三、解答题（共66分）
19. 聚焦中考 尺规作图「2025福建龙岩一模，★☆」（10分）如图，AB是⊙O的弦，P是AB延长线上一点.
（1）过点P作⊙O的切线PC，切点C在直线AB的下方.（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AC，BC.求证：∠PCB=∠BAC.

19.解析 （1）如图所示,$PC$ 即为所求.
(2)证明:如图,连接 $OB,OC$,
∵ $PC$ 是 $\odot O$ 的切线,
∴ $\∠ OCP=90°$,
∴ $\∠ OCB=90°-\∠ PCB$.
∵ $OB=OC$,
∴ $\∠ OCB=\∠ OBC$,
∴ $\∠ BOC=180°-\∠ OCB-\∠ OBC=2\∠ PCB$,
∴ $\∠ BAC=\frac{1}{2}\∠ BOC=\∠ PCB$.

20.「2026江苏无锡锡山月考，★☆」（10分）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$D$为$AB$上的一点，以$BD$为直径的半圆与$BC$交于点$F$，且$AC$切半圆$O$于点$E$。
(1)求证：$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}$。
(2)若$∠ A=30°$，$AB=6$，求$CF$的长。

20.解析 (1)证明:如图,连接 $OE,OF$,
∵ $AC$ 切半圆 $O$ 于点 $E$,
∴ $\∠ OEA=90°$,
∵ $\∠ ACB=90°$,
∴ $\∠ OEA=\∠ ACB$,
∴ $OE \// BC$.
∴ $\∠ EOA=\∠ CBA$,$\∠ EOF=\∠ OFB$.
∵ $OB=OF$,
∴ $\∠ OFB=\∠ CBA$.
∴ $\∠ EOD=\∠ EOF$,
∴ $\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}$.
(2)如图,连接 $DE$,
∵ $\∠ A=30°$,
∴ $\∠ OBF=\∠ EOD=60°$,
∵ $OE=OD=OF=OB$,
∴ $\△ DOE,\△ BOF$ 均为等边三角形,
∴ $\∠ EDO=60°$,$DE=DO=BF=OB$,
∴ $\∠ DEA=\∠ EDO-\∠ A=30°=\∠ A$,
∴ $AD=DE=DO=OB=BF=\frac{1}{3}AB=2$,
∵ $\∠ A=30°$,$\∠ ACB=90°$,$AB=6$,
∴ $BC=\frac{1}{2}AB=3$,
∴ $CF=BC-BF=1$.

21.「2025江苏南京中考，★★☆」(10分)如图，点O是$□ ABCD$(中心对称图形)的对称中心，BC与$\odot O$相切于点E.
(1)求证:直线AD是$\odot O$的切线.

选择其中一位同学的想法，完成证明.
(2)当AB与$\odot O$相切时，$□ ABCD$是菱形吗？说明理由.

21.解析 (1)证明:如图 1,连接 $BD,OE$,延长 $EO$ 交 $AD$ 于点 $F$,
∵ 点 $O$ 是 $\□ ABCD$ 的对称中心,
∴ $BD$ 过点 $O$,$OB=OD$,
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
∴ $AD \// BC$,
∴ $\∠ ODF = \∠ OBE$,$\∠ DFO = \∠ BEO$,
∴ $\△ DOF \≌ \△ BOE(\mathrm{AAS})$,
∴ $OF=OE$,
∵ $BC$ 与 $\odot O$ 相切,
∴ $OE ⊥ BC$,
∴ $OF ⊥ AD$,
∴ 直线 $AD$ 是 $\odot O$ 的切线.答案不唯一,也可选择另一位同学的想法进行证明.
(2)$\□ ABCD$ 是菱形.理由如下:如图 2,设 $AB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $H$,连接 $OH,OE,BD$,则 $OH ⊥ AB$,
∵ 点 $O$ 是 $\□ ABCD$ 的对称中心,
∴ $BD$ 过点 $O$,
∵ $BC$ 与 $\odot O$ 相切,
∴ $OE ⊥ BC$,
∵ $OH=OE$,
∴ $BD$ 平分 $\∠ ABC$,
∴ $\∠ ABD = \∠ CBD$,
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,
∴ $AD \// BC$,
∴ $\∠ CBD = \∠ ADB$,
∴ $\∠ ABD = \∠ ADB$,
∴ $AB=AD$,
∴ $\□ ABCD$ 是菱形.