23.「2026四川自贡期末，★★☆」(12分)如图，AB是$\odot O$的直径，$△ ABC$内接于$\odot O$，点I为$△ ABC$的内心，连接CI并延长，交$\odot O$于点D，E是$\overset{\frown}{BC}$上任意一点，连接AD，BD，BE，CE.
(1)若$∠ CEB=118°$，求$∠ ABC$的度数.
(2)求证：$DI=AD$.
(3)若$BD=\frac{13\sqrt{2}}{2}$，$DC=\frac{17\sqrt{2}}{2}$，求$△ ABC$的周长.

23.解析 (1)由圆内接四边形的性质可知 $\∠ BAC+\∠ CEB = 180°$,
∵ $\∠ CEB=118°$,
∴ $\∠ BAC=180°-\∠ CEB=62°$,
∵ $AB$ 是 $\odot O$ 的直径,
∴ $\∠ ACB=90°$,
∴ $\∠ ABC=180°-\∠ ACB-\∠ BAC=180°-90°-62°=28°$.
(2)证明:如图,连接 $AI$.
∵ 点 $I$ 为 $\△ ABC$ 的内心,
∴ $AI$ 平分 $\∠ BAC$,$CD$ 平分 $\∠ ACB$,
∴ $\∠ BAI = \∠ CAI$,$\∠ ACD = \∠ BCD$.
∵ $\∠ BCD = \∠ BAD$,
∴ $\∠ ACD = \∠ BAD$.
∵ $\∠ AID = \∠ ACD + \∠ CAI$,$\∠ DAI = \∠ BAD+\∠ BAI$,
∴ $\∠ AID = \∠ DAI$,
∴ $DI=AD$.
(3)如图,过点 $D$ 作 $DH ⊥ BC$,垂足为 $H$.由(2)得 $CD$ 平分 $\∠ ACB$,
∴ $\∠ BCD=\frac{1}{2}\∠ ACB$,
∵ $AB$ 是 $\odot O$ 的直径,
∴ $\∠ ACB = \∠ ADB=90°$,
∴ $\∠ BCD = \∠ BAD=45°$,
∴ $\△ ABD$ 是等腰直角三角形,
∴ $AD=BD=\frac{13\sqrt{2}}{2}$,在 $Rt\△ ABD$ 中,$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=13$,
∵ $DH ⊥ BC$,
∴ $\△ CDH$ 是等腰直角三角形,
∴ $CH=DH$,
∴ $CD=\sqrt{CH^2+DH^2}=\sqrt{2}DH$.
∴ $CH=DH=\frac{\sqrt{2}}{2}CD=\frac{17}{2}$,在 $Rt\△ BDH$ 中,$BH=\sqrt{BD^2-DH^2}=\frac{7}{2}$,
∴ $BC=CH+BH=12$,在 $Rt\△ ABC$ 中,$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=5$,
∴ $\△ ABC$ 的周长为 $AB+BC+AC=13+12+5=30$.

24.「2026江苏连云港月考，★★★」(14分)【问题情境】如图，矩形ABCD中，作∠EAF=45°，分别交BC边于点E，交CD边于点F，作△AEF的外接圆⊙O.
【特殊体会】当∠BAE=15°时，如图1，DF与AF之间的数量关系是.
【初步探究】当⊙O经过点D时，如图2，试探究AB，CF，AD之间的数量关系，并加以证明.
【深入探究】当⊙O与BC相切时，如图3，解决下列问题.
(1)判断⊙O与CD的位置关系，并说明理由.
(2)若BE=5，DF=3，求EF的长(直接写出结果).

24.解析 【特殊体会】$DF=\frac{1}{2}AF$.
详解:
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
∴ $\∠ BAD=90°$,
∵ $\∠ EAF=45°$,$\∠ BAE=15°$,
∴ $\∠ FAD=90°-45°-15°=30°$,
∴ $DF=\frac{1}{2}AF$.
【初步探究】$AB+CF=AD$.
证明:
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
∴ $\∠ ABC=\∠ BCD=\∠ CDA=90°$,$AD=BC$,
∵ 四边形 $AEFD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形,
∴ $\∠ AEF+\∠ ADF=180°$,
∴ $\∠ AEF=90°$.
∵ $\∠ EAF=45°$,
∴ $\∠ AFE=45°=\∠ EAF$,
∴ $AE=EF$.
∵ $\∠ BAE+\∠ AEB=90°$,$\∠ CEF+\∠ AEB=90°$,
∴ $\∠ BAE=\∠ CEF$,
∴ $\△ ABE \≌ \△ ECF(\mathrm{AAS})$.
∴ $AB=EC$,$BE=CF$.
∵ $CE+BE=BC$,
∴ $AB+CF=AD$.
【深入探究】(1)$CD$ 与 $\odot O$ 相切.
理由:如图,连接 $OE,OF$.
∵ $\∠ EAF=45°$,
∴ $\∠ EOF=2\×45°=90°$.
∵ $BC$ 与 $\odot O$ 相切,
∴ $OE ⊥ BC$,
∴ $\∠ OEC=90°$,
∵ $\∠ ECF=90°$,
∴ 四边形 $OECF$ 是矩形,
∴ $\∠ OFC=90°$,
∴ $OF ⊥ CD$.
∵ $OF$ 是 $\odot O$ 的半径,
∴ $CD$ 与 $\odot O$ 相切.
(2)$EF=2\sqrt{17}$.
详解:如图,延长 $FO$ 交 $AB$ 于点 $G$,连接 $OA$,
∵ $\∠ OFD=\∠ BAD=\∠ D=90°$,$\∠ EOG=\∠ B=\∠ BEO=90°$,
∴ 四边形 $ADFG$ 和四边形 $BEOG$ 都是矩形,
∴ $\∠ AGO=90°$,$AG=DF=3$,$OG=BE=5$,
∴ $OA=\sqrt{AG^2+OG^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$,
∴ $OE=OF=OA=\sqrt{34}$,
∴ $EF=\sqrt{OF^2+OE^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2+(\sqrt{34})^2}=2\sqrt{17}$.