登录
11.「2026江苏苏州工业园月考，★☆」圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是
2
.答案
11.答案 2
解析 $\because$ 圆外一点到圆上的点的最大距离是10,最小距离是6,$\therefore$ 该圆的直径是$10-6=4$,$\therefore$ 该圆的半径是2.
解析 $\because$ 圆外一点到圆上的点的最大距离是10,最小距离是6,$\therefore$ 该圆的直径是$10-6=4$,$\therefore$ 该圆的半径是2.
12. 学科特色
教材变式
「2026湖南长沙开福月考，★☆」如图，AB，AC是$\odot O$内两条互相垂直的弦，$OD ⊥ AB$于点D，$OE ⊥ AC$于点E，连接DE。若$AB=6$，$AC=8$，则DE的长为
教材变式
「2026湖南长沙开福月考，★☆」如图，AB，AC是$\odot O$内两条互相垂直的弦，$OD ⊥ AB$于点D，$OE ⊥ AC$于点E，连接DE。若$AB=6$，$AC=8$，则DE的长为
5
。答案
12.答案 5
解析 $\because OD ⊥ AB,AB=6, \therefore AD=\frac{1}{2} AB=3, \because OE ⊥ AC,AC=8, \therefore AE=\frac{1}{2} AC=4, \because AB ⊥ AC, \therefore DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
解析 $\because OD ⊥ AB,AB=6, \therefore AD=\frac{1}{2} AB=3, \because OE ⊥ AC,AC=8, \therefore AE=\frac{1}{2} AC=4, \because AB ⊥ AC, \therefore DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
13.「2026江苏扬州邗江梅苑双语学校月考，★☆」若过平面直角坐标系中的三个点$A(1,0),B(0,2),C(-m,m^2 -6)$能确定一个圆，则$m ≠$
4,-2
.答案
13.答案 4,−2
解析 设直线AB的解析式为$y=kx+b(k ≠ 0)$,把$(1,0),(0,2)$代入,得$\begin{cases}k+b=0,\\b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=2,\end{cases}$ $\therefore y=-2x+2$,把$(-m,m^2-6)$代入,得$2m+2=m^2-6$,解得$m_1=4,m_2=-2$,$\therefore$ 当$m ≠ 4,-2$时,A,B,C三点能确定一个圆.
解析 设直线AB的解析式为$y=kx+b(k ≠ 0)$,把$(1,0),(0,2)$代入,得$\begin{cases}k+b=0,\\b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=2,\end{cases}$ $\therefore y=-2x+2$,把$(-m,m^2-6)$代入,得$2m+2=m^2-6$,解得$m_1=4,m_2=-2$,$\therefore$ 当$m ≠ 4,-2$时,A,B,C三点能确定一个圆.
14.「2026浙江宁波慈溪期中，★★☆」如图，在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中，$AB=AD$，$∠ C=110°$，点$E$在$\overset{\frown}{AB}$上，则$∠ E=$
125
°。答案
14.答案 125
解析 如图,连接BD,$\because$ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,$∠ C=110°, \therefore ∠ BAD=180°-110°=70°, \because AB=AD, \therefore ∠ ABD=∠ ADB=\frac{1}{2} ×(180°-70°)=55°, \because$ 四边形AEBD为$\odot O$的内接四边形, $\therefore ∠ E+∠ ADB=180°, \therefore ∠ E=180°-55°=125°$.
15.「2026河南商丘期中，★★☆」如图，AB是半圆O的直径，将AB绕点A逆时针旋转$30°$得到线段AC，若$AB=4$，则图中阴影部分的面积是
$\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$
。答案
15.答案 $\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$
解析 如图,设AC交半圆O于点D,过点D作$DE ⊥ AB$于点E,连接DO,则$OD=OB=OA=\frac{1}{2} AB=2$,由旋转的性质可知$∠ BAC=30°, \therefore ∠ BOD=2∠ BAC=60°, \therefore ∠ ODE=90°-∠ BOD=30°, \therefore OE=\frac{1}{2} OD=1, \therefore DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{3}, \therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}BAC}-S_{\mathrm{扇形}BOD}-S_{△ AOD}= \frac{30π × 4^2}{360} - \frac{60π × 2^2}{360} - \frac{1}{2} × 2 × \sqrt{3} = \frac{2π}{3}-\sqrt{3}$.
16.「2026江苏无锡梁溪月考，★★☆」如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=4$，点$P$是$AB$边上的一个动点，以$BP$为直径的圆交$CP$于点$Q$，若线段$AQ$长度的最小值是2，则$△ ABC$的面积为
第16题图 第17题图
12
。第16题图 第17题图
答案
16.答案 12
解析 如图,连接BQ,取BC边的中点T,连接AT,QT,设以BP为直径的圆为$\odot O$,$\because BP$是$\odot O$的直径, $\therefore ∠ PQB=90°, \therefore ∠ BQC=90°, \therefore QT=BT=CT=\frac{1}{2} BC, \therefore QT$为定值,$\because AT$为定值,$AQ ≥ AT-QT, \therefore$ 当A,Q,T三点共线时,AQ最短,此时设$QT=BT=CT=x$,则$AT=AQ+QT=x+2$,由勾股定理可知$AB^2+BT^2=AT^2, \therefore 4^2+x^2=(x+2)^2$,解得$x=3, \therefore BC=2BT=6, \because ∠ ABC=90°, \therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2} AB · BC=\frac{1}{2} × 4 × 6=12$.
17.「2026重庆江津期中，★★☆」如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，弦BD交AC于点E，$AE=DE$，$BC=CE$，过点O作$OF⊥ AC$于点F，延长FO交BE于点G，若$DE=6$，$EG=4$，则EF的长为________，AB的长为________。
答案
17.答案 2;14
解析 如图,连接CD,$\because ∠ A=∠ D,AE=ED,∠ AEB=∠ DEC, \therefore △ AEB≌△ DEC(\mathrm{ASA}), \therefore EB=EC, \because BC=CE, \therefore BE=CE=BC, \therefore △ EBC$为等边三角形, $\therefore ∠ ACB=∠ BEC=60°$,过B点作$BM ⊥ AC$于点M,$\because OF ⊥ AC, \therefore AF=CF,∠ EGF=30°, \therefore EF=\frac{1}{2} EG=2, \because AE=ED=6, \therefore CF=AF=8, \therefore AC=16,EC=10, \therefore BC=10, \because ∠ BCM=60°, \therefore ∠ MBC=30°, \therefore CM=\frac{1}{2} BC=5, \therefore BM=\sqrt{BC^2-CM^2}=5\sqrt{3},AM=AC-CM=11, \therefore AB=\sqrt{AM^2+(BM)^2}=\sqrt{11^2+(5\sqrt{3})^2}=14$.
