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15. 已知数$x$满足$x - \frac{1}{x} = 3$，则$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值为
11
。答案
15.11
解析
【分析】
首先观察已知条件和所求代数式的结构：已知是$x-\frac{1}{x}$的一次差形式，所求为$x^2+\frac{1}{x^2}$的二次和形式，二者可通过完全平方公式关联。我们可以对已知等式两边同时平方，利用完全平方公式展开后，结合$x·\frac{1}{x}=1$的特点，即可整理得到所求代数式的值。
【解析】
已知$x - \frac{1}{x} = 3$，将等式两边同时平方，得：
$(x - \frac{1}{x})^2 = 3^2$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，左边展开为：
$x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$
化简交叉项：$2· x· \frac{1}{x}=2$，代入得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = 9$
移项计算得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 + 2 = 11$
【答案】
11
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题核心是抓住已知式与待求式的结构关联，灵活运用完全平方公式的变形求解，熟练掌握完全平方公式的展开和变形是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件和所求代数式的结构：已知是$x-\frac{1}{x}$的一次差形式，所求为$x^2+\frac{1}{x^2}$的二次和形式，二者可通过完全平方公式关联。我们可以对已知等式两边同时平方，利用完全平方公式展开后，结合$x·\frac{1}{x}=1$的特点，即可整理得到所求代数式的值。
【解析】
已知$x - \frac{1}{x} = 3$，将等式两边同时平方，得：
$(x - \frac{1}{x})^2 = 3^2$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，左边展开为：
$x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$
化简交叉项：$2· x· \frac{1}{x}=2$，代入得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = 9$
移项计算得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 + 2 = 11$
【答案】
11
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题核心是抓住已知式与待求式的结构关联，灵活运用完全平方公式的变形求解，熟练掌握完全平方公式的展开和变形是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
16.若代数式$x^2 -6x +b$可化为$(x -a)^2 -1$，则$b -a$的值是
5
.答案
16.5
解析
【分析】
本题考查代数式的恒等变形，解题思路是先将右侧的完全平方式展开，再根据两个多项式相等时同类项的对应系数相等，分别求出参数a、b的值，最后代入计算b-a即可。首先回忆完全平方公式的结构，用公式展开右侧式子，再和左侧二次三项式的对应项系数列等式求解即可。
【解析】
首先将$(x-a)^2 -1$展开，根据完全平方公式得：
$(x-a)^2 -1 = x^2 - 2ax + a^2 - 1$
已知该式与$x^2 -6x +b$相等，根据多项式相等时同类项系数相等，可得：
一次项系数：$-2a = -6$，解得$a=3$
常数项：$a^2 - 1 = b$，将$a=3$代入得：$b=3^2 -1 = 8$
因此$b-a = 8 - 3 =5$
【答案】
5
【知识点】
完全平方公式、多项式恒等变形
【点评】
本题是整式变形的基础题型，核心考查完全平方公式的展开应用，解题的关键是掌握两个多项式相等时对应同类项的系数相等，熟练掌握完全平方公式的结构特征就能快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查代数式的恒等变形，解题思路是先将右侧的完全平方式展开，再根据两个多项式相等时同类项的对应系数相等，分别求出参数a、b的值，最后代入计算b-a即可。首先回忆完全平方公式的结构，用公式展开右侧式子，再和左侧二次三项式的对应项系数列等式求解即可。
【解析】
首先将$(x-a)^2 -1$展开，根据完全平方公式得：
$(x-a)^2 -1 = x^2 - 2ax + a^2 - 1$
已知该式与$x^2 -6x +b$相等，根据多项式相等时同类项系数相等，可得：
一次项系数：$-2a = -6$，解得$a=3$
常数项：$a^2 - 1 = b$，将$a=3$代入得：$b=3^2 -1 = 8$
因此$b-a = 8 - 3 =5$
【答案】
5
【知识点】
完全平方公式、多项式恒等变形
【点评】
本题是整式变形的基础题型，核心考查完全平方公式的展开应用，解题的关键是掌握两个多项式相等时对应同类项的系数相等，熟练掌握完全平方公式的结构特征就能快速求解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
17. 计算:
(1) $-3ab(2a^2 - a^2b^3 - 5)$;
(2) $( \frac{1}{4}x - \frac{1}{3}y )( -\frac{1}{4}x - \frac{1}{3}y )$;
(3) $( -\frac{3}{4}x - \frac{2}{3}y + 1 )^2$.
17. 计算:
(1) $-3ab(2a^2 - a^2b^3 - 5)$;
(2) $( \frac{1}{4}x - \frac{1}{3}y )( -\frac{1}{4}x - \frac{1}{3}y )$;
(3) $( -\frac{3}{4}x - \frac{2}{3}y + 1 )^2$.
答案
17.(1) $-6a^3b + 3a^3b^4 + 15ab$
(2) $\frac{1}{9}y^2 - \frac{1}{16}x^2$
(3) $\frac{9}{16}x^2 + \frac{4}{9}y^2 + 1 + xy - \frac{3}{2}x - \frac{4}{3}y$
(2) $\frac{1}{9}y^2 - \frac{1}{16}x^2$
(3) $\frac{9}{16}x^2 + \frac{4}{9}y^2 + 1 + xy - \frac{3}{2}x - \frac{4}{3}y$
解析
【分析】
(1) 第(1)题为单项式乘多项式运算，解题时需遵循单项式乘多项式法则：用单项式依次乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算过程中重点注意每一项的符号不要出错。
(2) 第(2)题是两个二项式相乘，观察可知两个因式中$-\frac{1}{3}y$是相同项，$\frac{1}{4}x$与$-\frac{1}{4}x$是互为相反的项，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，直接套用公式即可简化计算。
(3) 第(3)题是三项式的平方运算，可将前两项看作一个整体，把原式转化为“(二项式)+常数”的平方形式，先套用二项完全平方公式展开，再对二项式的平方部分继续用完全平方公式计算，过程中注意不要漏乘系数、不要错写符号。
【解析】
(1) 原式$=-3ab · 2a^2 + (-3ab) · (-a^2b^3) + (-3ab) · (-5)$
$=-6a^3b + 3a^3b^4 + 15ab$
(2) 原式$=(-\frac{1}{3}y + \frac{1}{4}x)(-\frac{1}{3}y - \frac{1}{4}x)$
$=(-\frac{1}{3}y)^2 - (\frac{1}{4}x)^2$
$=\frac{1}{9}y^2 - \frac{1}{16}x^2$
(3) 原式$=[(-\frac{3}{4}x - \frac{2}{3}y) + 1]^2$
$=(-\frac{3}{4}x - \frac{2}{3}y)^2 + 2×(-\frac{3}{4}x - \frac{2}{3}y)×1 + 1^2$
$=(\frac{3}{4}x + \frac{2}{3}y)^2 - \frac{3}{2}x - \frac{4}{3}y + 1$
$=(\frac{3}{4}x)^2 + 2×\frac{3}{4}x×\frac{2}{3}y + (\frac{2}{3}y)^2 - \frac{3}{2}x - \frac{4}{3}y + 1$
$=\frac{9}{16}x^2 + \frac{4}{9}y^2 + 1 + xy - \frac{3}{2}x - \frac{4}{3}y$
【答案】
(1) $-6a^3b + 3a^3b^4 + 15ab$
(2) $\frac{1}{9}y^2 - \frac{1}{16}x^2$
(3) $\frac{9}{16}x^2 + \frac{4}{9}y^2 + 1 + xy - \frac{3}{2}x - \frac{4}{3}y$
【知识点】
单项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是整式乘法的常规基础题，重点考察整式乘法运算法则和乘法公式的灵活运用，解题关键是准确识别公式的结构特征，计算时注意核对项的符号和系数，避免出现漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.7
(1) 第(1)题为单项式乘多项式运算，解题时需遵循单项式乘多项式法则：用单项式依次乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算过程中重点注意每一项的符号不要出错。
(2) 第(2)题是两个二项式相乘，观察可知两个因式中$-\frac{1}{3}y$是相同项，$\frac{1}{4}x$与$-\frac{1}{4}x$是互为相反的项，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，直接套用公式即可简化计算。
(3) 第(3)题是三项式的平方运算，可将前两项看作一个整体，把原式转化为“(二项式)+常数”的平方形式，先套用二项完全平方公式展开，再对二项式的平方部分继续用完全平方公式计算，过程中注意不要漏乘系数、不要错写符号。
【解析】
(1) 原式$=-3ab · 2a^2 + (-3ab) · (-a^2b^3) + (-3ab) · (-5)$
$=-6a^3b + 3a^3b^4 + 15ab$
(2) 原式$=(-\frac{1}{3}y + \frac{1}{4}x)(-\frac{1}{3}y - \frac{1}{4}x)$
$=(-\frac{1}{3}y)^2 - (\frac{1}{4}x)^2$
$=\frac{1}{9}y^2 - \frac{1}{16}x^2$
(3) 原式$=[(-\frac{3}{4}x - \frac{2}{3}y) + 1]^2$
$=(-\frac{3}{4}x - \frac{2}{3}y)^2 + 2×(-\frac{3}{4}x - \frac{2}{3}y)×1 + 1^2$
$=(\frac{3}{4}x + \frac{2}{3}y)^2 - \frac{3}{2}x - \frac{4}{3}y + 1$
$=(\frac{3}{4}x)^2 + 2×\frac{3}{4}x×\frac{2}{3}y + (\frac{2}{3}y)^2 - \frac{3}{2}x - \frac{4}{3}y + 1$
$=\frac{9}{16}x^2 + \frac{4}{9}y^2 + 1 + xy - \frac{3}{2}x - \frac{4}{3}y$
【答案】
(1) $-6a^3b + 3a^3b^4 + 15ab$
(2) $\frac{1}{9}y^2 - \frac{1}{16}x^2$
(3) $\frac{9}{16}x^2 + \frac{4}{9}y^2 + 1 + xy - \frac{3}{2}x - \frac{4}{3}y$
【知识点】
单项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是整式乘法的常规基础题，重点考察整式乘法运算法则和乘法公式的灵活运用，解题关键是准确识别公式的结构特征，计算时注意核对项的符号和系数，避免出现漏项、符号错误等问题。
【难度系数】
0.7
18. 先化简,再求值:
(1)$y(x+y)+(x+y)(x-y)-x^2$,其中$x=-2,y=\frac{1}{2}$;
(2)$(x+y)^2 -2x(x+y)$,其中$x=3,y=2$.
(1)$y(x+y)+(x+y)(x-y)-x^2$,其中$x=-2,y=\frac{1}{2}$;
(2)$(x+y)^2 -2x(x+y)$,其中$x=3,y=2$.
答案
18.解:(1)原式$=xy + y^2 + x^2 - y^2 - x^2 = xy$.
当$x = -2,y = \frac{1}{2}$时,原式$= (-2) × \frac{1}{2} = -1$.
(2)原式$= x^2 + 2xy + y^2 - 2x^2 - 2xy = -x^2 + y^2 = y^2 - x^2$.
当$x = 3,y = 2$时,原式$=4 - 9 = -5$.
当$x = -2,y = \frac{1}{2}$时,原式$= (-2) × \frac{1}{2} = -1$.
(2)原式$= x^2 + 2xy + y^2 - 2x^2 - 2xy = -x^2 + y^2 = y^2 - x^2$.
当$x = 3,y = 2$时,原式$=4 - 9 = -5$.
解析
【分析】
这两道题都属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先对原式进行化简，通过去括号、合并同类项将原式化为最简形式，避免直接代入数值计算的繁琐；第二步将给定的未知数的值代入化简后的式子，计算出最终结果。计算时要注意去括号的符号规则，以及同类项的识别与合并，不要算错展开项。
【解析】
(1) 先展开各项：
原式$=xy + y^2 + (x^2 - y^2) - x^2$
去括号后合并同类项：
$=xy + y^2 + x^2 - y^2 - x^2$
$=xy$
将$x=-2$，$y=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$= (-2) × \frac{1}{2} = -1$
(2) 先展开各项：
原式$= (x^2 + 2xy + y^2) - (2x^2 + 2xy)$
去括号后合并同类项：
$=x^2 + 2xy + y^2 - 2x^2 - 2xy$
$=y^2 - x^2$
将$x=3$，$y=2$代入化简后的式子：
原式$=2^2 - 3^2 = 4 - 9 = -5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{-5}$
【知识点】
整式乘法运算，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的常规基础题，重点考查整式运算法则的掌握程度，化简过程中需注意去括号时的符号变化，合并同类项时要准确识别同类项，代入数值计算时要注意运算顺序，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8
这两道题都属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先对原式进行化简，通过去括号、合并同类项将原式化为最简形式，避免直接代入数值计算的繁琐；第二步将给定的未知数的值代入化简后的式子，计算出最终结果。计算时要注意去括号的符号规则，以及同类项的识别与合并，不要算错展开项。
【解析】
(1) 先展开各项：
原式$=xy + y^2 + (x^2 - y^2) - x^2$
去括号后合并同类项：
$=xy + y^2 + x^2 - y^2 - x^2$
$=xy$
将$x=-2$，$y=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$= (-2) × \frac{1}{2} = -1$
(2) 先展开各项：
原式$= (x^2 + 2xy + y^2) - (2x^2 + 2xy)$
去括号后合并同类项：
$=x^2 + 2xy + y^2 - 2x^2 - 2xy$
$=y^2 - x^2$
将$x=3$，$y=2$代入化简后的式子：
原式$=2^2 - 3^2 = 4 - 9 = -5$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{-5}$
【知识点】
整式乘法运算，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的常规基础题，重点考查整式运算法则的掌握程度，化简过程中需注意去括号时的符号变化，合并同类项时要准确识别同类项，代入数值计算时要注意运算顺序，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8
