18.「★★★」如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=-x-2$与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点,$C,D$是半径为1的$\odot O$上的两动点,且$CD=\sqrt{2}$,$P$为弦$CD$的中点.当$C,D$两点在圆上运动时,$△ PAB$面积的最大值是.

18.答案 3
解析 如图,过点O作$OQ ⊥ AB$于点Q,连接OP,OD,OC,$\because CD=\sqrt{2},OC=OD=1, \therefore OC^2+OD^2=CD^2, \therefore △ OCD$为等腰直角三角形,由直线$y=-x-2$与x轴、y轴分别交于A,B两点,得点$A(-2,0),B(0,-2), \therefore OA=OB=2, \therefore △ OAB$为等腰直角三角形, $\therefore AB=2\sqrt{2}, \therefore OQ=\sqrt{2}$,易知当P,O,Q三点共线,且点O在线段PQ上时,$S_{△ ABP}$最大,$\because P$为CD的中点, $\therefore OP=\frac{1}{2} CD=\frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore PQ=OP+OQ=\frac{3\sqrt{2}}{2}, \therefore S_{△ ABP}$的最大值为$\frac{1}{2} AB · PQ=3$.

三、解答题(共66分)
19. 聚焦中考尺规作图「2026河南安阳内黄期中，★☆」(10分)图1是一块钟表残片，图2是其示意简图，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，连接AC.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若AB=12，CD=3，求残片所在圆的半径.

19.解析 (1)如图,作线段AC的垂直平分线,交直线CD于点O,点O即为所求.
(2)如图,连接OA,
$\because CD$垂直平分AB,$\therefore AD=BD=\frac{1}{2} AB=6$.
设$OA=OC=x$,则$DO=OC-CD=x-3$,
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中,由勾股定理得$AO^2=AD^2+DO^2$,
即$x^2=6^2+(x-3)^2$,解得$x=\frac{15}{2}$,
$\therefore$ 残片所在圆的半径为$\frac{15}{2}$.

20.「2026浙江杭州期中，★☆」(10分)如图，$\odot C$经过原点且与两坐标轴分别交于点$A$和点$B$，点$A$的坐标为$(0,4)$，$D$是第一象限内$\odot C$上的一点，且$∠ ODB=60°$。
(1)求$\odot C$的半径。
(2)求圆心$C$的坐标。

20.解析 (1)如图,连接AB,
$\because ∠ AOB$是直角,$\therefore AB$是$\odot C$的直径,
$\because ∠ OAB=∠ ODB=60°, \therefore ∠ OBA=30°$,
$\therefore AB=2OA=8, \therefore \odot C$的半径为4.
(2)如图,过点C作$CE ⊥ OB$于点E,在$\mathrm{Rt}△ OAB$中,由勾股定理得$OB^2+OA^2=AB^2, \therefore OB=4\sqrt{3}$(舍负),
由垂径定理得$OE=BE=\frac{1}{2} OB=2\sqrt{3}$,
$\therefore CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=2, \therefore$ 点C的坐标为$(2\sqrt{3},2)$.