登录
4. 已知有理数$a$，$b$在数轴上的位置如图，且$|a|=|b|$，则关于$x$的方程$2024(a+b)-\dfrac{2a}{b}x=5$的解为$x=$
$\frac{5}{2}$
。答案
4.$\frac{5}{2}$
解析
【分析】
首先结合数轴判断a、b的符号：a在原点左侧为负数，b在原点右侧为正数；再根据$|a|=|b|$可知a和b互为相反数，即$a=-b$，由此可先计算出$a+b$、$\frac{a}{b}$的值，再将两个值代入原方程，得到只含x的一元一次方程，按解一元一次方程的步骤计算即可得到x的解。
【解析】
解：由数轴可得$a＜0$，$b＞0$，
$\because |a|=|b|$，$\therefore a=-b$，
$\therefore a+b=0$，$\frac{a}{b}=\frac{-b}{b}=-1$，
将$a+b=0$，$\frac{a}{b}=-1$代入方程$2024(a+b)-\frac{2a}{b}x=5$得：
$2024×0 - 2×(-1)· x=5$
化简得：$2x=5$
解得：$x=\frac{5}{2}$
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
数轴的应用，相反数的性质，解一元一次方程
【点评】
本题综合考查了数轴、相反数性质与一元一次方程的求解，解题关键是通过已知条件推导a、b的数量关系，代入方程后即可快速求解，侧重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
首先结合数轴判断a、b的符号：a在原点左侧为负数，b在原点右侧为正数；再根据$|a|=|b|$可知a和b互为相反数，即$a=-b$，由此可先计算出$a+b$、$\frac{a}{b}$的值，再将两个值代入原方程，得到只含x的一元一次方程，按解一元一次方程的步骤计算即可得到x的解。
【解析】
解：由数轴可得$a＜0$，$b＞0$，
$\because |a|=|b|$，$\therefore a=-b$，
$\therefore a+b=0$，$\frac{a}{b}=\frac{-b}{b}=-1$，
将$a+b=0$，$\frac{a}{b}=-1$代入方程$2024(a+b)-\frac{2a}{b}x=5$得：
$2024×0 - 2×(-1)· x=5$
化简得：$2x=5$
解得：$x=\frac{5}{2}$
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
数轴的应用，相反数的性质，解一元一次方程
【点评】
本题综合考查了数轴、相反数性质与一元一次方程的求解，解题关键是通过已知条件推导a、b的数量关系，代入方程后即可快速求解，侧重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
5. 解下列方程：
(1) $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1$；
(2) $x + \frac{x - 1}{2} = 3$；
(3) $\frac{1}{2}(2x - 1) + \frac{1}{3}(2x - 1) = \frac{5}{6}$；
(4) $x - 2x + 3x - 4x + \dots + 99x - 100x = 25$。
(1) $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1$；
(2) $x + \frac{x - 1}{2} = 3$；
(3) $\frac{1}{2}(2x - 1) + \frac{1}{3}(2x - 1) = \frac{5}{6}$；
(4) $x - 2x + 3x - 4x + \dots + 99x - 100x = 25$。
答案
5.(1)$x=\frac{6}{5}$ (2)$x=\frac{7}{3}$ (3)$x=1$ (4)$x=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这四道题均为一元一次方程求解问题，核心遵循解一元一次方程的通用思路：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。其中第(3)题可将$(2x-1)$看作整体简化运算，第(4)题可先观察相邻两项的运算规律，分组合并同类项后再求解，能减少计算量，提升正确率。
【解析】
(1) 解：去分母，方程两边同时乘2和3的最小公倍数6，得：
$3x + 2x = 6$
合并同类项，得：
$5x = 6$
系数化为1，得：
$x = \frac{6}{5}$
(2) 解：去分母，方程两边同时乘2，得：
$2x + (x - 1) = 6$
去括号，得：
$2x + x - 1 = 6$
移项，得：
$2x + x = 6 + 1$
合并同类项，得：
$3x = 7$
系数化为1，得：
$x = \frac{7}{3}$
(3) 解：方法一（整体法）：将$(2x-1)$看作整体合并同类项，得：
$(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})(2x-1) = \frac{5}{6}$
化简得：$\frac{5}{6}(2x-1) = \frac{5}{6}$
方程两边同时乘$\frac{6}{5}$，得：$2x - 1 = 1$
移项、系数化为1，得：$x = 1$
方法二（常规法）：去分母，方程两边同时乘6，得：
$3(2x - 1) + 2(2x - 1) = 5$
去括号，得：$6x - 3 + 4x - 2 = 5$
移项、合并同类项，得：$10x = 10$
系数化为1，得：$x = 1$
(4) 解：观察式子特征，将相邻两项分为一组，得：
$(x - 2x) + (3x - 4x) + \dots + (99x - 100x) = 25$
每组运算结果均为$-x$，共100项，可分为50组，化简得：
$-50x = 25$
系数化为1，得：
$x = -\frac{1}{2}$
【答案】
(1)$x=\frac{6}{5}$ (2)$x=\frac{7}{3}$ (3)$x=1$ (4)$x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
解一元一次方程，合并同类项，去分母
【点评】
这组题目重点考察一元一次方程的基础解法，前3题侧重对去分母、去括号、合并同类项等核心步骤的掌握，第4题需要先观察式子结构特征，通过分组简化运算，平时练习要养成先观察式子特征再动手计算的习惯，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.75
这四道题均为一元一次方程求解问题，核心遵循解一元一次方程的通用思路：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。其中第(3)题可将$(2x-1)$看作整体简化运算，第(4)题可先观察相邻两项的运算规律，分组合并同类项后再求解，能减少计算量，提升正确率。
【解析】
(1) 解：去分母，方程两边同时乘2和3的最小公倍数6，得：
$3x + 2x = 6$
合并同类项，得：
$5x = 6$
系数化为1，得：
$x = \frac{6}{5}$
(2) 解：去分母，方程两边同时乘2，得：
$2x + (x - 1) = 6$
去括号，得：
$2x + x - 1 = 6$
移项，得：
$2x + x = 6 + 1$
合并同类项，得：
$3x = 7$
系数化为1，得：
$x = \frac{7}{3}$
(3) 解：方法一（整体法）：将$(2x-1)$看作整体合并同类项，得：
$(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})(2x-1) = \frac{5}{6}$
化简得：$\frac{5}{6}(2x-1) = \frac{5}{6}$
方程两边同时乘$\frac{6}{5}$，得：$2x - 1 = 1$
移项、系数化为1，得：$x = 1$
方法二（常规法）：去分母，方程两边同时乘6，得：
$3(2x - 1) + 2(2x - 1) = 5$
去括号，得：$6x - 3 + 4x - 2 = 5$
移项、合并同类项，得：$10x = 10$
系数化为1，得：$x = 1$
(4) 解：观察式子特征，将相邻两项分为一组，得：
$(x - 2x) + (3x - 4x) + \dots + (99x - 100x) = 25$
每组运算结果均为$-x$，共100项，可分为50组，化简得：
$-50x = 25$
系数化为1，得：
$x = -\frac{1}{2}$
【答案】
(1)$x=\frac{6}{5}$ (2)$x=\frac{7}{3}$ (3)$x=1$ (4)$x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
解一元一次方程，合并同类项，去分母
【点评】
这组题目重点考察一元一次方程的基础解法，前3题侧重对去分母、去括号、合并同类项等核心步骤的掌握，第4题需要先观察式子结构特征，通过分组简化运算，平时练习要养成先观察式子特征再动手计算的习惯，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.75
6.《算法统宗》一书中记载了一些诗歌形式的算题，其中有一个“百羊问题”：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群.得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透.题目的意思是甲赶了一群羊在草地上往前走，乙牵了一只肥羊紧跟在甲的后面.乙问甲：“你这群羊有一百只吗？”甲说：“如果再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只.”甲原来赶的羊一共有多少只？
答案
6. 设甲原来赶的羊有$x$只.由题意,得$x+x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x+1=100$,解得$x=36$.
解析
【分析】这是一道一元一次方程实际应用题，解题思路如下：首先设甲原来赶的羊的数量为未知数$x$；然后从题目描述中提取等量关系：原有羊的数量+相同数量的羊+半群羊的数量+四分之一群羊的数量+乙的1只羊=100，将各部分用含$x$的代数式表示后即可列出方程；最后按照解一元一次方程的步骤，合并同类项、移项、系数化为1，就能求出结果。
【解析】
解：设甲原来赶的羊有$x$只。
根据题意列方程：
$x + x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$
合并同类项，得：
$\frac{11}{4}x + 1 = 100$
移项，得：
$\frac{11}{4}x = 99$
系数化为1，得：
$x = 99 ÷ \frac{11}{4} = 36$
【答案】36只
【知识点】一元一次方程应用，解一元一次方程，等量关系建模
【点评】本题结合古代数学典籍中的趣味问题，考查用一元一次方程解决实际问题的能力，解题关键是准确理解题意、找准数量间的等量关系，整体考查内容偏向基础。
【难度系数】0.75
【解析】
解：设甲原来赶的羊有$x$只。
根据题意列方程：
$x + x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x + 1 = 100$
合并同类项，得：
$\frac{11}{4}x + 1 = 100$
移项，得：
$\frac{11}{4}x = 99$
系数化为1，得：
$x = 99 ÷ \frac{11}{4} = 36$
【答案】36只
【知识点】一元一次方程应用，解一元一次方程，等量关系建模
【点评】本题结合古代数学典籍中的趣味问题，考查用一元一次方程解决实际问题的能力，解题关键是准确理解题意、找准数量间的等量关系，整体考查内容偏向基础。
【难度系数】0.75
7. 有一列数，按一定的规律排列成$\frac{1}{3}$，$-1$，$3$，$-9$，$27$，$-81$，$···$. 若相邻的某三个数的和是$-567$，则这三个数中的第二个数是多少？
答案
7. 设这三个数中的第二个数是$x$,则第一个数是$-\frac{1}{3}x$,第三个数是$-3x$,由题意,得$-\frac{1}{3}x+x-3x=-567$,解得$x=243$,$\therefore$这三个数中的第二个数是243.
解析
【分析】
解题时首先观察数列的排列规律：通过计算相邻两数的商，可发现后一个数是前一个数的-3倍，即前一个数是后一个数的$-\frac{1}{3}$。要求相邻三个数中第二个数的值，我们可以直接设第二个数为$x$，根据规律表示出第一个数和第三个数，再根据“三个数的和是$-567$”的等量关系列一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
观察数列可知：后一个数是前一个数的$-3$倍。
设这三个数中的第二个数是$x$，则第一个数为$-\frac{1}{3}x$，第三个数为$-3x$。
根据三个数的和是$-567$，列方程得：
$-\frac{1}{3}x + x + (-3x) = -567$
合并同类项，得：
$-\frac{7}{3}x = -567$
系数化为1，得：
$x = (-567) × (-\frac{3}{7}) = 243$
【答案】
243
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用，解一元一次方程
【点评】
本题将数字规律与一元一次方程应用结合，解题核心是先准确找出数列的变化规律，合理设未知数，再根据题目给出的等量关系列方程求解，能较好地考察学生的规律观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数列的排列规律：通过计算相邻两数的商，可发现后一个数是前一个数的-3倍，即前一个数是后一个数的$-\frac{1}{3}$。要求相邻三个数中第二个数的值，我们可以直接设第二个数为$x$，根据规律表示出第一个数和第三个数，再根据“三个数的和是$-567$”的等量关系列一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
观察数列可知：后一个数是前一个数的$-3$倍。
设这三个数中的第二个数是$x$，则第一个数为$-\frac{1}{3}x$，第三个数为$-3x$。
根据三个数的和是$-567$，列方程得：
$-\frac{1}{3}x + x + (-3x) = -567$
合并同类项，得：
$-\frac{7}{3}x = -567$
系数化为1，得：
$x = (-567) × (-\frac{3}{7}) = 243$
【答案】
243
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用，解一元一次方程
【点评】
本题将数字规律与一元一次方程应用结合，解题核心是先准确找出数列的变化规律，合理设未知数，再根据题目给出的等量关系列方程求解，能较好地考察学生的规律观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
