函数的计算、乘法公式的简便应用以及乘方的符号规律，解题的核心是准确记忆特殊角的三角函数值，同时能观察代数式的结构选择简便方法计算，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.8
20.(10分)如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,sin B=$\frac{3}{5}$,延长边BA至点D,使AD=AC,连接CD.
(1)求∠D的正切值;
(2)取边AC的中点E,连接BE并延长交边CD于点F,求$\frac{CF}{DF}$的值.
(1)求∠D的正切值;
(2)取边AC的中点E,连接BE并延长交边CD于点F,求$\frac{CF}{DF}$的值.
答案
20. 解:(1)如图,过点 C 作$CG⊥AB$,垂足为 G.
$\because ∠ACG+∠BCG=90°$,$∠ABC+∠BCG=90°$,
$\therefore ∠ACG=∠ABC$.
在$△ABC$中,$\sin∠ABC=\frac{3}{5}$,
设$AC=3x$,则$AB=5x$,$BC=4x$,
$\therefore \sin∠ACG=\frac{AG}{AC}=\sin∠ABC=\frac{3}{5}$,
$\therefore AG=\frac{9}{5}x$,$CG=\frac{12}{5}x$,
$\therefore DG=DA+AG=3x+\frac{9}{5}x=\frac{24}{5}x$,
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△DCG$中,$\tan D=\frac{CG}{DG}=\frac{1}{2}$.
(2)如图,过点 C 作$CH// DB$,交 BF 的延长线于点 H,则有$△CHF∽ △DBF$,
$\therefore ∠CHF=∠DBF$.
又 E 是 AC 的中点,可推出$△CHE≌ △ABE$,
$\therefore HC=AB=5x$.
由$△CHF∽ △DBF$得$\frac{CF}{DF}=\frac{CH}{DB}=\frac{5x}{3x+5x}=\frac{5}{8}$.
解析
【分析】
(1) 要求∠D的正切值，需将∠D置于直角三角形中求解。已知△ABC中∠ACB=90°，sinB=$\frac{3}{5}$，可先设参数表示△ABC各边长；过点C作CG⊥AB于G，利用同角的余角相等可得∠ACG=∠B，结合三角函数可求出AG、CG的长度，再结合AD=AC求出DG的长度，最后在Rt△DCG中根据正切定义即可求出tanD。
(2) 要求线段比值$\frac{CF}{DF}$，可通过构造相似三角形转化线段比例。过点C作CH//DB交BF延长线于H，首先利用E是AC中点，结合内错角相等、对顶角相等证明△CHE≌△ABE，得到CH=AB；再由CH//DB证明△CHF∽△DBF，根据相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{CF}{DF}$的值。
【解析】
(1) 过点C作$CG⊥AB$，垂足为G。
$\because ∠ACG+∠BCG=90°$，$∠ABC+∠BCG=90°$，
$\therefore ∠ACG=∠ABC$。
在$△ABC$中，$\sin∠ABC=\frac{3}{5}$，设$AC=3x$，则$AB=5x$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=4x$。
$\therefore \sin∠ACG=\frac{AG}{AC}=\sin∠ABC=\frac{3}{5}$，
$\therefore AG=\frac{3}{5}AC=\frac{9}{5}x$，由勾股定理得$CG=\sqrt{AC^2-AG^2}=\frac{12}{5}x$。
$\because AD=AC=3x$，$\therefore DG=DA+AG=3x+\frac{9}{5}x=\frac{24}{5}x$。
在$\mathrm{Rt}△DCG$中，$\tan D=\frac{CG}{DG}=\frac{\frac{12}{5}x}{\frac{24}{5}x}=\frac{1}{2}$。
(2) 过点C作$CH// DB$，交BF的延长线于点H。
$\because CH//DB$，$\therefore ∠CHF=∠DBF$，$∠HCE=∠BAE$。
又$\because$E是AC的中点，$\therefore CE=AE$。
在$△CHE$和$△ABE$中：
$\{\begin{array}{l}∠CHE=∠ABE\\∠HCE=∠BAE\\CE=AE\end{array} $
$\therefore △CHE≌△ABE(AAS)$，$\therefore HC=AB=5x$。
$\because CH//DB$，$\therefore △CHF∽△DBF$，
$\therefore \frac{CF}{DF}=\frac{CH}{DB}$。
又$\because DB=DA+AB=3x+5x=8x$，
$\therefore \frac{CF}{DF}=\frac{5x}{8x}=\frac{5}{8}$。
【答案】
(1) $\tan D=\frac{1}{2}$；(2) $\frac{CF}{DF}=\frac{5}{8}$
【知识点】
解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，将三角函数、全等三角形、相似三角形的知识点结合考查，解题的关键是合理构造辅助线，将所求量转化为已知线段的比例关系，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要求∠D的正切值，需将∠D置于直角三角形中求解。已知△ABC中∠ACB=90°，sinB=$\frac{3}{5}$，可先设参数表示△ABC各边长；过点C作CG⊥AB于G，利用同角的余角相等可得∠ACG=∠B，结合三角函数可求出AG、CG的长度，再结合AD=AC求出DG的长度，最后在Rt△DCG中根据正切定义即可求出tanD。
(2) 要求线段比值$\frac{CF}{DF}$，可通过构造相似三角形转化线段比例。过点C作CH//DB交BF延长线于H，首先利用E是AC中点，结合内错角相等、对顶角相等证明△CHE≌△ABE，得到CH=AB；再由CH//DB证明△CHF∽△DBF，根据相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{CF}{DF}$的值。
【解析】
(1) 过点C作$CG⊥AB$，垂足为G。
$\because ∠ACG+∠BCG=90°$，$∠ABC+∠BCG=90°$，
$\therefore ∠ACG=∠ABC$。
在$△ABC$中，$\sin∠ABC=\frac{3}{5}$，设$AC=3x$，则$AB=5x$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=4x$。
$\therefore \sin∠ACG=\frac{AG}{AC}=\sin∠ABC=\frac{3}{5}$，
$\therefore AG=\frac{3}{5}AC=\frac{9}{5}x$，由勾股定理得$CG=\sqrt{AC^2-AG^2}=\frac{12}{5}x$。
$\because AD=AC=3x$，$\therefore DG=DA+AG=3x+\frac{9}{5}x=\frac{24}{5}x$。
在$\mathrm{Rt}△DCG$中，$\tan D=\frac{CG}{DG}=\frac{\frac{12}{5}x}{\frac{24}{5}x}=\frac{1}{2}$。
(2) 过点C作$CH// DB$，交BF的延长线于点H。
$\because CH//DB$，$\therefore ∠CHF=∠DBF$，$∠HCE=∠BAE$。
又$\because$E是AC的中点，$\therefore CE=AE$。
在$△CHE$和$△ABE$中：
$\{\begin{array}{l}∠CHE=∠ABE\\∠HCE=∠BAE\\CE=AE\end{array} $
$\therefore △CHE≌△ABE(AAS)$，$\therefore HC=AB=5x$。
$\because CH//DB$，$\therefore △CHF∽△DBF$，
$\therefore \frac{CF}{DF}=\frac{CH}{DB}$。
又$\because DB=DA+AB=3x+5x=8x$，
$\therefore \frac{CF}{DF}=\frac{5x}{8x}=\frac{5}{8}$。
【答案】
(1) $\tan D=\frac{1}{2}$；(2) $\frac{CF}{DF}=\frac{5}{8}$
【知识点】
解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，将三角函数、全等三角形、相似三角形的知识点结合考查，解题的关键是合理构造辅助线，将所求量转化为已知线段的比例关系，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
