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19. 已知$2x - 1 = 3$，求代数式$(x - 3)^2 + 2x(3 + x) - 7$的值。
答案
19.解:由$2x - 1 = 3$,得$x = 2$,又$(x - 3)^2 + 2x(3 + x) - 7 = x^2 - 6x + 9 + 6x + 2x^2 - 7 = 3x^2 + 2$,$\therefore$ 当$x = 2$时,原式$= 3 × 2^2 + 2 = 14$.
解析
【分析】
本题是已知一元一次方程求代数式值的题型，解题思路如下：首先先求解已知的一元一次方程，得到x的值；再对所求的代数式进行展开、合并同类项化简，化简后再代入x的值计算，能减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先解方程$2x - 1 = 3$，
移项得$2x = 3 + 1$，即$2x = 4$，解得$x = 2$。
再化简代数式$(x - 3)^2 + 2x(3 + x) - 7$：
根据完全平方公式和单项式乘多项式法则展开得：
原式$= x^2 - 6x + 9 + 6x + 2x^2 - 7$
合并同类项：$x^2 + 2x^2 + (-6x + 6x) + (9 - 7) = 3x^2 + 2$
将$x = 2$代入化简后的式子：
原式$= 3×2^2 + 2 = 3×4 + 2 = 14$
【答案】
14
【知识点】
一元一次方程求解、整式化简、代数式求值
【点评】
本题属于基础常规题型，既考查了一元一次方程的基本解法，也考查了整式的混合运算规则，先化简再代入是代数式求值类问题的常用技巧，能有效提升计算的准确率和效率。
【难度系数】
0.85
本题是已知一元一次方程求代数式值的题型，解题思路如下：首先先求解已知的一元一次方程，得到x的值；再对所求的代数式进行展开、合并同类项化简，化简后再代入x的值计算，能减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先解方程$2x - 1 = 3$，
移项得$2x = 3 + 1$，即$2x = 4$，解得$x = 2$。
再化简代数式$(x - 3)^2 + 2x(3 + x) - 7$：
根据完全平方公式和单项式乘多项式法则展开得：
原式$= x^2 - 6x + 9 + 6x + 2x^2 - 7$
合并同类项：$x^2 + 2x^2 + (-6x + 6x) + (9 - 7) = 3x^2 + 2$
将$x = 2$代入化简后的式子：
原式$= 3×2^2 + 2 = 3×4 + 2 = 14$
【答案】
14
【知识点】
一元一次方程求解、整式化简、代数式求值
【点评】
本题属于基础常规题型，既考查了一元一次方程的基本解法，也考查了整式的混合运算规则，先化简再代入是代数式求值类问题的常用技巧，能有效提升计算的准确率和效率。
【难度系数】
0.85
20. 利用公式 $ am + bm + cm = m(a + b + c) $，求当 $ x^2 + x - 1 = 2 $，$ a + b - c = 5 $ 时，$ a(x^2 + x + 1) + b(x^2 + x + 1) - c(x^2 + x + 1) $ 的值。
答案
20.解:$\because x^2 + x - 1 = 2$,$\therefore x^2 + x + 1 = 4$,$\therefore a(x^2 + x + 1) + b(x^2 + x + 1) - c(x^2 + x + 1) = 4a + 4b - 4c = 4(a + b - c) = 4 × 5 = 20$.
解析
【分析】
首先观察待求代数式的结构，发现每一项都含有相同的因式$(x^2+x+1)$，符合题干给出的提取公因式的公式形式，因此第一步先提取公因式，将代数式变形为$(x^2+x+1)(a+b-c)$；接下来无需单独求解x、a、b、c的取值，利用整体代入思想计算即可：先根据已知的$x^2+x-1=2$求出$x^2+x+1$的值，再结合已知的$a+b-c=5$，把两个整体的值代入变形后的式子计算就能得到结果。
【解析】
解：$\because x^2 + x - 1 = 2$，
$\therefore x^2 + x + 1 = 4$，
对所求代数式提取公因式可得：
$a(x^2 + x + 1) + b(x^2 + x + 1) - c(x^2 + x + 1) = (x^2 + x + 1)(a + b - c)$，
将$x^2 + x + 1=4$，$a + b - c=5$代入得：
原式$=4×5=20$。
【答案】
20
【知识点】
提公因式法，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题重点考查因式分解的应用和整体代入的数学思想，不需要求解每个未知量的具体值，通过观察代数式结构提取公因式后整体代入即可快速得到结果，能简化计算过程，避免不必要的复杂运算。
【难度系数】
0.7
首先观察待求代数式的结构，发现每一项都含有相同的因式$(x^2+x+1)$，符合题干给出的提取公因式的公式形式，因此第一步先提取公因式，将代数式变形为$(x^2+x+1)(a+b-c)$；接下来无需单独求解x、a、b、c的取值，利用整体代入思想计算即可：先根据已知的$x^2+x-1=2$求出$x^2+x+1$的值，再结合已知的$a+b-c=5$，把两个整体的值代入变形后的式子计算就能得到结果。
【解析】
解：$\because x^2 + x - 1 = 2$，
$\therefore x^2 + x + 1 = 4$，
对所求代数式提取公因式可得：
$a(x^2 + x + 1) + b(x^2 + x + 1) - c(x^2 + x + 1) = (x^2 + x + 1)(a + b - c)$，
将$x^2 + x + 1=4$，$a + b - c=5$代入得：
原式$=4×5=20$。
【答案】
20
【知识点】
提公因式法，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题重点考查因式分解的应用和整体代入的数学思想，不需要求解每个未知量的具体值，通过观察代数式结构提取公因式后整体代入即可快速得到结果，能简化计算过程，避免不必要的复杂运算。
【难度系数】
0.7
21. 已知三角形的三边长$a,b,c$满足$a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac$,你能判断出这个三角形是什么三角形吗？请说明理由.
答案
21.解:这个三角形是等边三角形. 理由:由已知得$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0$,即$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2 = 0$,$\because (a - b)^2 \ge 0$,$(b - c)^2 \ge 0$,$(a - c)^2 \ge 0$,$\therefore a - b = 0$,且$b - c = 0$,且$a - c = 0$,$\therefore a = b$,且$b = c$,且$a = c$,$\therefore a = b = c$,$\therefore$ 这个三角形是等边三角形.
解析
【分析】
要判断三角形的形状，核心是推导三边a、b、c的数量关系，目标是验证三边是否相等。观察已知等式$a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac$，式中同时含有平方项和两数乘积项，符合完全平方公式的结构特征，但完全平方公式的乘积项为2倍形式，因此先将等式两边同时乘2，再整理变形为多个平方和的形式，最后利用平方的非负性（若多个非负数的和为0，则每个非负数都为0）即可推出三边的关系。
【解析】
解：这个三角形是等边三角形，理由如下：
将已知等式两边同时乘2，得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2bc + 2ac$
移项整理得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0$
将式子分组分解为完全平方形式：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2) = 0$
即$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2 = 0$
$\because$ 平方数具有非负性，$\therefore (a - b)^2 \ge 0$，$(b - c)^2 \ge 0$，$(a - c)^2 \ge 0$
几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，可得：
$a - b = 0$，$b - c = 0$，$a - c = 0$
即$a = b$，$b = c$，$a = c$
$\therefore a = b = c$
$\therefore$ 这个三角形是等边三角形。
【答案】
这个三角形是等边三角形。
【知识点】
完全平方公式；非负数的性质；等边三角形判定
【点评】
本题是代数变形与几何判定结合的基础题型，重点考查对完全平方公式的灵活运用能力，以及利用非负数性质推导边长关系的逻辑推理能力，解题的关键是掌握给等式乘2凑完全平方的常用变形技巧。
【难度系数】
0.7
要判断三角形的形状，核心是推导三边a、b、c的数量关系，目标是验证三边是否相等。观察已知等式$a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac$，式中同时含有平方项和两数乘积项，符合完全平方公式的结构特征，但完全平方公式的乘积项为2倍形式，因此先将等式两边同时乘2，再整理变形为多个平方和的形式，最后利用平方的非负性（若多个非负数的和为0，则每个非负数都为0）即可推出三边的关系。
【解析】
解：这个三角形是等边三角形，理由如下：
将已知等式两边同时乘2，得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2bc + 2ac$
移项整理得：
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0$
将式子分组分解为完全平方形式：
$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (a^2 - 2ac + c^2) = 0$
即$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2 = 0$
$\because$ 平方数具有非负性，$\therefore (a - b)^2 \ge 0$，$(b - c)^2 \ge 0$，$(a - c)^2 \ge 0$
几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，可得：
$a - b = 0$，$b - c = 0$，$a - c = 0$
即$a = b$，$b = c$，$a = c$
$\therefore a = b = c$
$\therefore$ 这个三角形是等边三角形。
【答案】
这个三角形是等边三角形。
【知识点】
完全平方公式；非负数的性质；等边三角形判定
【点评】
本题是代数变形与几何判定结合的基础题型，重点考查对完全平方公式的灵活运用能力，以及利用非负数性质推导边长关系的逻辑推理能力，解题的关键是掌握给等式乘2凑完全平方的常用变形技巧。
【难度系数】
0.7
22. 如图所示的是甲、乙、丙三种地板砖，其中甲是边长为$a$的正方形，乙是长为$a$、宽为$b$的长方形，丙是边长为$b$的正方形. 李师傅想用这三种地板砖拼成一个边长为$a+2b$的正方形，你认为能拼成吗？如果能拼成，请你说明需要这三种地板砖各多少块，并画出拼出后的图形；如果不能拼成，请说明理由.
答案
22.解:能拼成. 因为拼成后的正方形的面积为$(a + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$,而甲地板砖的面积为$a^2$,乙地板砖的面积为$ab$,丙地板砖的面积为$b^2$,所以甲、乙、丙三种地板砖分别取1块、4块、4块,即可拼成一个边长为$a + 2b$的正方形.拼出后的图形如图所示(图形不唯一).
解析
【分析】
要判断能否用三种地砖拼成边长为$a+2b$的正方形，可利用拼接前后总面积相等的思路思考：首先计算目标大正方形的面积，用完全平方公式将其展开，再对比三种地砖各自的面积，展开式中各项的系数就是对应地砖需要的块数，若系数均为正整数，就说明可以完成拼接。
【解析】
解：能拼成，推导过程如下：
1. 计算边长为$a+2b$的正方形的总面积：
根据正方形面积公式和完全平方公式可得：$S_{\mathrm{大正方形}}=(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2$。
2. 对应三种地砖的面积计算所需块数：
甲是边长为$a$的正方形，面积为$a^2$，对应展开式中$a^2$项，因此需要甲地砖1块；
乙是长为$a$、宽为$b$的长方形，面积为$ab$，对应展开式中$4ab$项，因此需要乙地砖4块；
丙是边长为$b$的正方形，面积为$b^2$，对应展开式中$4b^2$项，因此需要丙地砖4块。
三种地砖的总面积和大正方形面积相等，因此可以拼成。
【答案】
能拼成，需要甲地板砖1块、乙地板砖4块、丙地板砖4块，拼出后的图形如图所示（图形不唯一）。
【知识点】
完全平方公式，面积拼接，整式乘法
【点评】
本题将代数的整式运算与几何图形拼接相结合，通过面积相等的核心思路建立代数与几何的联系，既考查了对完全平方公式的掌握程度，也锻炼了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
要判断能否用三种地砖拼成边长为$a+2b$的正方形，可利用拼接前后总面积相等的思路思考：首先计算目标大正方形的面积，用完全平方公式将其展开，再对比三种地砖各自的面积，展开式中各项的系数就是对应地砖需要的块数，若系数均为正整数，就说明可以完成拼接。
【解析】
解：能拼成，推导过程如下：
1. 计算边长为$a+2b$的正方形的总面积：
根据正方形面积公式和完全平方公式可得：$S_{\mathrm{大正方形}}=(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2$。
2. 对应三种地砖的面积计算所需块数：
甲是边长为$a$的正方形，面积为$a^2$，对应展开式中$a^2$项，因此需要甲地砖1块；
乙是长为$a$、宽为$b$的长方形，面积为$ab$，对应展开式中$4ab$项，因此需要乙地砖4块；
丙是边长为$b$的正方形，面积为$b^2$，对应展开式中$4b^2$项，因此需要丙地砖4块。
三种地砖的总面积和大正方形面积相等，因此可以拼成。
【答案】
能拼成，需要甲地板砖1块、乙地板砖4块、丙地板砖4块，拼出后的图形如图所示（图形不唯一）。
【知识点】
完全平方公式，面积拼接，整式乘法
【点评】
本题将代数的整式运算与几何图形拼接相结合，通过面积相等的核心思路建立代数与几何的联系，既考查了对完全平方公式的掌握程度，也锻炼了数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
