三、解答题(共50分)
11[2026上海静安区模拟]已知一次函数$y=ax+3a+1$($a$是常数，$a≠0$).
(1)无论$a$取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点的坐标.
(2)当$2≤x≤4$时，该一次函数的最大值是6，求$a$的值.

11.【解】(1)$(-3,1)$.
∵一次函数$y=ax+3a+1=(x+3)a+1$，当$x=-3$时，$y=1$，
∴无论$a$取何值，该一次函数图象始终过定点$(-3,1)$.
(2)当$a＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴当$x=4$时，最大值为6，则$4a+3a+1=6$，解得$a=\frac{5}{7}$；当$a＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x=2$时，最大值为6，则$2a+3a+1=6$，解得$a=1$（不合题意，舍去）.综上所述，$a=\frac{5}{7}$.

12为了振兴乡村经济,我市某镇鼓励广大农户种植山药,并精加工成甲、乙两种产品,某经销商购进甲、乙两种产品,甲种产品进价为8元/kg;乙种产品的进货总金额y(单位:元)与乙种产品进货量x(单位:kg)之间的关系如图所示.已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg.
(1)求出$0≤ x≤ 2000$和$x＞2000$时,y与x之间的函数关系式.
(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000 kg,并能全部售出.其中乙种产品的进货量不低于1600 kg,且不高于4000 kg,设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元(利润=销售额-成本),请求出w(单位:元)与乙种产品进货量x(单位:kg)之间的函数关系式,并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案.
(3)为回馈广大客户,该经销商决定对两种产品进行让利销售.在(2)中获得最大利润的进货方案下,甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg,全部售出后所获总利润不低于15 000元,求a的最大值.

12.【解】(1)当$0≤x≤2000$时，设$y=k'x$.根据题意可得$2000k'=30000$，解得$k'=15$，
∴$y=15x(0≤x≤2000)$.当$x＞2000$时，设$y=kx+b$.根据题意可得，$\begin{cases}2000k+b=30000, \\ 4000k+b=56000,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=13, \\ b=4000,\end{cases}$
∴$y=13x+4000(x＞2000)$.
∴$y=\begin{cases}15x(0≤x≤2000), \\ 13x+4000(x＞2000).\end{cases}$
(2)根据题意可知，购进甲种产品$(6000-x)$千克，$1600≤x≤4000$.当$1600≤x≤2000$时，$w=(12-8)×(6000-x)+(18-15)·x=-x+24000$.
∵$-1＜0$，
∴当$x=1600$时，$w$的值最大，为$-1600+24000=22400$.当$2000＜x≤4000$时，$w=(12-8)×(6000-x)+18x-(13x+4000)=x+20000$.
∵$1＞0$，
∴当$x=4000$时，$w$的值最大，为$4000+20000=24000$.综上，$w=\begin{cases}-x+24000(1600≤x≤2000), \\ x+20000(2000＜x≤4000).\end{cases}$
∵$24000＞22400$，
∴当购进甲种产品2000千克、乙种产品4000千克时，所获总利润最大.
(3)根据题意可知，降价后所获总利润为$(12-8-a)×(6000-x)+(18-2a)x-(13x+4000)=(1-a)x+20000-6000a$.由(2)知$x=4000$，
∴$(1-a)×4000+20000-6000a≥15000$，解得$a≤0.9$，
∴$a$的最大值为0.9.

13[2025江苏徐州质检]如图(1),直线AB:y=-x+2分别交x轴、y轴于点A,B.直线AC与直线AB关于x轴对称,点D为x轴上一点,E为直线AC上一点(不与A,C重合),BD=DE.(1)求直线AC的函数表达式;(2)如图(2),将“直线AB:y=-x+2”改为“直线AB:y=kx+2(k≠0)”,且∠E=∠ABO+∠ADB,x_E=3,其他条件不变,求k的值.


小菜一碟鸭

13.【解】(1)由直线$AB:y=-x+2$，得$B(0,2)$，$A(2,0)$.
∵直线$AC$与直线$AB$关于$x$轴对称，
∴$C(0,-2)$.设直线$AC$的函数表达式为$y=mx-2(m≠0)$，把点$A(2,0)$代入得$2m-2=0$，
∴$m=1$，
∴直线$AC$的函数表达式为$y=x-2$.
(2)当$y=0$时，$y=kx+2=0$，
∴$x=-\frac{2}{k}$，
∴$A(-\frac{2}{k},0)$.同理可求得$C(0,-2)$，直线$AC$的表达式为$y=-kx-2(k≠0)$.
∵$x_E=3$，
∴$y_E=-3k-2$，
∴$E(3,-3k-2)$.设$∠ABO=α$，$∠ADB=β$.如图，连接$CD$，过点$E$作$EF⊥x$轴于$F$.由对称得$OB=OC$，$∠ACO=∠ABO=α$.
∵$OD⊥BC$，
∴$BD=CD$，
∴$∠ODC=∠ADB=β$.
∵$∠AED=∠ABO+∠ADB$，
∴$∠AED=α+β$.
∵$BD=DE$，
∴$CD=DE$，
∴$∠AED=∠ECD=α+β$.在$Rt△ COD$中，
∵$∠OCD+∠ODC=90°$，
∴$2α+2β=90°$，
∴$α+β=45°$，
∴$∠AED=∠ECD=45°$，
∴$∠CDE=90°$，
∴$∠ODC+∠EDO=∠ODC+∠OCD=90°$，
∴$∠EDO=∠OCD$.
∵$∠EFD=∠COD=90°$，$ED=CD$，
∴$△ EFD≌△ DOC(\mathrm{AAS})$，
∴$DF=OC=2$，
∴$EF=OD=3+2=5$，
∴$E(3,5)$，
∴$-3k-2=5$，
∴$k=-\frac{7}{3}$.
：（对应原红框图6）