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知识梳理
因式分解
1. 把一个多项式化成几个整式①
2. 多项式的因式分解与乘法运算不同的.多项式的因式分解是把一个多项式化成几个整式的②
提公因式法
1. 公因式的概念:一般地,多项式的各项都含有的因式,叫作这个多项式各项的公因式,简称多项式的公因式
2. 逆用乘法对加法的③
例如:$ma + mb + mc = ④$
这种将多项式分解因式的方法，叫作提公因式法
3. 用提公因式法分解因式的一般步骤:
第一步:确定公因式；
第二步:把多项式的各项写成公因式与另一个式子的乘积的形式；
第三步:把公因式提到括号前面，提公因式后余下的项用括号括起来
公式法
1. 运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫作公式法
2. 利用平方差公式分解因式的公式:$a^2 - b^2 = ⑥$
3. 利用完全平方公式分解因式的公式:$a^2 + 2ab + b^2 = ⑦$
4. 用公式法分解因式的一般步骤:
(1)所给的多项式的各项含有公因式时,应先提取公因式；
(2)看剩下的多项式能否使用公式法进行因式分解；
(3)最后的结果一定要分解到不能再分解为止
因式分解
1. 把一个多项式化成几个整式①
乘积
的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式2. 多项式的因式分解与乘法运算不同的.多项式的因式分解是把一个多项式化成几个整式的②
乘积
，而多项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式提公因式法
1. 公因式的概念:一般地,多项式的各项都含有的因式,叫作这个多项式各项的公因式,简称多项式的公因式
2. 逆用乘法对加法的③
分配律
，可以把公因式提到括号外边作为积的一个因式，从而将多项式化成两个因式乘积的形式例如:$ma + mb + mc = ④$
$m(a + b + c)$
，$ab^2 - 2a^2b = ⑤$$ab(b - 2a)$
.这种将多项式分解因式的方法，叫作提公因式法
3. 用提公因式法分解因式的一般步骤:
第一步:确定公因式；
第二步:把多项式的各项写成公因式与另一个式子的乘积的形式；
第三步:把公因式提到括号前面，提公因式后余下的项用括号括起来
公式法
1. 运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫作公式法
2. 利用平方差公式分解因式的公式:$a^2 - b^2 = ⑥$
$(a + b)(a - b)$
3. 利用完全平方公式分解因式的公式:$a^2 + 2ab + b^2 = ⑦$
$(a + b)^2$
，$a^2 - 2ab + b^2 = ⑧$$(a - b)^2$
4. 用公式法分解因式的一般步骤:
(1)所给的多项式的各项含有公因式时,应先提取公因式；
(2)看剩下的多项式能否使用公式法进行因式分解；
(3)最后的结果一定要分解到不能再分解为止
答案
①乘积 ②乘积 ③分配律 ④$m(a + b + c)$ ⑤$ab(b - 2a)$ ⑥$(a + b)(a - b)$ ⑦$(a + b)^2$ ⑧$(a - b)^2$
解析
【分析】
本题考查因式分解的基础概念与常用方法相关知识点，解题时依次回忆因式分解的定义、因式分解与整式乘法的关系、提公因式法的原理、平方差公式和完全平方公式的因式分解形式，对应每个空缺的上下文内容逐一填写即可。
【解析】
①根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，因此此处填“乘积”；
②因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把多项式化成几个整式的乘积，整式乘法是把几个整式的乘积化成多项式，因此此处填“乘积”；
③提公因式法的原理是逆用乘法对加法的分配律，因此此处填“分配律”；
④对$ma+mb+mc$提取公因式$m$，可得$m(a+b+c)$；
⑤对$ab^2-2a^2b$提取公因式$ab$，可得$ab(b-2a)$；
⑥平方差公式因式分解的形式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；
⑦完全平方和公式因式分解的形式为$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$；
⑧完全平方差公式因式分解的形式为$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
【答案】
①乘积 ②乘积 ③分配律 ④$m(a + b + c)$ ⑤$ab(b - 2a)$ ⑥$(a + b)(a - b)$ ⑦$(a + b)^2$ ⑧$(a - b)^2$
【知识点】
因式分解的定义，提公因式法，公式法分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础概念类题目，考查的都是因式分解模块最核心的基础内容，熟练掌握这些概念和公式是后续解决复杂因式分解问题的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解的基础概念与常用方法相关知识点，解题时依次回忆因式分解的定义、因式分解与整式乘法的关系、提公因式法的原理、平方差公式和完全平方公式的因式分解形式，对应每个空缺的上下文内容逐一填写即可。
【解析】
①根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，因此此处填“乘积”；
②因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把多项式化成几个整式的乘积，整式乘法是把几个整式的乘积化成多项式，因此此处填“乘积”；
③提公因式法的原理是逆用乘法对加法的分配律，因此此处填“分配律”；
④对$ma+mb+mc$提取公因式$m$，可得$m(a+b+c)$；
⑤对$ab^2-2a^2b$提取公因式$ab$，可得$ab(b-2a)$；
⑥平方差公式因式分解的形式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；
⑦完全平方和公式因式分解的形式为$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$；
⑧完全平方差公式因式分解的形式为$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
【答案】
①乘积 ②乘积 ③分配律 ④$m(a + b + c)$ ⑤$ab(b - 2a)$ ⑥$(a + b)(a - b)$ ⑦$(a + b)^2$ ⑧$(a - b)^2$
【知识点】
因式分解的定义，提公因式法，公式法分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础概念类题目，考查的都是因式分解模块最核心的基础内容，熟练掌握这些概念和公式是后续解决复杂因式分解问题的前提。
【难度系数】
0.9
1. 下列从左到右的变形中不是因式分解的是 （
A.$x^2 -2x = x(x-2)$
B.$x^2 +2x +1 = (x+1)^2$
好学生暑假生活 七年级数学 JJ
C.$x^2 -4 = (x+2)(x-2)$
D.$x+2 = x(1+\dfrac{2}{x})$
D
）A.$x^2 -2x = x(x-2)$
B.$x^2 +2x +1 = (x+1)^2$
好学生暑假生活 七年级数学 JJ
C.$x^2 -4 = (x+2)(x-2)$
D.$x+2 = x(1+\dfrac{2}{x})$
答案
1.D
解析
【分析】
解题首先要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解。判断变形是否为因式分解，需要同时满足两个条件：①变形后的结果是几个式子的乘积形式；②参与乘积的每个式子都必须是整式。我们按照这两个标准逐一判断四个选项即可。
【解析】
我们根据因式分解的定义逐个分析选项：
A. 左边是多项式$x^2-2x$，右边是整式$x$和整式$(x-2)$的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解；
B. 左边是多项式$x^2+2x+1$，右边是整式$(x+1)$的平方，也就是两个$(x+1)$的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解；
C. 左边是多项式$x^2-4$，右边是整式$(x+2)$和整式$(x-2)$的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解；
D. 右边的式子$x(1+\frac{2}{x})$中，$\frac{2}{x}$的分母含有字母$x$，属于分式，不是整式，不符合因式分解的要求，不属于因式分解。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式的识别
【点评】
本题是因式分解的基础概念考察题，解题的关键是牢记因式分解的两个判断要点，尤其要注意因式必须是整式，不能出现分母含字母的分式，只要掌握基础定义就能准确作答。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解。判断变形是否为因式分解，需要同时满足两个条件：①变形后的结果是几个式子的乘积形式；②参与乘积的每个式子都必须是整式。我们按照这两个标准逐一判断四个选项即可。
【解析】
我们根据因式分解的定义逐个分析选项：
A. 左边是多项式$x^2-2x$，右边是整式$x$和整式$(x-2)$的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解；
B. 左边是多项式$x^2+2x+1$，右边是整式$(x+1)$的平方，也就是两个$(x+1)$的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解；
C. 左边是多项式$x^2-4$，右边是整式$(x+2)$和整式$(x-2)$的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解；
D. 右边的式子$x(1+\frac{2}{x})$中，$\frac{2}{x}$的分母含有字母$x$，属于分式，不是整式，不符合因式分解的要求，不属于因式分解。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式的识别
【点评】
本题是因式分解的基础概念考察题，解题的关键是牢记因式分解的两个判断要点，尤其要注意因式必须是整式，不能出现分母含字母的分式，只要掌握基础定义就能准确作答。
【难度系数】
0.8
