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22. 情境 中华优秀传统文化「★☆」(10分)江山无限景,都在一亭中.如图
,八角亭是典型的中国建筑,其结构稳固、匀称,有利于减弱风力、抵御地震.将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形.先将正方形ABCD和正方形EFGH完全重合,再将正方形EFGH绕其中心旋转一定的角度,就得到了正八边形IJKLMNOP,如图,这种构造正八边形的方法称为“四转八”法.
(1)旋转的角度最小为
(2)若正八边形IJKLMNOP的边长为2,求正方形ABCD的边长.
(3)连接AC,则AC与AO之间有怎样的数量关系?请说明理由.
,八角亭是典型的中国建筑,其结构稳固、匀称,有利于减弱风力、抵御地震.将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形.先将正方形ABCD和正方形EFGH完全重合,再将正方形EFGH绕其中心旋转一定的角度,就得到了正八边形IJKLMNOP,如图,这种构造正八边形的方法称为“四转八”法.(1)旋转的角度最小为
$45°$
.(2)若正八边形IJKLMNOP的边长为2,求正方形ABCD的边长.
(3)连接AC,则AC与AO之间有怎样的数量关系?请说明理由.
答案
22.解析 (1)$45°$.
(2)
∵ 正八边形 $IJKLMNOP$ 的边长为 2,
∴ $ON=OP=PI=2$,$\∠ DON = \∠ DNO=360°\÷8=45°$,
∴ $\△ DON$ 为等腰直角三角形,
∴ $OD=DN=\sqrt{2}$,同理,$AP=\sqrt{2}$,
∴ $AD=AP+OP+OD=\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+2$,
∴ 正方形 $ABCD$ 的边长为 $2\sqrt{2}+2$.
(3)$AC=2AO$.理由如下:由(2)知 $AP = OD = \frac{\sqrt{2}}{2}ON = \frac{\sqrt{2}}{2}OP$,
∴ $AO = AP + OP = $1+\frac{\sqrt{2}}{2}$OP$,$AD=AP+OP+OD=(1+\sqrt{2})OP$,
∵ 四边形 $ABCD$ 为正方形,
∴ $AC=\sqrt{2}AD=(2+\sqrt{2})OP$,
∵ $2$1+\frac{\sqrt{2}}{2}$=2+\sqrt{2}$,
∴ $AC=2AO$.
(2)
∵ 正八边形 $IJKLMNOP$ 的边长为 2,
∴ $ON=OP=PI=2$,$\∠ DON = \∠ DNO=360°\÷8=45°$,
∴ $\△ DON$ 为等腰直角三角形,
∴ $OD=DN=\sqrt{2}$,同理,$AP=\sqrt{2}$,
∴ $AD=AP+OP+OD=\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+2$,
∴ 正方形 $ABCD$ 的边长为 $2\sqrt{2}+2$.
(3)$AC=2AO$.理由如下:由(2)知 $AP = OD = \frac{\sqrt{2}}{2}ON = \frac{\sqrt{2}}{2}OP$,
∴ $AO = AP + OP = $1+\frac{\sqrt{2}}{2}$OP$,$AD=AP+OP+OD=(1+\sqrt{2})OP$,
∵ 四边形 $ABCD$ 为正方形,
∴ $AC=\sqrt{2}AD=(2+\sqrt{2})OP$,
∵ $2$1+\frac{\sqrt{2}}{2}$=2+\sqrt{2}$,
∴ $AC=2AO$.
