21.(10分)如图1所示是新建的房屋,如图2所示是房屋的侧面示意图,它是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高AB所在的直线.为了测量房屋的高度,在地面上点C处测得屋顶A的仰角为$35°$,此时地面上点C、屋檐上点E、屋顶上点A三点恰好共线,继续向房屋方向走8 m到达点D处,又测得屋檐点E的仰角为$55°$,房屋的顶层横梁$EF=12\ \mathrm{m}$,$EF// CB$,AB交EF于点G(点C、D、B在同一水平线上).(参考数据:$\sin 35°\approx0.6$,$\cos 35°\approx0.8$,$\tan 35°\approx0.7$,$\sin 55°\approx0.8$,$\cos 55°\approx0.6$,$\tan 55°\approx1.4$)
(1)求屋顶到横梁的距离AG;
(2)求房屋的高AB.(结果精确到1 m)

21. 解:(1)$\because$房屋的侧面示意图是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高 AB 所在的直线,$EF// BC$,
$\therefore AG⊥EF$,$EG=\frac{1}{2}EF$,$∠AEG=∠ACB=35°$.
在$\mathrm{Rt}△AGE$中,$∠AGE=90°$,$∠AEG=35°$,
$\therefore \tan∠AEG=\tan 35°=\frac{AG}{EG}$. 又$EG=6\ \mathrm{m}$,
$\therefore AG≈6×0.7=4.2(\mathrm{m})$.
故屋顶到横梁的距离 AG 约为 4.2 m.
(2)过点 E 作$EH⊥BC$于点 H,如图.
设$EH=x\ \mathrm{m}$,
在$\mathrm{Rt}△EDH$中,$∠EHD=90°$,$∠EDH=55°$,
$\because \tan∠EDH=\frac{EH}{DH}$,$\therefore DH=\frac{x}{\tan 55°}$.
在$\mathrm{Rt}△ECH$中,$∠EHC=90°$,$∠ECH=35°$,
$\because \tan∠ECH=\frac{EH}{CH}$,$\therefore CH=\frac{x}{\tan 35°}\ \mathrm{m}$.
$\because CH-DH=CD=8\ \mathrm{m}$,$\therefore \frac{x}{\tan 35°}-\frac{x}{\tan 55°}=8$,
解得$x≈11.2$,
$\therefore AB=AG+BG≈4.2+11.2=15.4≈15(\mathrm{m})$.
故房屋的高 AB 约为 15 m.

【分析】
(1) 首先利用轴对称图形的性质，结合EF//CB的条件，可得AG⊥EF，EG为EF长度的一半，且∠AEG与仰角∠ACB相等为35°，在Rt△AGE中使用正切三角函数即可求出AG的长度；(2) 过点E作EH⊥BC构造直角三角形，设EH的长度为x，分别在Rt△EDH和Rt△ECH中用含x的代数式表示出DH和CH的长度，根据CH-DH=CD=8m列方程求解得到x的值，再结合BG=EH，即可通过AB=AG+BG求出房屋高度，最后取近似值即可。
【解析】
(1) $\because$房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，$EF//BC$，
$\therefore AG⊥EF$，$EG=\frac{1}{2}EF$，$∠AEG=∠ACB=35°$。
在$\mathrm{Rt}△AGE$中，$∠AGE=90°$，$∠AEG=35°$，
$\therefore \tan∠AEG=\tan 35°=\frac{AG}{EG}$。又$EG=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore AG≈6×0.7=4.2(\mathrm{m})$。
(2)过点E作$EH⊥BC$于点H，如图。
设$EH=x\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△EDH$中，$∠EHD=90°$，$∠EDH=55°$，
$\because \tan∠EDH=\frac{EH}{DH}$，$\therefore DH=\frac{x}{\tan 55°}$。
在$\mathrm{Rt}△ECH$中，$∠EHC=90°$，$∠ECH=35°$，
$\because \tan∠ECH=\frac{EH}{CH}$，$\therefore CH=\frac{x}{\tan 35°}\ \mathrm{m}$。
$\because CH-DH=CD=8\ \mathrm{m}$，$\therefore \frac{x}{\tan 35°}-\frac{x}{\tan 55°}=8$，
代入$\tan 35°≈0.7$，$\tan 55°≈1.4$，解得$x≈11.2$，
又$\because BG=EH$，$\therefore AB=AG+BG≈4.2+11.2=15.4≈15(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 屋顶到横梁的距离AG约为4.2 m；
(2) 房屋的高AB约为15 m。

【知识点】
解直角三角形，轴对称性质，仰角问题
【点评】
本题结合房屋测量的实际场景，考查了轴对称性质、平行线性质以及解直角三角形在仰角问题中的实际应用，解题的核心是合理构造直角三角形，利用三角函数关系建立方程求解，能够有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.65

22.(12分)如图,在10×6的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,线段AB、线段EF的端点均在小正方形的格点上.
(1)在图中以AB为边画Rt△ABC,点C在小正方形的格点上,使∠BAC=90°,且$\tan∠ACB=\frac{2}{3}$;
(2)在(1)的条件下,在图中画以EF为边且面积为3的△DEF,点D在小正方形的格点上,使∠CBD=45°,连接CD,直接写出线段CD的长.

22. 解:(1)如图,$△ABC$即为所求.
(2)如图,$△DEF$即为所求,此时,CD 的长为$\sqrt{26}$.

【分析】
解决第(1)问：先观察线段AB在网格中的走向，结合∠BAC=90°的垂直要求确定AC的走向；再根据tan∠ACB的值得出AB与AC的长度比，计算出AC的长度，最终在网格中找到符合要求的格点C。解决第(2)问：先根据△DEF的面积要求，算出点D到EF的距离，筛选出符合距离条件的格点候选，再从中找到满足∠CBD=45°的点D，最后用勾股定理计算CD的长度。
【解析】
(1) 观察AB的走向：从A到B横向向右移动2格、纵向向上移动2格，横、纵向移动距离相等。因为∠BAC=90°，所以AC与AB垂直，因此AC的走向应为横向向右、纵向向下，且横、纵向移动距离相等。
计算AB的长度：由勾股定理得$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
由$\tan∠ ACB=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$，代入$AB=2\sqrt{2}$，解得$AC=3\sqrt{2}$，即AC需横向向右移动3格、纵向向下移动3格，找到对应格点C，画出Rt△ABC即可。
(2) 计算EF的长度：从F到E横向向右移动4格、纵向向下移动4格，由勾股定理得$EF=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
设点D到EF的距离为h，由$△ DEF$的面积为3，得$\frac{1}{2}× EF× h=3$，代入EF的长度解得$h=\frac{3\sqrt{2}}{4}$，结合网格特征找到距离EF符合要求的格点，再验证$∠ CBD=45°$，确定格点D的位置。
观察C、D的位置：C到D横向相差5格，纵向相差1格，由勾股定理得$CD=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$。
【答案】
(1)如图,△ABC即为所求.
(2)如图,△DEF即为所求,此时,CD 的长为$\sqrt{26}$.
【知识点】
直角三角形性质，锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题结合网格作图考查几何综合应用，需要结合网格特征和已知条件定位格点，同时要熟练运用锐角三角函数、三角形面积公式、勾股定理进行计算，对作图能力和计算能力均有一定要求。
【难度系数】
0.65

23(12分)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠BAD=120°,∠ABC=37°,AB=12,AD=4\sqrt{3},连接AC.
(1)求平行线AB与CD间的距离;
(2)求sin∠BAC的值.(参考数据:sin37°≈$\frac{3}{5}$,cos37°≈$\frac{4}{5}$,tan37°≈$\frac{3}{4}$)

23. 解:(1)如图,过点 A 作$AE⊥CD$,垂足为 E.
$\because AB// CD$,$∠BAD=120°$,
$\therefore ∠D=180°-∠BAD=60°$.
在$\mathrm{Rt}△ADE$中,$AD=4\sqrt{3}$,
$\therefore AE=AD·\sin 60°=4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=6$,
$\therefore$平行线 AB 与 CD 间的距离为 6.
(2)如图,过点 C 作$CF⊥AB$,垂足为 F.
$\because CD// AB$,$\therefore AE=CF=6$.
在$\mathrm{Rt}△BCF$中,$∠ABC=37°$,
$\therefore BF=\frac{CF}{\tan 37°}≈\frac{6}{\frac{3}{4}}=8$.
$\because AB=12$,$\therefore AF=AB-BF=12-8=4$,
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ACF$中,$AC=\sqrt{AF^2+CF^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$,$\therefore \sin∠BAC=\frac{CF}{AC}=\frac{6}{2\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$.

【分析】
(1) 求平行线AB与CD的距离，本质是求两平行线间垂线段的长度：首先过点A作CD的垂线段AE，结合AB与CD平行、∠BAD=120°，利用平行线同旁内角互补可求出∠D=60°，再在Rt△ADE中用正弦三角函数即可算出AE的长度，也就是两平行线的距离。
(2) 求sin∠BAC的值，需要将∠BAC放在直角三角形中计算：过点C作AB的垂线段CF，首先由平行线间距离处处相等得CF=AE，再在Rt△BCF中结合∠B=37°的正切值算出BF的长度，进而求出AF的长度，用勾股定理算出AC的长度后，根据正弦的定义（对边比斜边）即可求出sin∠BAC的值。
【解析】
(1) 过点A作$AE⊥CD$，垂足为E。
$\because AB// CD$，$∠BAD=120°$，
$\therefore ∠D=180°-∠BAD=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$AD=4\sqrt{3}$，
$\therefore AE=AD·\sin 60°=4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=6$，
$\therefore$平行线AB与CD间的距离为6。
(2) 过点C作$CF⊥AB$，垂足为F。
$\because CD// AB$，$\therefore AE=CF=6$。
在$\mathrm{Rt}△BCF$中，$∠ABC=37°$，
$\therefore BF=\frac{CF}{\tan 37°}≈\frac{6}{\frac{3}{4}}=8$。
$\because AB=12$，$\therefore AF=AB-BF=12-8=4$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ACF$中，$AC=\sqrt{AF^2+CF^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$，$\therefore \sin∠BAC=\frac{CF}{AC}=\frac{6}{2\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$。
【答案】
(1) 平行线AB与CD间的距离为$\boldsymbol{6}$；
(2) $\sin∠BAC$的值为$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{13}}{13}}$。
【知识点】
平行线的性质、解直角三角形、勾股定理
【点评】
本题核心考查直角三角形的相关计算，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，将所求的距离、三角函数值转化为直角三角形中的边长计算，同时结合平行线的性质即可逐步求解，解题时要注意锐角三角函数的适用条件为直角三角形。
【难度系数】
0.7