3 探索与表达规律
课时目标
1.经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程，体会代数推理的特点和作用.（推理能力、运算能力）
2.能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性.（模型观念、推理能力、运算能力）
3.能用代数式表示并借助代数式运算解释具体问题中蕴含的一般规律或现象.（模型观念、推理能力、运算能力、应用意识）
基础 主干落实 筑牢根基
答案 P241
新知要点
探索规律的一般步骤：

对点小练
观察下列等式：$4×1^2 -1^2=3$，$4×2^2 -3^2=7$，$4×3^2 -5^2=11$，…，根据上述规律，则第2020个等式的值是（）
A.8079
B.8073
C.8075
D.8076

A

【典例1】(教材再开发·P96尝试
·思考拓展)观察下列三行数：
2,－4,8,－16,32,－64,…①
0,－6,6,－18,30,－66,…②
－1,2,－4,8,－16,32,…③
(1)第①行的第n个数是(直接写出答案，n为正整数)；
(2)第②、③行的数与第①行相对应的数分别有什么关系？
(3)取每行的第8个数，计算这三个数的和等于.

(1)因为第1个数：$2=-(-2)^1$，第2个数：$-4=-(-2)^2$，第3个数：$8=-(-2)^3$，……所以第n个数为$-(-2)^n$。
(2)第②行的数等于第①行相应的数减去2，第③行的数等于第①行相应的数除以(-2)；
(3)由(1)(2)知，第①②③行第8个数分别是：$-(-2)^8$，$-(-2)^8-2$，$-(-2)^8÷(-2)$，所以$-(-2)^8+[-(-2)^8-2]+[-(-2)^8÷(-2)]=-2×2^8-2+2^7=-386$。
答案:$-386$

1. 一组按照规律排列的式子如下：$2m$，$-5m^2$，$10m^3$，$-17m^4$，$26m^5$，…，请根据规律写出第21个式子为 （）

A.$401m^{21}$
B.$-401m^{21}$
C.$442m^{21}$
D.$-442m^{21}$

C 根据$2m,-5m^2,10m^3,-17m^4,26m^5$,得第n个式子是$(-1)^{n+1}·(1+n^2)m^n$,所以第21个式子是$442m^{21}$。

2.观察下面一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7，…，将这列数排成下列形式：记$a_{ij}$为第i行第j列的数，如$a_{23}=4$，那么$a_{89}=$。

【解析】因为第n行有$(2n-1)$个数，所以第8行一共有$2×8-1=15$(个)数。每行的最后一个数的绝对值是这行的行数n的平方，第7行最后一个数为-49，第8行前9个数是50，-51，52，-53，54，-55，56，-57，58，所以第8行第9列的数是58，故$a_{89}=58$。
答案:58

3.3T1强化)如图是一组有规律的图案,它们是由边长相等的等边三角形组合而成,第1个图案有4个三角形,第2个图案有7个三角形,第3个图案有10个三角形……照此规律摆下去:

(1)摆成第4个图案需要个三角形;
摆成第5个图案需要个三角形;
(2)照此规律,摆成第n(n为正整数)个图案需要个三角形(用含n的代数式表示);
(3)在(2)的条件下,摆成第2024个图案需要几个三角形?

设摆成第n(n为正整数)个图案需要$a_n$个三角形。
(1)$a_1=4$，$a_2=7=4+3$，$a_3=10=4+3×2$，$a_4=4+3×3=13$，$a_5=4+3×4=16$；
答案:13 16
(2)由(1)可知:$a_n=3(n-1)+4=3n+1$；
答案:$(3n+1)$
(3)当$n=2024$时，$3n+1=3×2024+1=6073$。
摆成第2024个图案需要6073个三角形。