6.「★★☆」如图，AB是$\odot O$的弦，$AB=8\sqrt{3}$，点C是$\odot O$上的一个动点，且$∠ ACB=60°$，若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是（）

A.$4\sqrt{3}$
B.$8$
C.$8\sqrt{3}$
D.$16$

6.B $\because M,N$分别是AB,BC的中点, $\therefore MN=\frac{1}{2} AC$,当AC为$\odot O$的直径时,AC的长度最大,所以MN的长度也最大,此时$△ ACB$是直角三角形, $∠ ABC = 90°, \because ∠ ACB = 60°, \therefore ∠ BAC=30°, \therefore BC = \frac{1}{2} AC, \because AC^2 = AB^2 + BC^2, AB = 8\sqrt{3}, \therefore AC=16$(舍负), $\therefore MN=8, \therefore MN$长的最大值为8.故选B.

7.「2026内蒙古乌兰察布期中，★★☆」如图所示的是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线l对称，直线$l ⊥ CD$于点O，O为CD的中点，测得直径CD为8 cm，$∠ AOC=30°$，则提梁$\overset{\frown}{AB}$的长为（）

A.$\frac{2}{3}π$ cm
B.$\frac{4}{3}π$ cm
C.$2π$ cm
D.$\frac{8}{3}π$ cm

7.D 设直线l与提梁$\overset{\frown}{AB}$交于点E(图略),$\because$ 隔热布两端点A与点B关于直线l对称,直线$l ⊥ CD, \therefore ∠ AOE = ∠ BOE, ∠ COE = 90°, \because ∠ AOC = 30°, \therefore ∠ AOE = 90°-30° = 60°, \therefore ∠ AOB = ∠ AOE+∠ BOE = 120°, \because O$为CD的中点,直径CD为8 cm, $\therefore OE=4 \mathrm{ cm}, \therefore \overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{120π × 4}{180} = \frac{8}{3}π (\mathrm{cm})$.故选D.

8.「2026重庆复旦中学月考，★☆」如图,在半径为3的$\odot O$中,AB是直径,AC是弦,D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则AC的长是（）

A.$3\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{6}$

8.B 如图,连接OC,OD,设OD交AC于点F,$\because D$是弧AC的中点, $\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}, \therefore ∠ AOD=∠ COD, \because OA=OC, \therefore OF ⊥ AC, \therefore AF=CF, \because OA=OB, \therefore OF$是$△ ABC$的中位线, $\therefore OF=\frac{1}{2} BC, \because AB$是直径, $\therefore ∠ ACB=90°=∠ EFD, \because E$是BD的中点, $\therefore DE = BE$,在$△ EFD$ 和 $△ ECB$ 中, $\begin{cases}∠ EFD=∠ ECB,\\∠ DEF=∠ BEC,\\DE=BE,\end{cases}$ $\therefore △ EFD≌△ ECB(\mathrm{AAS}), \therefore BC=DF, \therefore OF=\frac{1}{2} DF, \because OD=3, \therefore DF=2,OF=1, \therefore BC=DF=2, \therefore AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$.故选B.

9.「2026山东聊城期中，★★☆」如图，已知A,B,C,D是$\odot O$上逆时针排列的四个点，且满足$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=180°$（即两弧所对圆心角的和为$180°$），设弦$BC=x$，$AD=y$，若$\odot O$的半径为10，则在$x,y$值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（）

A.$x+y$
B.$xy$
C.$x^2+y^2$
D.$\sqrt{x}+\sqrt{y}$

9.C 如图,过点A作$\odot O$的直径AE,过点B作$\odot O$的直径BF,连接DE,CF,$\because \overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=180°, \therefore \overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{BC}=180°, \therefore ∠ E+∠ F=90°, \because AE,BF$是$\odot O$的直径, $\therefore AE=BF=20, ∠ ADE=∠ FCB=90°, \therefore ∠ E+∠ A=90°, \therefore ∠ A=∠ F$,在$△ ADE$ 和$△ FCB$ 中, $\begin{cases}∠ A=∠ F,\\∠ ADE=∠ FCB=90°,\\AE=BF,\end{cases}$ $\therefore △ ADE≌△ FCB(\mathrm{AAS}), \therefore DE=BC=x$,在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理得$DE^2+AD^2=AE^2$,即$x^2+y^2=400, \therefore$ 在$x,y$值的变化过程中,代数式$x^2+y^2$的值不变.故选C.

10.「2025安徽芜湖期末，★★」如图，$\odot O$的直径$AB$的长为4，$AB$垂直平分圆内的线段$CD$，$∠ CAD=60°$，$OC=\sqrt{2}$，以点$O$为圆心，$OC$长为半径画扇形$COD$，
结论正确的是（）

A.$∠ COD=120°$
B.$AD=2\sqrt{3}$
C.阴影部分的面积是$\dfrac{5}{6}π$
D.$\overset{\frown}{CD}$的长是$\dfrac{\sqrt{2}}{2}π$

10.C A.如图,过点O作$OE ⊥ AD$,垂足为E,$\because AB$垂直平分圆内的线段CD, $\therefore AC=AD, ∠ CAB=∠ DAB=30°, OC=OD=\sqrt{2}, \because OE ⊥ AD, \therefore OE=\frac{1}{2} AO, ∠ AOE=90°-30°=60°, \because AB=4, \therefore AO=2, \therefore OE=1, \therefore ED=\sqrt{OD^2-OE^2}=1=OE, \therefore ∠ EOD=∠ EDO=45°, \therefore ∠ DOB=180°-∠ AOE-∠ EOD=180°-60°-45°=75°, \therefore ∠ COD=2∠ DOB=150°$,故此选项错误.B.$\because AO=2,OE=1,OE ⊥ AD, \therefore AE=\sqrt{AO^2-OE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}, \therefore AD=AE+DE=\sqrt{3} + 1$,故此选项错误.C.$\because ∠ COD=150°,OC=OD=\sqrt{2}, \therefore S_{\mathrm{阴影}}= \frac{150π × (\sqrt{2})^2}{360} = \frac{5π}{6}$,故此选项正确.D.$\because ∠ COD=150°,OC=OD=\sqrt{2}, \therefore \overset{\frown}{CD}$的长$=\frac{150π × \sqrt{2}}{180} = \frac{5\sqrt{2}π}{6}$,故此选项错误.故选C.