24(12分)图1是一种自卸货车,图2是该货车的示意图,货厢侧面ABCD是一个矩形,AB=4 m,BC=2 m,AD为货车挡板,初始时点A、B、F在同一水平线上,车厢底部AB离地面的高度为1.3 m.卸货时货厢在千斤顶的作用下绕着点A顺时针旋转.(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,√2≈1.414)
(1)当侧面ABCD绕着点A旋转37°时,求点B离地面的距离;
(2)已知该货车的安全轴距为0.7 m.当挡板AD还未打开时,货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心.在卸货过程中,如果支点A到货厢重力方向(以点G为端点竖直向下的射线)所在直线的距离小于安全轴距,则车辆会发生倾覆安全事故.当侧面ABCD绕着点A旋转45°且挡板AD还未打开时,该货车会发生倾覆安全事故吗?请说明你的理由.(本题中载满货物的货厢可看作一个质地均匀的物体,在实际问题中我们可以仅从平面的角度进行研究)

24. 解:(1)如图1,过点 B 作$BP⊥AF$,垂足为 P.
在$\mathrm{Rt}△ABP$中,$BP=AB·\sin 37°≈4×0.60=2.4(\mathrm{m})$,$2.4+1.3=3.7(\mathrm{m})$.
故车厢最高点 B 离地面的距离约为 3.7 m.
(2)不会发生倾覆安全事故.
理由:如图 2,过点 G 作$GO⊥AF$,垂足为 O,过点 C 作$CM⊥AF$,垂足为 M,交 AB 于点 I,过点 B 作$BN⊥AF$,垂足为 N,过点 B 作$BK⊥CM$,垂足为 K,
则四边形 BNMK 为矩形,$\therefore BN=KM$.
在$\mathrm{Rt}△ABN$中,$BN=AB·\sin 45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}(\mathrm{m})$,
$\therefore KM=BN=2\sqrt{2}\ \mathrm{m}$.
$\because BK// AN$,$\therefore ∠KBA=∠BAN=45°$,
$\therefore ∠CBK=∠CBA-∠KBA=90°-45°=45°$.
在$\mathrm{Rt}△BCK$中,$BK=BC·\cos 45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}(\mathrm{m})$,
$\therefore CK=BK=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$,
在$\mathrm{Rt}△BKI$中,$\because ∠KBA=45°$,
$\therefore KI=BK=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$,$\therefore IM=KM-KI=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$.
在$\mathrm{Rt}△AMI$中,$\because ∠IAM=45°$,
$\therefore AM=IM=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$.
$\because CM// GO$,$\therefore \frac{AG}{CG}=\frac{AO}{OM}$.
$\because AG=CG$,
$\therefore AO=OM=\frac{1}{2}AM=\frac{\sqrt{2}}{2}≈0.71(\mathrm{m})$.
$\because 0.71＞0.7$,$\therefore$不会发生倾覆安全事故.

【分析】
(1) 求解旋转37°时点B离地面的距离：首先明确AB绕点A旋转后与初始水平线AF的夹角为37°，过点B作AF的垂线构造直角三角形，利用正弦函数求出点B到AF的垂直高度，再加上AB初始离地面的高度1.3m，即可得到最终结果。
(2) 判断是否会发生倾覆事故：首先明确判断规则，需计算支点A到过重心G的竖直向下直线的水平距离，再与安全轴距0.7m比较，若距离大于0.7m则不会倾覆。首先G是矩形对角线交点，故AG=GC；旋转45°时，通过作多条垂线构造直角三角形和矩形，利用45°角的三角函数值求出相关线段长度，再结合平行线分线段成比例的性质，求出A到过G的竖直线的水平距离，最终比较大小得出结论。
【解析】
(1) 如图1，过点B作$BP⊥AF$，垂足为P。
在$\mathrm{Rt}△ABP$中，$∠ BAP=37°$，$AB=4\mathrm{m}$，
$\therefore BP=AB·\sin 37°≈4×0.60=2.4(\mathrm{m})$，
已知AB初始离地面高度为1.3m，因此点B离地面的距离为$2.4+1.3=3.7(\mathrm{m})$。
(2) 不会发生倾覆安全事故，理由如下：
如图2，过点G作$GO⊥AF$，垂足为O，过点C作$CM⊥AF$，垂足为M，交AB于点I，过点B作$BN⊥AF$，垂足为N，过点B作$BK⊥CM$，垂足为K，
则四边形BNMK为矩形，$\therefore BN=KM$。
在$\mathrm{Rt}△ABN$中，$∠ BAN=45°$，
$\therefore BN=AB·\sin 45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}(\mathrm{m})$，
$\therefore KM=BN=2\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
$\because BK// AN$，$\therefore ∠KBA=∠BAN=45°$，
$\because$四边形ABCD是矩形，$∠ CBA=90°$，
$\therefore ∠CBK=∠CBA-∠KBA=90°-45°=45°$。
在$\mathrm{Rt}△BCK$中，$BC=2\mathrm{m}$，
$\therefore BK=BC·\cos 45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}(\mathrm{m})$，
$\therefore CK=BK=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△BKI$中，$\because ∠KBA=45°$，
$\therefore KI=BK=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，$\therefore IM=KM-KI=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△AMI$中，$\because ∠IAM=45°$，
$\therefore AM=IM=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
$\because CM⊥AF$，$GO⊥AF$，$\therefore CM// GO$，
$\therefore \frac{AG}{CG}=\frac{AO}{OM}$。
$\because$G是矩形ABCD对角线交点，$\therefore AG=CG$，
$\therefore AO=OM=\frac{1}{2}AM=\frac{\sqrt{2}}{2}≈0.71(\mathrm{m})$。
$\because 0.71＞0.7$，因此不会发生倾覆安全事故。
【答案】
(1) 车厢最高点 B 离地面的距离约为 3.7 m。
(2) 不会发生倾覆安全事故。
【知识点】
解直角三角形，矩形的性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题结合自卸货车卸货的真实场景考查几何知识的实际应用，需要学生准确理解题意，通过合理作辅助线构造直角三角形和特殊四边形，结合三角函数、几何图形性质求解，很好地考查了学生的知识应用能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6

25（14分）学校正推进“智慧校园”建设，如图，A、B、C、D分别为学生公寓、训练广场、学校大门、图书馆，点D在点B的南偏东$75°$方向，点A在点D的西北方向，点B、C在点A的正南方向，AB长为120米.
(1)求学生公寓A到图书馆D的距离；（结果精确到0.1米）
(2)为了进一步推进“智慧校园”建设，学校需要进一步优化校园网络，技术人员准备在A、D中选择一处部署一台核心交换机并为这台核心交换机铺设专用光纤.已知C在D的南偏西$60°$方向，若在A地部署核心交换机，需铺设AC与AD两条路线的光纤并在B地再部署一台价值400元的微型交换机（防止A、B、C之间出现拥堵）；若在D地部署核心交换机，需铺设AD、BD、CD这3条路线的光纤，不需要再部署微型交换机.已知光纤铺设费用为3元/米，请从费用成本最小的角度说明技术人员应该选择在哪里部署核心交换机？（忽略其他费用.参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732,\sqrt{6}\approx2.449$）

25. 解:(1)过点 B 作$BE⊥AD$于点 E,如图.
由题意,$∠BAD=45°$,$AB=120$米,$∠CBD=75°$,
$\therefore ∠ADB=∠CBD-∠BAD=30°$.
在$\mathrm{Rt}△ABE$中,$AE=BE=60\sqrt{2}$米,
在$\mathrm{Rt}△BDE$中,$DE=\frac{BE}{\tan 30°}=60\sqrt{6}$米,
$\therefore AD=AE+DE=60\sqrt{2}+60\sqrt{6}≈231.8$(米).
答:学生公寓 A 到图书馆 D 的距离约为231.8米.
(2)如图,设过点 D 的东西方向线与 AC 交于点 F,由题意知$∠C=60°$,
在$\mathrm{Rt}△BDE$中,$BD=2BE=120\sqrt{2}≈169.68$(米),
在$\mathrm{Rt}△ADF$中,$AF=DF=\frac{\sqrt{2}}{2}AD=60+60\sqrt{3}≈163.92$(米),
在$\mathrm{Rt}△CDF$中,$CF=\frac{DF}{\tan 60°}=20\sqrt{3}+60≈94.64$(米),
$CD=\frac{DF}{\sin 60°}=40\sqrt{3}+120≈189.28$(米),
$\therefore$在 A 地部署核心交换机的费用为$3(AF+CF+AD)+400≈3×(163.92+94.64+231.8)+400=1\ 871.08$(元),
在 D 地部署核心交换机的费用为$3(AD+BD+CD)≈3×(231.8+169.68+189.28)=1\ 772.28$(元).
$\because 1\ 871.08＞1\ 772.28$,
$\therefore$应该选择在 D 地部署核心交换机.

【分析】
(1) 求解A到D的距离时，首先根据方向角信息确定已知角度：点A在D的西北方向，可得∠BAD=45°；点D在B的南偏东75°方向，利用三角形外角性质可求出∠ADB=30°。通过过点B作BE⊥AD的辅助线，将AD拆分为AE、DE两段，分别在Rt△ABE和Rt△BDE中利用锐角三角函数计算两段长度，相加即可得到AD的长度。
(2) 对比两个部署方案的成本，需先求出所有涉及的线段长度：先在Rt△BDE中求出BD的长度，再过D作东西方向线交AC于点F，分别在Rt△ADF、Rt△CDF中求出DF、CF、CD的长度。之后分别计算两种方案的总费用：A地部署费用为AC、AD总长的光纤费用加400元微型交换机费用，D地部署费用为AD、BD、CD总长的光纤费用，比较二者大小即可选出更优方案。
【解析】
(1) 过点B作$BE⊥AD$于点E，如图。
由题意，$∠BAD=45°$，$AB=120$米，$∠CBD=75°$，
$\therefore ∠ADB=∠CBD-∠BAD=75°-45°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$AE=BE=AB·\sin45°=120×\frac{\sqrt{2}}{2}=60\sqrt{2}$米，
在$\mathrm{Rt}△BDE$中，$DE=\frac{BE}{\tan 30°}=\frac{60\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=60\sqrt{6}$米，
$\therefore AD=AE+DE=60\sqrt{2}+60\sqrt{6}≈60×1.414+60×2.449≈231.8$（米）。
(2) 设过点D的东西方向线与AC交于点F，由题意知$∠CDF=60°$，故$∠C=60°$。
在$\mathrm{Rt}△BDE$中，$BD=\frac{BE}{\sin30°}=2BE=120\sqrt{2}≈120×1.414≈169.68$（米），
在$\mathrm{Rt}△ADF$中，$∠DAF=45°$，故$AF=DF=\frac{\sqrt{2}}{2}AD=\frac{\sqrt{2}}{2}×(60\sqrt{2}+60\sqrt{6})=60+60\sqrt{3}≈60+60×1.732≈163.92$（米），
在$\mathrm{Rt}△CDF$中，$CF=\frac{DF}{\tan 60°}=\frac{60+60\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=20\sqrt{3}+60≈20×1.732+60≈94.64$（米），
$CD=\frac{DF}{\sin 60°}=\frac{60+60\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=40\sqrt{3}+120≈40×1.732+120≈189.28$（米）。
在A地部署核心交换机的费用为：$3(AC+AD)+400=3(AF+CF+AD)+400≈3×(163.92+94.64+231.8)+400=1871.08$（元），
在D地部署核心交换机的费用为：$3(AD+BD+CD)≈3×(231.8+169.68+189.28)=1772.28$（元）。
$\because 1871.08＞1772.28$，
$\therefore$选择在D地部署核心交换机更划算。
【答案】
(1)学生公寓A到图书馆D的距离约为231.8米；
(2)应该选择在D地部署核心交换机。

【知识点】
解直角三角形、方向角应用、方案优化
【点评】
本题结合校园建设的实际场景，考查了解直角三角形在实际问题中的应用，要求学生能从方向角描述中准确提取角度信息，合理构造直角三角形求解线段长度，同时在费用计算时需注意额外成本的添加，较好地体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.6