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10. 根据条件求 $ x $ 的值：
（1）$ 2x - 1 $ 与 $ 3x + 1 $ 的和为 10；
（2）代数式 $ -x + 4 $ 比 $ 5x $ 多 2；
（3）$ 5x + \frac{1}{4} $ 与 $ 5x - \frac{5}{4} $ 互为相反数；
（4）$ 3x - 1 $ 与 2 互为倒数。
（1）$ 2x - 1 $ 与 $ 3x + 1 $ 的和为 10；
（2）代数式 $ -x + 4 $ 比 $ 5x $ 多 2；
（3）$ 5x + \frac{1}{4} $ 与 $ 5x - \frac{5}{4} $ 互为相反数；
（4）$ 3x - 1 $ 与 2 互为倒数。
答案
10.(1)$x=2$ (2)$x=\frac{1}{3}$ (3)$x=\frac{1}{10}$ (4)$x=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时先把每个小问的文字描述转化为对应的数学等式：①两式和为10，即两式相加等于10；②一个代数式比另一个多2，即前者减后者等于2；③互为相反数的两个数和为0；④互为倒数的两个数乘积为1。列出一元一次方程后，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
【解析】
（1）根据题意列方程：
$\begin{aligned}(2x - 1)+(3x + 1)&=10\\5x&=10\\x&=2\end{aligned}$
（2）根据题意列方程：
$\begin{aligned}(-x + 4)-5x&=2\\-6x + 4&=2\\-6x&=-2\\x&=\frac{1}{3}\end{aligned}$
（3）根据互为相反数的两数和为0，列方程：
$\begin{aligned}(5x+\frac{1}{4})+(5x-\frac{5}{4})&=0\\10x - 1&=0\\10x&=1\\x&=\frac{1}{10}\end{aligned}$
（4）根据互为倒数的两数乘积为1，列方程：
$\begin{aligned}2(3x - 1)&=1\\6x - 2&=1\\6x&=3\\x&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
10.(1)$x=2$ (2)$x=\frac{1}{3}$ (3)$x=\frac{1}{10}$ (4)$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
列一元一次方程，解一元一次方程，相反数与倒数的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确将文字描述的数量关系转化为数学等式，再按一元一次方程的常规解法求解，熟练掌握相关基本概念和解方程步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先把每个小问的文字描述转化为对应的数学等式：①两式和为10，即两式相加等于10；②一个代数式比另一个多2，即前者减后者等于2；③互为相反数的两个数和为0；④互为倒数的两个数乘积为1。列出一元一次方程后，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可。
【解析】
（1）根据题意列方程：
$\begin{aligned}(2x - 1)+(3x + 1)&=10\\5x&=10\\x&=2\end{aligned}$
（2）根据题意列方程：
$\begin{aligned}(-x + 4)-5x&=2\\-6x + 4&=2\\-6x&=-2\\x&=\frac{1}{3}\end{aligned}$
（3）根据互为相反数的两数和为0，列方程：
$\begin{aligned}(5x+\frac{1}{4})+(5x-\frac{5}{4})&=0\\10x - 1&=0\\10x&=1\\x&=\frac{1}{10}\end{aligned}$
（4）根据互为倒数的两数乘积为1，列方程：
$\begin{aligned}2(3x - 1)&=1\\6x - 2&=1\\6x&=3\\x&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
10.(1)$x=2$ (2)$x=\frac{1}{3}$ (3)$x=\frac{1}{10}$ (4)$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
列一元一次方程，解一元一次方程，相反数与倒数的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确将文字描述的数量关系转化为数学等式，再按一元一次方程的常规解法求解，熟练掌握相关基本概念和解方程步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
1. 若方程$3x+6=12$的解也是方程$6x+3a=24$的解，则$a$的值为（
A.$\frac{1}{4}$
B.$4$
C.$12$
D.$2$
B
）A.$\frac{1}{4}$
B.$4$
C.$12$
D.$2$
答案
1.B
解析
【分析】
本题是同解方程问题，解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$3x+6=12$，得到$x$的取值；第二步利用“两个方程解相同”的性质，把求出的$x$值代入含参数$a$的方程$6x+3a=24$，得到仅关于$a$的一元一次方程，解该方程即可求出$a$的值。
【解析】
首先解方程$3x+6=12$：
移项，得$3x=12-6$
合并同类项，得$3x=6$
系数化为1，得$x=2$
因为$x=2$也是方程$6x+3a=24$的解，将$x=2$代入该方程：
$6×2 + 3a=24$
计算得$12+3a=24$
移项，得$3a=24-12$
合并同类项，得$3a=12$
系数化为1，得$a=4$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，考查同解方程的应用，解题关键是抓住同解的性质，先求出已知方程的解再代入含参方程计算，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题是同解方程问题，解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$3x+6=12$，得到$x$的取值；第二步利用“两个方程解相同”的性质，把求出的$x$值代入含参数$a$的方程$6x+3a=24$，得到仅关于$a$的一元一次方程，解该方程即可求出$a$的值。
【解析】
首先解方程$3x+6=12$：
移项，得$3x=12-6$
合并同类项，得$3x=6$
系数化为1，得$x=2$
因为$x=2$也是方程$6x+3a=24$的解，将$x=2$代入该方程：
$6×2 + 3a=24$
计算得$12+3a=24$
移项，得$3a=24-12$
合并同类项，得$3a=12$
系数化为1，得$a=4$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，考查同解方程的应用，解题关键是抓住同解的性质，先求出已知方程的解再代入含参方程计算，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2. 对于任意四个有理数$a,b,c,d$,定义了一种新运算：$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$.若$\begin{vmatrix} 2 & 3x \\ 1 & x \end{vmatrix}=6$,则$x$的值为（ ）
A.2
B.3
C.6
D.$-6$
A.2
B.3
C.6
D.$-6$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先要读懂题目给出的新运算规则，明确二阶行列式的计算方法是“左上角元素乘右下角元素，减去右上角元素乘左下角元素”。接下来将题目中行列式对应的数值和含x的项代入新运算公式，就能得到关于x的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算即可求出x的值。
【解析】
根据新运算规定$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$，对照$\begin{vmatrix} 2 & 3x \\ 1 & x \end{vmatrix}$可得：$a=2,b=1,c=3x,d=x$，代入规则列方程：
$2× x - 1× 3x = 6$
化简方程左边：
$2x - 3x = 6$
合并同类项：
$-x = 6$
系数化为1得：
$x = -6$
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、解一元一次方程
【点评】
本题考查对新运算规则的理解应用和一元一次方程的解法，解题关键是准确将行列式按新定义转化为常规方程，只要认真对应运算位置、细心计算就不容易出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂题目给出的新运算规则，明确二阶行列式的计算方法是“左上角元素乘右下角元素，减去右上角元素乘左下角元素”。接下来将题目中行列式对应的数值和含x的项代入新运算公式，就能得到关于x的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算即可求出x的值。
【解析】
根据新运算规定$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$，对照$\begin{vmatrix} 2 & 3x \\ 1 & x \end{vmatrix}$可得：$a=2,b=1,c=3x,d=x$，代入规则列方程：
$2× x - 1× 3x = 6$
化简方程左边：
$2x - 3x = 6$
合并同类项：
$-x = 6$
系数化为1得：
$x = -6$
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、解一元一次方程
【点评】
本题考查对新运算规则的理解应用和一元一次方程的解法，解题关键是准确将行列式按新定义转化为常规方程，只要认真对应运算位置、细心计算就不容易出错。
【难度系数】
0.7
3. 重阳节前夕，某校七年级(2)班45名同学到敬老院进行文艺演出，项目有独唱、合唱和诗朗诵，要求每人只能参加一项.已知合唱人数是独唱人数的3倍，诗朗诵人数比合唱人数少4人，则参加独唱的有
$7$
人.答案
3.$7$
解析
【分析】
这是一道和差倍分类的一元一次方程应用题，解题时先直接设未知量：设参加独唱的有x人，再根据题目给出的倍数、差量关系，分别用含x的式子表示出合唱人数和诗朗诵人数，最后根据“总人数=独唱人数+合唱人数+诗朗诵人数”的等量关系列方程，求解即可得到结果。
【解析】
解：设参加独唱的有x人。
由题意得，合唱人数是独唱人数的3倍，因此合唱人数为3x人；
诗朗诵人数比合唱人数少4人，因此诗朗诵人数为(3x-4)人。
已知全班共45人且每人仅参加一项，可列方程：
$x + 3x + (3x - 4) = 45$
合并同类项，得：$7x - 4 = 45$
移项，得：$7x = 45 + 4$
计算得：$7x = 49$
系数化为1，得：$x = 7$
经检验，x=7符合题意。
【答案】
7
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 解一元一次方程
3. 和差倍分问题
【点评】
本题属于基础类方程应用题，解题关键是找准题目中的数量关系，合理设未知数后用含未知数的式子表示各相关量，再根据总人数的等量关系列方程求解，计算时注意移项要变号即可。
【难度系数】
0.8
这是一道和差倍分类的一元一次方程应用题，解题时先直接设未知量：设参加独唱的有x人，再根据题目给出的倍数、差量关系，分别用含x的式子表示出合唱人数和诗朗诵人数，最后根据“总人数=独唱人数+合唱人数+诗朗诵人数”的等量关系列方程，求解即可得到结果。
【解析】
解：设参加独唱的有x人。
由题意得，合唱人数是独唱人数的3倍，因此合唱人数为3x人；
诗朗诵人数比合唱人数少4人，因此诗朗诵人数为(3x-4)人。
已知全班共45人且每人仅参加一项，可列方程：
$x + 3x + (3x - 4) = 45$
合并同类项，得：$7x - 4 = 45$
移项，得：$7x = 45 + 4$
计算得：$7x = 49$
系数化为1，得：$x = 7$
经检验，x=7符合题意。
【答案】
7
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 解一元一次方程
3. 和差倍分问题
【点评】
本题属于基础类方程应用题，解题关键是找准题目中的数量关系，合理设未知数后用含未知数的式子表示各相关量，再根据总人数的等量关系列方程求解，计算时注意移项要变号即可。
【难度系数】
0.8
