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8. 某服装加工厂做1件衬衣、1条裤子和1件外套所用时间之比为$1:2:3$，一名工人用10个工时能做2件衬衣、3条裤子和4件外套，那么这位工人加工14件衬衣、10条裤子和2件外套共需要多少个工时？
答案
8. 设做1件衬衣需用$x$个工时.由题意,得$2x+3×2x+4×3x=10$,解得$x=0.5$,$14×0.5+10×2×0.5+2×3×0.5=20$(个).
解析
【分析】
题目给出了做衬衣、裤子、外套的时间比，我们可以按照比例设未知数简化计算：先设做1件衬衣需要x个工时，那么做1条裤子、1件外套的工时就可以用2x、3x表示。再根据“10个工时能做2件衬衣、3条裤子和4件外套”的等量关系列方程，求出x的取值后，再代入计算目标任务的总工时即可。
【解析】
解：设做1件衬衣需用$x$个工时，则做1条裤子需用$2x$个工时，做1件外套需用$3x$个工时。
根据题意列方程：
$2x+3×2x+4×3x=10$
合并同类项得：$20x=10$
解得：$x=0.5$
加工14件衬衣、10条裤子和2件外套的总工时为：
$14×0.5+10×2×0.5+2×3×0.5=7+10+3=20$（个）
【答案】
20个
【知识点】
一元一次方程的应用、比例的应用、代数式求值
【点评】
本题是方程实际应用的基础题，解题关键是根据时间比合理设未知数，准确抓住总工时的等量关系列方程求解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
题目给出了做衬衣、裤子、外套的时间比，我们可以按照比例设未知数简化计算：先设做1件衬衣需要x个工时，那么做1条裤子、1件外套的工时就可以用2x、3x表示。再根据“10个工时能做2件衬衣、3条裤子和4件外套”的等量关系列方程，求出x的取值后，再代入计算目标任务的总工时即可。
【解析】
解：设做1件衬衣需用$x$个工时，则做1条裤子需用$2x$个工时，做1件外套需用$3x$个工时。
根据题意列方程：
$2x+3×2x+4×3x=10$
合并同类项得：$20x=10$
解得：$x=0.5$
加工14件衬衣、10条裤子和2件外套的总工时为：
$14×0.5+10×2×0.5+2×3×0.5=7+10+3=20$（个）
【答案】
20个
【知识点】
一元一次方程的应用、比例的应用、代数式求值
【点评】
本题是方程实际应用的基础题，解题关键是根据时间比合理设未知数，准确抓住总工时的等量关系列方程求解，能够锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
9. 阅读下列材料：
问题:怎样将$0.\dot{8}$表示成分数?
小明的探究过程如下:设$x=0.\dot{8}$ ①,$10x=10×0.\dot{8}$ ②,$10x=8.\dot{8}$ ③,$10x=8+0.\dot{8}$ ④,$10x=8+x$ ⑤,$9x=8$ ⑥,$x=\frac{8}{9}$ ⑦.
根据以上信息,回答下列问题:
(1) 从步骤①到步骤②,变形的依据是
从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是
(2) 仿照上述探求过程,请你将$0.\dot{3}\dot{6}$表示成分数的形式.
问题:怎样将$0.\dot{8}$表示成分数?
小明的探究过程如下:设$x=0.\dot{8}$ ①,$10x=10×0.\dot{8}$ ②,$10x=8.\dot{8}$ ③,$10x=8+0.\dot{8}$ ④,$10x=8+x$ ⑤,$9x=8$ ⑥,$x=\frac{8}{9}$ ⑦.
根据以上信息,回答下列问题:
(1) 从步骤①到步骤②,变形的依据是
等式的基本性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等
;从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是
等式的基本性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等
;(2) 仿照上述探求过程,请你将$0.\dot{3}\dot{6}$表示成分数的形式.
答案
9.(1) 等式的基本性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等 等式的基本性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等 (2) 设$0.\dot{3}\dot{6}=x$,则$100x=100×0.\dot{3}\dot{6}$,$100x=36.\dot{3}\dot{6}$,$100x=36+x$,$99x=36$,解得$x=\frac{4}{11}$.
解析
【分析】
(1) 首先回忆等式的两个基本性质：步骤①到②是给等式两边同时乘10，对应等式两边乘同一个数的变形规则；步骤⑤到⑥是给等式两边同时减x，对应等式两边减同一个式子的变形规则，分别匹配对应的等式性质即可。
(2) 观察$0.\dot{3}\dot{6}$的循环节是2位，参照材料的方法，先设这个循环小数为x，再给等式两边同时乘100，把循环部分移到整数位，再将右侧的循环小数替换为x，得到一元一次方程后求解，最后约分得到最简分数即可。
【解析】
(1) 从步骤①到步骤②，是给等式两边同时乘10，变形依据是等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
从步骤⑤到步骤⑥，是给等式两边同时减x，变形依据是等式的基本性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。
(2) 设$0.\dot{3}\dot{6}=x$，
根据等式的基本性质2，两边同时乘100，得$100x=100×0.\dot{3}\dot{6}$，
即$100x=36.\dot{3}\dot{6}$，
因为$36.\dot{3}\dot{6}=36+0.\dot{3}\dot{6}$，代入$0.\dot{3}\dot{6}=x$得$100x=36+x$，
根据等式的基本性质1，两边同时减x，得$99x=36$，
两边同时除以99，得$x=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}$。
【答案】
(1) 等式的基本性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等；等式的基本性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等
(2) $\frac{4}{11}$
【知识点】
等式的基本性质，解一元一次方程，无限循环小数化分数
【点评】
本题以阅读探究的形式出题，既考查了对等式基本性质的理解辨析，也考查了知识迁移应用的能力，解题核心是根据循环节的位数选择合适的倍数扩大原数，消去循环部分即可求解，方法规律性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 首先回忆等式的两个基本性质：步骤①到②是给等式两边同时乘10，对应等式两边乘同一个数的变形规则；步骤⑤到⑥是给等式两边同时减x，对应等式两边减同一个式子的变形规则，分别匹配对应的等式性质即可。
(2) 观察$0.\dot{3}\dot{6}$的循环节是2位，参照材料的方法，先设这个循环小数为x，再给等式两边同时乘100，把循环部分移到整数位，再将右侧的循环小数替换为x，得到一元一次方程后求解，最后约分得到最简分数即可。
【解析】
(1) 从步骤①到步骤②，是给等式两边同时乘10，变形依据是等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；
从步骤⑤到步骤⑥，是给等式两边同时减x，变形依据是等式的基本性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。
(2) 设$0.\dot{3}\dot{6}=x$，
根据等式的基本性质2，两边同时乘100，得$100x=100×0.\dot{3}\dot{6}$，
即$100x=36.\dot{3}\dot{6}$，
因为$36.\dot{3}\dot{6}=36+0.\dot{3}\dot{6}$，代入$0.\dot{3}\dot{6}=x$得$100x=36+x$，
根据等式的基本性质1，两边同时减x，得$99x=36$，
两边同时除以99，得$x=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}$。
【答案】
(1) 等式的基本性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等；等式的基本性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等
(2) $\frac{4}{11}$
【知识点】
等式的基本性质，解一元一次方程，无限循环小数化分数
【点评】
本题以阅读探究的形式出题，既考查了对等式基本性质的理解辨析，也考查了知识迁移应用的能力，解题核心是根据循环节的位数选择合适的倍数扩大原数，消去循环部分即可求解，方法规律性较强。
【难度系数】
0.7
10. 定义:如果两个一元一次方程的解之和为1,我们就称这两个方程为“美好方程”.例如:方程$4x=8$和$x+1=0$为“美好方程”.
(1) 若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,求$m$的值;
(2) 若“美好方程”的两个方程解的差为8,其中一个解为$n$,求$n$的值.
(1) 若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,求$m$的值;
(2) 若“美好方程”的两个方程解的差为8,其中一个解为$n$,求$n$的值.
答案
10.(1) 由条件可知$x=-\frac{m}{3}$.$\because4x-2=x+10$,$\therefore x=4$.$\because$关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,$\therefore-\frac{m}{3}+4=1$,解得$m=9$. (2) 由条件可知另一个方程的解为$1-n$.又$\because$两个方程解的差为8,$\therefore n-(1-n)=8$或$1-n-n=8$,$\therefore n=\frac{9}{2}$或$n=-\frac{7}{2}$.
解析
【分析】
本题首先要准确理解“美好方程”的定义：两个一元一次方程的解之和为1。(1)解题时先分别求出两个方程的解，其中方程$3x+m=0$的解用含$m$的代数式表示，方程$4x-2=x+10$直接求解，再根据两个解的和为1列关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值；(2)已知其中一个解为$n$，根据“美好方程”的定义可得另一个解为$1-n$，再结合两个解的差为8，注意差有两种情况（$n$减去另一个解为8，或另一个解减去$n$为8），分两种情况列方程求解即可得到$n$的值，注意不要漏解。
【解析】
(1) 解方程$4x-2=x+10$：
移项，得$4x - x = 10 + 2$
合并同类项，得$3x = 12$
系数化为1，得$x = 4$
解方程$3x + m = 0$，得$x = -\frac{m}{3}$
∵ 方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”
∴ 两个解的和为1，即 $-\frac{m}{3} + 4 = 1$
移项，得 $-\frac{m}{3} = 1 - 4 = -3$
两边同乘$-3$，得$m = 9$
(2)
∵ 两个方程是“美好方程”，其中一个解为$n$
∴ 另一个方程的解为$1 - n$
∵ 两个方程的解的差为8
∴ 分两种情况：
① 当$n - (1 - n) = 8$时，
去括号，得$n - 1 + n = 8$
合并同类项，得$2n - 1 = 8$
移项，得$2n = 9$
系数化为1，得$n = \frac{9}{2}$
② 当$(1 - n) - n = 8$时，
去括号，得$1 - 2n = 8$
移项，得$-2n = 7$
系数化为1，得$n = -\frac{7}{2}$
综上，$n$的值为$\frac{9}{2}$或$-\frac{7}{2}$
【答案】
(1) $m=9$；(2) $n=\frac{9}{2}$或$n=-\frac{7}{2}$
【知识点】
解一元一次方程；新定义问题；分类讨论思想
【点评】
本题以新定义“美好方程”为载体，考查一元一次方程的解法及应用，解题的核心是准确理解新定义的含义，第二问要注意两个解的差没有指定顺序，需要分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题首先要准确理解“美好方程”的定义：两个一元一次方程的解之和为1。(1)解题时先分别求出两个方程的解，其中方程$3x+m=0$的解用含$m$的代数式表示，方程$4x-2=x+10$直接求解，再根据两个解的和为1列关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值；(2)已知其中一个解为$n$，根据“美好方程”的定义可得另一个解为$1-n$，再结合两个解的差为8，注意差有两种情况（$n$减去另一个解为8，或另一个解减去$n$为8），分两种情况列方程求解即可得到$n$的值，注意不要漏解。
【解析】
(1) 解方程$4x-2=x+10$：
移项，得$4x - x = 10 + 2$
合并同类项，得$3x = 12$
系数化为1，得$x = 4$
解方程$3x + m = 0$，得$x = -\frac{m}{3}$
∵ 方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”
∴ 两个解的和为1，即 $-\frac{m}{3} + 4 = 1$
移项，得 $-\frac{m}{3} = 1 - 4 = -3$
两边同乘$-3$，得$m = 9$
(2)
∵ 两个方程是“美好方程”，其中一个解为$n$
∴ 另一个方程的解为$1 - n$
∵ 两个方程的解的差为8
∴ 分两种情况：
① 当$n - (1 - n) = 8$时，
去括号，得$n - 1 + n = 8$
合并同类项，得$2n - 1 = 8$
移项，得$2n = 9$
系数化为1，得$n = \frac{9}{2}$
② 当$(1 - n) - n = 8$时，
去括号，得$1 - 2n = 8$
移项，得$-2n = 7$
系数化为1，得$n = -\frac{7}{2}$
综上，$n$的值为$\frac{9}{2}$或$-\frac{7}{2}$
【答案】
(1) $m=9$；(2) $n=\frac{9}{2}$或$n=-\frac{7}{2}$
【知识点】
解一元一次方程；新定义问题；分类讨论思想
【点评】
本题以新定义“美好方程”为载体，考查一元一次方程的解法及应用，解题的核心是准确理解新定义的含义，第二问要注意两个解的差没有指定顺序，需要分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
