1[2026湖北十堰模拟]下列函数中，自变量$x$的取值范围为$x＞5$的是（）

A.$y=x-5$
B.$y=\dfrac{1}{x-5}$
C.$y=\sqrt{x-5}$
D.$y=\dfrac{1}{\sqrt{x-5}}$

1. D 【解析】A选项，$y=x-5$，自变量$x$的取值范围为全体实数，不符合题意；B选项，$y=\frac{1}{x-5}$，自变量$x$的取值范围为$x≠5$，不符合题意；C选项，$y=\sqrt{x-5}$，自变量$x$的取值范围为$x≥5$，不符合题意；D选项，$y=\frac{1}{\sqrt{x-5}}$，自变量$x$的取值范围为$x＞5$，符合题意.故选D.

2 一次函数$y=3x+b(b≥0)$的图象一定不经过（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

2. D 【解析】
∵一次函数$y=3x+b(b≥0)$，$3＞0$，
∴当$b＞0$时，函数图象经过第一、二、三象限，当$b=0$时，函数图象经过第一、三象限，
∴该函数图象一定不经过第四象限.故选D.

3 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+a^2$与$y=a^2x+a$的图象可能是（）

3. D 【解析】当$x=1$时，两个函数的函数值均为$a+a^2$，即两个函数图象都过点$(1,a+a^2)$.当$a＞0$时，$a^2＞0$，一次函数$y=ax+a^2$的图象经过第一、二、三象限，一次函数$y=a^2x+a$的图象经过第一、二、三象限，都与$y$轴正半轴有交点；当$a＜0$时，$a^2＞0$，一次函数$y=ax+a^2$的图象经过第一、二、四象限，与$y$轴正半轴有交点，一次函数$y=a^2x+a$的图象经过第一、三、四象限，与$y$轴负半轴有交点，故选项D符合题意.故选D.

4 已知一次函数$y=ax+b(a,b$是常数，$a≠0),x$与$y$的部分对应值如表：

下列说法中，正确的是（）

A.图象经过第二、三、四象限
B.函数值$y$随自变量$x$的增大而减小
C.方程$ax+b=0$的解是$x=2$
D.不等式$ax+b＞0$的解集是$x＞-1$

4. D 【解析】由表格中数据画出$y=ax+b$的图象如图，由此可知图象经过第一、二、三象限，
∴选项A错误；函数值$y$随自变量$x$的增大而增大，
∴选项B错误；由$x=-1$时，$y=0$可知方程$ax+b=0$的解是$x=-1$，
∴选项C错误；
∵当$x＞-1$时，$y＞0$，
∴不等式$ax+b＞0$的解集是$x＞-1$，
∴选项D正确.故选D.
：（对应原红框图2）

5[2025江苏南通调研]已知函数$y_1=x,y_2=\frac{1}{3}x+1,y_3=-\frac{4}{5}x+5$的图象如图所示，若无论$x$取何值，$y$总取$y_1,y_2,y_3$中的最小值，则$y$的最大值为（）


A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{37}{17}$
C.$\frac{60}{17}$
D.$\frac{25}{9}$

5. B 【解析】如图，根据函数$y_1=x,y_2=\frac{1}{3}x+1,y_3=-\frac{4}{5}x+5$可求得$A(\frac{3}{2},\frac{3}{2}),B(\frac{25}{9},\frac{25}{9}),C(\frac{60}{17},\frac{37}{17})$.当$x＜\frac{3}{2}$时，$y=y_1$；当$\frac{3}{2}≤x≤\frac{60}{17}$时，$y=y_2$；当$x＞\frac{60}{17}$时，$y=y_3$，所以$y$的最大值为$\frac{37}{17}$.故选B.
：（对应原红框图3）

6 在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点叫作整点,已知直线$y=tx+2t+2(t＞0)$与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且只有四个整点,则$t$的取值范围是 ()

A.$\frac{1}{2} ≤ t ＜ 2$
B.$\frac{1}{2} ＜ t ≤ 1$
C.$1 ＜ t ≤ 2$
D.$\frac{1}{2} ≤ t ≤ 2$且$t≠1$

6. D 【解析】
∵$y=tx+2t+2=t(x+2)+2(t＞0)$，
∴直线$y=tx+2t+2(t＞0)$经过点$(-2,2)$，如图，当直线经过点$(0,3)$时，直线$y=tx+2t+2(t＞0)$与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则$3=2t+2$，解得$t=\frac{1}{2}$；当直线经过点$(0,6)$时，直线$y=tx+2t+2(t＞0)$与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则$6=2t+2$，解得$t=2$；当直线经过点$(0,4)$时，直线$y=tx+2t+2(t＞0)$与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，则$4=2t+2$，解得$t=1$，
∴直线$y=tx+2t+2(t＞0)$与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点时，$t$的取值范围是$\frac{1}{2}≤t≤2$且$t≠1$.故选D.
：（对应原红框图4）

7 已知直线$l_1$与$x$轴交于点$A(-2,0)$，与$y$轴交于正半轴，且直线$l_1$与两坐标轴围成的三角形的面积为4。将直线$l_1$向下平移$m(m＞0)$个单位长度得到直线$l_2$，直线$l_2$交$x$轴于点$B$，若点$A$与点$B$关于$y$轴对称，则$m$的值为（）

A.8
B.7
C.6
D.5

7. A 【解析】如图，根据题意，画出示意图.设直线$l_1$与$y$轴交于点$C$，点$C$的坐标为$(0,n)(n＞0)$.因为点$A$与点$B$关于$y$轴对称，所以点$B$的坐标为$(2,0)$.因为直线$l_1$与两坐标轴围成的三角形的面积为4，点$A(-2,0)$，所以$\frac{1}{2}×|-2|×n=4$，解得$n=4$，所以点$C$的坐标为$(0,4)$.设直线$l_1$的表达式为$y=kx+b$.把$A(-2,0)$，$C(0,4)$代入，得$\begin{cases}-2k+b=0, \\ b=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=2, \\ b=4,\end{cases}$ 所以$y=2x+4$.因为直线$l_2$由直线$l_1$平移得到，所以设直线$l_2$的表达式为$y=2x+b'$.把$B(2,0)$代入，得$2×2+b'=0$，解得$b'=-4$，所以直线$l_2$的表达式为$y=2x-4$，所以点$D$的坐标为$(0,-4)$，所以$m=4-(-4)=8$.故选A.
：（对应原红框图5）

8 如图,已知函数$y=x+1$和$y=ax+3$的图象交于点P,点P的横坐标为1,则关于x,y的方程组$\begin{cases}x-y=-1, \\ax-y=-3\end{cases}$的解是 ______ .

(第8题图)
(第9题图)

8. $\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$ 【解析】把$x=1$代入$y=x+1$，得$y=2$，则函数$y=x+1$和$y=ax+3$的图象交于点$P(1,2)$，所以关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x-y=-1, \\ ax-y=-3\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=1, \\ y=2.\end{cases}$故答案为$\begin{cases}x=1, \\ y=2.\end{cases}$

9 如图,直线 $y=-\dfrac{3}{4}x+5$ 交两坐标轴于点$A,B$,与两坐标轴围成的$△ AOB$向$x$轴正方向平移4个单位长度得到$△ A'O'B'$,边$O'B'$与直线$AB$交于点$E$,则图中阴影部分面积为.

9. 14 【解析】
∵$△ AOB$向$x$轴正方向平移4个单位长度得到$△ A'O'B'$，
∴$S_{△ AOB}=S_{△ A'O'B'}$，$OO'=4$，$∠B'O'A'=∠BOA=90°$，
∴阴影部分面积等于梯形$OBEO'$的面积.对于$y=-\frac{3}{4}x+5$，当$x=0$时，$y=5$，当$x=4$时，$y=-\frac{3}{4}×4+5=2$，
∴$B(0,5)$，$E(4,2)$，
∴$OB=5$，$O'E=2$，
∴$S_{梯形OBEO'}=\frac{1}{2}×(5+2)×4=14$，
∴阴影部分面积等于14.故答案为14.

10 新考向 传统文化 《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. 如图，直线 $ l_1: y = \frac{1}{2}x + 1 $ 与y轴交于点
A，过点A作x轴的平行线交直线 $ l_2: y = x $ 于点 $ O_1 $，过点 $ O_1 $ 作y轴的平行线交直线 $ l_1 $ 于点 $ A_1 $，以此类推，令 $ OA = a_1 $，$ O_1A_1 = a_2 $，…，$ O_{n-1}A_{n-1} = a_n $，若 $ a_1 + a_2 + \dots + a_n ≤ S $ 对任意大于1的整数n恒成立，则S的最小值为.

10. 2 【解析】把$x=0$代入$y=\frac{1}{2}x+1$，得$y=1$，所以$A(0,1)$，所以$OA=a_1=1$；把$y=1$代入$y=x$，得$x=1$，所以$O_1(1,1)$；把$x=1$代入$y=\frac{1}{2}x+1$，得$y=\frac{1}{2}×1+1=\frac{3}{2}$，所以$A_1(1,\frac{3}{2})$，所以$O_1A_1=a_2=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$；把$y=\frac{3}{2}$代入$y=x$，得$x=\frac{3}{2}$，所以$O_2(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$；把$x=\frac{3}{2}$代入$y=\frac{1}{2}x+1$，得$y=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}+1=\frac{7}{4}$，所以$A_2(\frac{3}{2},\frac{7}{4})$，所以$O_2A_2=a_3=\frac{7}{4}-\frac{3}{2}=\frac{1}{4}$；…，所以$O_{n-1}A_{n-1}=a_n=(\frac{1}{2})^{n-1}$.因为$a_1+a_2+…+a_n≤S$对任意大于1的整数$n$恒成立，即$S≥a_1+a_2+…+a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2^{n-1}}$，① 所以$\frac{1}{2}S≥\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2^n}$，② ①-②得$\frac{1}{2}S≥1-\frac{1}{2^n}$，所以$S≥2-\frac{1}{2^{n-1}}$，所以$S$的最小值为2，故答案为2.