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2. 下列各式中分解因式的结果是$(a-2)(b+3)$的是（
A.$-6 + 2b - 3a + ab$
B.$-6 - 2b + 3a + ab$
C.$ab - 3b + 2a - 6$
D.$ab - 2a + 3b - 6$
B
）A.$-6 + 2b - 3a + ab$
B.$-6 - 2b + 3a + ab$
C.$ab - 3b + 2a - 6$
D.$ab - 2a + 3b - 6$
答案
2.B
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一，利用多项式乘多项式的法则，将目标结果$(a-2)(b+3)$展开，再将展开式与各选项对比，匹配的即为正确答案；思路二，对每个选项用分组分解法进行因式分解，判断分解结果是否为$(a-2)(b+3)$，其中展开目标式的方法更简便，不易出错。
【解析】
方法1：展开目标式验证
根据多项式乘多项式法则：$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$，计算$(a-2)(b+3)$：
$\begin{aligned}(a-2)(b+3)&=a· b + a·3 + (-2)· b + (-2)·3\\&=ab + 3a - 2b - 6\\&=-6 -2b +3a +ab\end{aligned}$
对比选项，与B选项完全一致。
方法2：分解各选项验证
A选项：$-6 + 2b -3a +ab=(ab+2b)+(-3a-6)=b(a+2)-3(a+2)=(a+2)(b-3)$，不符合要求；
B选项：$-6 -2b +3a +ab=(ab+3a)+(-2b-6)=a(b+3)-2(b+3)=(a-2)(b+3)$，符合要求；
C选项：$ab -3b +2a -6=(ab-3b)+(2a-6)=b(a-3)+2(a-3)=(a-3)(b+2)$，不符合要求；
D选项：$ab -2a +3b -6=(ab-2a)+(3b-6)=a(b-2)+3(b-2)=(a+3)(b-2)$，不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式，因式分解，分组分解法
【点评】
本题考查整式乘法与因式分解的互逆关系，两种解题方法都属于基础运算方法，熟练掌握多项式乘法法则和因式分解的基本方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路一，利用多项式乘多项式的法则，将目标结果$(a-2)(b+3)$展开，再将展开式与各选项对比，匹配的即为正确答案；思路二，对每个选项用分组分解法进行因式分解，判断分解结果是否为$(a-2)(b+3)$，其中展开目标式的方法更简便，不易出错。
【解析】
方法1：展开目标式验证
根据多项式乘多项式法则：$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$，计算$(a-2)(b+3)$：
$\begin{aligned}(a-2)(b+3)&=a· b + a·3 + (-2)· b + (-2)·3\\&=ab + 3a - 2b - 6\\&=-6 -2b +3a +ab\end{aligned}$
对比选项，与B选项完全一致。
方法2：分解各选项验证
A选项：$-6 + 2b -3a +ab=(ab+2b)+(-3a-6)=b(a+2)-3(a+2)=(a+2)(b-3)$，不符合要求；
B选项：$-6 -2b +3a +ab=(ab+3a)+(-2b-6)=a(b+3)-2(b+3)=(a-2)(b+3)$，符合要求；
C选项：$ab -3b +2a -6=(ab-3b)+(2a-6)=b(a-3)+2(a-3)=(a-3)(b+2)$，不符合要求；
D选项：$ab -2a +3b -6=(ab-2a)+(3b-6)=a(b-2)+3(b-2)=(a+3)(b-2)$，不符合要求。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式，因式分解，分组分解法
【点评】
本题考查整式乘法与因式分解的互逆关系，两种解题方法都属于基础运算方法，熟练掌握多项式乘法法则和因式分解的基本方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 对于①$x^2 -5xy = x(x -5y)$，②$(x +3)(x -4)=x^2 -x -12$从左到右的变形，表述正确的是 （
A.都是因式分解
B.都是整式乘法
C.①是因式分解，②是整式乘法
D.①是整式乘法，②是因式分解
C
）A.都是因式分解
B.都是整式乘法
C.①是因式分解，②是整式乘法
D.①是整式乘法，②是因式分解
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先要明确因式分解和整式乘法的核心定义，再分别对应两个式子的变形特征判断即可。第一步：回忆概念，因式分解是将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，整式乘法是将几个整式的乘积转化为多项式的形式，二者互为逆运算。第二步：分别分析两个式子的变形方向，①的左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的特征；②的左边是两个整式的乘积，右边是多项式，符合整式乘法的特征，最终对应选项选出答案即可。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式；
2. 整式乘法：把几个整式的积化为一个多项式的形式，是因式分解的逆运算。
对两个变形逐一分析：
① 左边是多项式$x^2 -5xy$，右边是$x$与$(x-5y)$两个整式的乘积，符合因式分解的定义，因此①是因式分解；
② 左边是$(x+3)$与$(x-4)$两个整式的乘积，右边是多项式$x^2 -x -12$，符合整式乘法的定义，因此②是整式乘法。
综上，①是因式分解，②是整式乘法，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法的定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心考查对因式分解和整式乘法的概念区分，解题关键是准确识别变形前后的式子形式，判断是从多项式变乘积还是乘积变多项式即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确因式分解和整式乘法的核心定义，再分别对应两个式子的变形特征判断即可。第一步：回忆概念，因式分解是将一个多项式转化为几个整式乘积的形式，整式乘法是将几个整式的乘积转化为多项式的形式，二者互为逆运算。第二步：分别分析两个式子的变形方向，①的左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的特征；②的左边是两个整式的乘积，右边是多项式，符合整式乘法的特征，最终对应选项选出答案即可。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式；
2. 整式乘法：把几个整式的积化为一个多项式的形式，是因式分解的逆运算。
对两个变形逐一分析：
① 左边是多项式$x^2 -5xy$，右边是$x$与$(x-5y)$两个整式的乘积，符合因式分解的定义，因此①是因式分解；
② 左边是$(x+3)$与$(x-4)$两个整式的乘积，右边是多项式$x^2 -x -12$，符合整式乘法的定义，因此②是整式乘法。
综上，①是因式分解，②是整式乘法，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法的定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心考查对因式分解和整式乘法的概念区分，解题关键是准确识别变形前后的式子形式，判断是从多项式变乘积还是乘积变多项式即可。
【难度系数】
0.8
4. 下列多项式中,可以提取公因式的是 （
A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + x$
C.$x^2 - y$
D.$x^2 + 2xy + y^2$
B
）A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + x$
C.$x^2 - y$
D.$x^2 + 2xy + y^2$
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查可提取公因式的多项式的判断，解题思路为：首先明确公因式的定义，即多项式各项都共有的相同因式，再逐一分析每个选项的多项式各项是否存在公共的因式，存在公因式的选项即为正确答案，注意区分公因式提取和公式法因式分解的不同。
【解析】
首先明确：若一个多项式的各项存在共同的因式，则该多项式可以提取公因式。逐一分析选项：
A. $x^2 - y^2$的两项为$x^2$和$-y^2$，没有公共因式，无法提取公因式，不符合题意；
B. $x^2 + x$的两项为$x^2$和$x$，两项都含有公因式$x$，可提取公因式得$x(x+1)$，符合题意；
C. $x^2 - y$的两项为$x^2$和$-y$，没有公共因式，无法提取公因式，不符合题意；
D. $x^2 + 2xy + y^2$的三项为$x^2$、$2xy$、$y^2$，没有公共因式，无法提取公因式，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的定义；提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，主要考查对提取公因式法的理解，解题核心是准确判断多项式各项是否存在公共的因式，注意不要将公式法因式分解的类型和提取公因式混淆。
【难度系数】
0.85
本题考查可提取公因式的多项式的判断，解题思路为：首先明确公因式的定义，即多项式各项都共有的相同因式，再逐一分析每个选项的多项式各项是否存在公共的因式，存在公因式的选项即为正确答案，注意区分公因式提取和公式法因式分解的不同。
【解析】
首先明确：若一个多项式的各项存在共同的因式，则该多项式可以提取公因式。逐一分析选项：
A. $x^2 - y^2$的两项为$x^2$和$-y^2$，没有公共因式，无法提取公因式，不符合题意；
B. $x^2 + x$的两项为$x^2$和$x$，两项都含有公因式$x$，可提取公因式得$x(x+1)$，符合题意；
C. $x^2 - y$的两项为$x^2$和$-y$，没有公共因式，无法提取公因式，不符合题意；
D. $x^2 + 2xy + y^2$的三项为$x^2$、$2xy$、$y^2$，没有公共因式，无法提取公因式，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的定义；提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，主要考查对提取公因式法的理解，解题核心是准确判断多项式各项是否存在公共的因式，注意不要将公式法因式分解的类型和提取公因式混淆。
【难度系数】
0.85
5. $15a^3b^3(a-b)$，$5a^2b(b-a)$，$-120a^3b^3(a-b)$的公因式是 （
A.$5ab(a-b)$
B.$5a^2b^2(a-b)$
C.$5a^2b(a-b)$
D.$120a^3b^3(a-b)$
C
）A.$5ab(a-b)$
B.$5a^2b^2(a-b)$
C.$5a^2b(a-b)$
D.$120a^3b^3(a-b)$
答案
5.C
解析
【分析】
要找几个整式的公因式，可分三步思考：第一步先找各整式系数的最大公约数；第二步找所有整式都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂；第三步找所有整式都含有的相同多项式因式，注意可以将互为相反数的因式（如$b-a$和$a-b$）变形统一后，取该多项式因式的最低次幂，最后将三部分的结果相乘就是公因式。首先我们先处理互为相反数的因式：因为$b-a=-(a-b)$，所以第二个式子$5a^2b(b-a)$可以转化为$-5a^2b(a-b)$，接下来就可以按步骤找公因式了。
【解析】
步骤1：统一多项式因式
将$5a^2b(b-a)$变形为$-5a^2b(a-b)$，此时三个整式分别为：$15a^3b^3(a-b)$、$-5a^2b(a-b)$、$-120a^3b^3(a-b)$。
步骤2：找系数的最大公约数
三个整式的系数绝对值分别是15、5、120，它们的最大公约数是5。
步骤3：找相同字母的最低次幂
三个整式都含有的字母是$a$和$b$：$a$的次数分别为3、2、3，最低次是2次，即$a^2$；$b$的次数分别为3、1、3，最低次是1次，即$b$。
步骤4：找相同多项式因式的最低次幂
三个整式都含有因式$(a-b)$，次数都是1次，即$(a-b)$。
步骤5：组合得到公因式
将上述结果相乘，公因式为$5× a^2× b×(a-b)=5a^2b(a-b)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、相反数因式变形、最大公约数计算
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，易错点有两处：一是忽略$b-a$和$a-b$可以转化为相同因式，二是找字母最低次幂时误将最高次当成最低次，熟练掌握公因式的三步找法即可快速准确解题。
【难度系数】
0.7
要找几个整式的公因式，可分三步思考：第一步先找各整式系数的最大公约数；第二步找所有整式都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂；第三步找所有整式都含有的相同多项式因式，注意可以将互为相反数的因式（如$b-a$和$a-b$）变形统一后，取该多项式因式的最低次幂，最后将三部分的结果相乘就是公因式。首先我们先处理互为相反数的因式：因为$b-a=-(a-b)$，所以第二个式子$5a^2b(b-a)$可以转化为$-5a^2b(a-b)$，接下来就可以按步骤找公因式了。
【解析】
步骤1：统一多项式因式
将$5a^2b(b-a)$变形为$-5a^2b(a-b)$，此时三个整式分别为：$15a^3b^3(a-b)$、$-5a^2b(a-b)$、$-120a^3b^3(a-b)$。
步骤2：找系数的最大公约数
三个整式的系数绝对值分别是15、5、120，它们的最大公约数是5。
步骤3：找相同字母的最低次幂
三个整式都含有的字母是$a$和$b$：$a$的次数分别为3、2、3，最低次是2次，即$a^2$；$b$的次数分别为3、1、3，最低次是1次，即$b$。
步骤4：找相同多项式因式的最低次幂
三个整式都含有因式$(a-b)$，次数都是1次，即$(a-b)$。
步骤5：组合得到公因式
将上述结果相乘，公因式为$5× a^2× b×(a-b)=5a^2b(a-b)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、相反数因式变形、最大公约数计算
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，易错点有两处：一是忽略$b-a$和$a-b$可以转化为相同因式，二是找字母最低次幂时误将最高次当成最低次，熟练掌握公因式的三步找法即可快速准确解题。
【难度系数】
0.7
6. 如图所示的是甲、乙两位同学因式分解$-x^2 + x$的结果,下列判断正确的是 (
甲同学:原式$=-x(x-1)$
乙同学:原式$=x(1-x)$.
A.甲、乙的结果都正确
B.甲、乙的结果都不正确
C.只有甲的结果正确
D.只有乙的结果正确
A
)甲同学:原式$=-x(x-1)$
乙同学:原式$=x(1-x)$.A.甲、乙的结果都正确
B.甲、乙的结果都不正确
C.只有甲的结果正确
D.只有乙的结果正确
答案
6.A
解析
【分析】
要判断两位同学因式分解的结果是否正确，可通过两种思路验证：一是将两人的结果分别展开，对比是否和原式$-x^2+x$相等；二是直接对原式用提公因式法分解，看结果是否与两位同学的结果一致。因式分解的核心是变形前后式子恒等，提取公因式时可以选带负号的公因式，也可以选不带负号的公因式，只要符号变换正确即可。
【解析】
我们通过展开结果验证：
1. 验证甲的结果：根据单项式乘多项式法则展开$-x(x-1)$，可得
$-x(x-1) = -x· x + (-x)×(-1) = -x^2 +x$，和原式完全相等，因此甲的结果正确。
2. 验证乙的结果：根据单项式乘多项式法则展开$x(1-x)$，可得
$x(1-x)=x·1 - x· x = x -x^2 = -x^2 +x$，和原式完全相等，因此乙的结果也正确。
也可直接对原式分解：提取公因式$-x$时，原式$=-x(x-1)$（即甲的结果）；提取公因式$x$时，原式$=x(1-x)$（即乙的结果），二者恒等，都正确。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解，因式分解的验证
【点评】
本题考查因式分解结果的判断，只要变形前后式子恒等，因式分解的结果就是正确的，提取公因式时可按需选择公因式的符号，注意变换过程中不要出现符号错误即可。
【难度系数】
0.9
要判断两位同学因式分解的结果是否正确，可通过两种思路验证：一是将两人的结果分别展开，对比是否和原式$-x^2+x$相等；二是直接对原式用提公因式法分解，看结果是否与两位同学的结果一致。因式分解的核心是变形前后式子恒等，提取公因式时可以选带负号的公因式，也可以选不带负号的公因式，只要符号变换正确即可。
【解析】
我们通过展开结果验证：
1. 验证甲的结果：根据单项式乘多项式法则展开$-x(x-1)$，可得
$-x(x-1) = -x· x + (-x)×(-1) = -x^2 +x$，和原式完全相等，因此甲的结果正确。
2. 验证乙的结果：根据单项式乘多项式法则展开$x(1-x)$，可得
$x(1-x)=x·1 - x· x = x -x^2 = -x^2 +x$，和原式完全相等，因此乙的结果也正确。
也可直接对原式分解：提取公因式$-x$时，原式$=-x(x-1)$（即甲的结果）；提取公因式$x$时，原式$=x(1-x)$（即乙的结果），二者恒等，都正确。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解，因式分解的验证
【点评】
本题考查因式分解结果的判断，只要变形前后式子恒等，因式分解的结果就是正确的，提取公因式时可按需选择公因式的符号，注意变换过程中不要出现符号错误即可。
【难度系数】
0.9
7. 下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是 （
A.$x^2 - 4x$
B.$x^2 - 4x + 4$
C.$x^2 - 4$
D.$x^2 + 4$
C
）A.$x^2 - 4x$
B.$x^2 - 4x + 4$
C.$x^2 - 4$
D.$x^2 + 4$
答案
7.C
解析
【分析】
要判断哪个多项式能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式的结构特征：适用平方差公式分解因式的多项式需满足三个条件：一是多项式包含两项；二是两项都能写成某个式子的平方形式；三是两项的符号相反。接下来对照这三个特征逐一分析每个选项即可得出答案。
【解析】
平方差公式的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，我们逐个分析选项：
选项A：$x^2 -4x$有两项，但第二项是一次项，不能写成某个式子的平方，不符合平方差公式的结构，只能用提取公因式法分解为$x(x-4)$，排除；
选项B：$x^2 -4x +4$是三项式，符合完全平方公式的结构，分解为$(x-2)^2$，不满足平方差公式两项的要求，排除；
选项C：$x^2 -4 = x^2 - 2^2$，是两项，两项都是平方形式且符号相反，符合平方差公式结构，可分解为$(x+2)(x-2)$，符合要求；
选项D：$x^2 +4$两项都是平方形式，但符号相同，不符合平方差公式异号的要求，无法用平方差公式分解，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解的方法
【点评】
本题核心考查对平方差公式结构特征的理解与应用，解题时只需牢记平方差公式分解因式的多项式的特征，逐一排查选项即可，是因式分解部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断哪个多项式能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式的结构特征：适用平方差公式分解因式的多项式需满足三个条件：一是多项式包含两项；二是两项都能写成某个式子的平方形式；三是两项的符号相反。接下来对照这三个特征逐一分析每个选项即可得出答案。
【解析】
平方差公式的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，我们逐个分析选项：
选项A：$x^2 -4x$有两项，但第二项是一次项，不能写成某个式子的平方，不符合平方差公式的结构，只能用提取公因式法分解为$x(x-4)$，排除；
选项B：$x^2 -4x +4$是三项式，符合完全平方公式的结构，分解为$(x-2)^2$，不满足平方差公式两项的要求，排除；
选项C：$x^2 -4 = x^2 - 2^2$，是两项，两项都是平方形式且符号相反，符合平方差公式结构，可分解为$(x+2)(x-2)$，符合要求；
选项D：$x^2 +4$两项都是平方形式，但符号相同，不符合平方差公式异号的要求，无法用平方差公式分解，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解的方法
【点评】
本题核心考查对平方差公式结构特征的理解与应用，解题时只需牢记平方差公式分解因式的多项式的特征，逐一排查选项即可，是因式分解部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
8.若$a+b=3,a-b=\dfrac{1}{3}$,则$a^2-b^2$的值为 （
A.1
B.$\dfrac{8}{3}$
C.$\dfrac{10}{3}$
D.9
A
）A.1
B.$\dfrac{8}{3}$
C.$\dfrac{10}{3}$
D.9
答案
8.A
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式$a^2 - b^2$的结构，可联想到平方差公式，平方差公式可以将待求式转化为含已知条件$a+b$和$a-b$的形式，无需单独求解$a$、$b$的值，直接整体代入计算即可快速得到结果。
【解析】
根据平方差公式可得：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
已知$a+b=3$，$a-b=\dfrac{1}{3}$，将两个式子整体代入上式：
$a^2 - b^2=3×\dfrac{1}{3}=1$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的应用，解题的关键是识别出待求式符合平方差公式的结构，采用整体代入的方法计算，避免不必要的计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察所求代数式$a^2 - b^2$的结构，可联想到平方差公式，平方差公式可以将待求式转化为含已知条件$a+b$和$a-b$的形式，无需单独求解$a$、$b$的值，直接整体代入计算即可快速得到结果。
【解析】
根据平方差公式可得：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
已知$a+b=3$，$a-b=\dfrac{1}{3}$，将两个式子整体代入上式：
$a^2 - b^2=3×\dfrac{1}{3}=1$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的应用，解题的关键是识别出待求式符合平方差公式的结构，采用整体代入的方法计算，避免不必要的计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
9. 下列各式中,能用公式法进行因式分解的有 （
①$-x^2 - y^2$； ②$-\frac{1}{4}a^2b^2 + 1$； ③$a^2 + ab + b^2$； ④$-x^2 + 2xy - y^2$； ⑤$\frac{1}{4} - mn + m^2n^2$.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）①$-x^2 - y^2$； ②$-\frac{1}{4}a^2b^2 + 1$； ③$a^2 + ab + b^2$； ④$-x^2 + 2xy - y^2$； ⑤$\frac{1}{4} - mn + m^2n^2$.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
9.B
解析
【分析】
要判断式子能否用公式法因式分解，首先明确七年级所学的因式分解公式有两类：1. 平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，特征为：共2项，两项都是平方项，符号相反；2. 完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，特征为：共3项，两项是同号的平方项，第三项是两个平方项底数乘积的2倍。接下来我们逐个分析5个式子是否符合上述两类公式的结构特征即可。
【解析】
我们逐个判断每个式子：
①$-x^2 - y^2$：变形为$-(x^2+y^2)$，两项平方项符号相同，不符合平方差公式特征，也不满足完全平方的项数要求，不能用公式法分解；
②$-\frac{1}{4}a^2b^2 + 1$：可改写为$1^2 - (\frac{1}{2}ab)^2$，符合平方差公式的结构，可分解为$(1+\frac{1}{2}ab)(1-\frac{1}{2}ab)$，能用公式法分解；
③$a^2 + ab + b^2$：共3项，两个平方项为$a^2$和$b^2$，对应的中间项应为$\pm 2ab$，本题中间项是$ab$，不符合完全平方公式特征，不能用公式法分解；
④$-x^2 + 2xy - y^2$：先提取负号得$-(x^2 - 2xy + y^2)$，括号内的式子符合完全平方公式，可分解为$-(x-y)^2$，能用公式法分解；
⑤$\frac{1}{4} - mn + m^2n^2$：可改写为$(mn)^2 - 2· mn· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式的结构，可分解为$(mn-\frac{1}{2})^2$，能用公式法分解。
综上，②、④、⑤共3个式子可以用公式法因式分解。
【答案】
B
【知识点】
公式法因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题解题核心是熟练掌握因式分解两个公式的结构特征，判断时可以先对式子进行简单变形（如提取负号、调整项的顺序），再对照公式特征逐一验证，避免因结构识别不清出错。
【难度系数】
0.7
要判断式子能否用公式法因式分解，首先明确七年级所学的因式分解公式有两类：1. 平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，特征为：共2项，两项都是平方项，符号相反；2. 完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，特征为：共3项，两项是同号的平方项，第三项是两个平方项底数乘积的2倍。接下来我们逐个分析5个式子是否符合上述两类公式的结构特征即可。
【解析】
我们逐个判断每个式子：
①$-x^2 - y^2$：变形为$-(x^2+y^2)$，两项平方项符号相同，不符合平方差公式特征，也不满足完全平方的项数要求，不能用公式法分解；
②$-\frac{1}{4}a^2b^2 + 1$：可改写为$1^2 - (\frac{1}{2}ab)^2$，符合平方差公式的结构，可分解为$(1+\frac{1}{2}ab)(1-\frac{1}{2}ab)$，能用公式法分解；
③$a^2 + ab + b^2$：共3项，两个平方项为$a^2$和$b^2$，对应的中间项应为$\pm 2ab$，本题中间项是$ab$，不符合完全平方公式特征，不能用公式法分解；
④$-x^2 + 2xy - y^2$：先提取负号得$-(x^2 - 2xy + y^2)$，括号内的式子符合完全平方公式，可分解为$-(x-y)^2$，能用公式法分解；
⑤$\frac{1}{4} - mn + m^2n^2$：可改写为$(mn)^2 - 2· mn· \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式的结构，可分解为$(mn-\frac{1}{2})^2$，能用公式法分解。
综上，②、④、⑤共3个式子可以用公式法因式分解。
【答案】
B
【知识点】
公式法因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题解题核心是熟练掌握因式分解两个公式的结构特征，判断时可以先对式子进行简单变形（如提取负号、调整项的顺序），再对照公式特征逐一验证，避免因结构识别不清出错。
【难度系数】
0.7
10. 代数式$a^2(a^2 - 1) - a^2 + 1$的值 （
A.不是负数
B.恒为正数
C.恒为负数
D.不等于0
A
）A.不是负数
B.恒为正数
C.恒为负数
D.不等于0
答案
10.A
解析
【分析】
要判断代数式的取值范围，首先需要对代数式进行化简。观察原式结构，可先将后两项添括号变形，发现变形后式子中存在公因式$a^2-1$，提取公因式后可将原式转化为平方的形式，再结合平方数的非负性即可判断代数式的取值，进而选出正确答案。
【解析】
先对原式化简：
$\begin{aligned}a^2(a^2 - 1) - a^2 + 1&=a^2(a^2 - 1) - (a^2 - 1)\\&=(a^2 - 1)(a^2 - 1)\\&=(a^2 - 1)^2\end{aligned}$
根据平方的性质：任意有理数的平方都是非负数，可得$(a^2 - 1)^2≥0$，即代数式的值大于等于0，也就是不是负数。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；平方的非负性；代数式化简
【点评】
本题核心是通过因式分解化简代数式，解题关键是观察式子特点提取公因式，将原式转化为熟悉的平方形式，再结合非负数性质判断取值，熟练掌握因式分解的基本方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
要判断代数式的取值范围，首先需要对代数式进行化简。观察原式结构，可先将后两项添括号变形，发现变形后式子中存在公因式$a^2-1$，提取公因式后可将原式转化为平方的形式，再结合平方数的非负性即可判断代数式的取值，进而选出正确答案。
【解析】
先对原式化简：
$\begin{aligned}a^2(a^2 - 1) - a^2 + 1&=a^2(a^2 - 1) - (a^2 - 1)\\&=(a^2 - 1)(a^2 - 1)\\&=(a^2 - 1)^2\end{aligned}$
根据平方的性质：任意有理数的平方都是非负数，可得$(a^2 - 1)^2≥0$，即代数式的值大于等于0，也就是不是负数。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；平方的非负性；代数式化简
【点评】
本题核心是通过因式分解化简代数式，解题关键是观察式子特点提取公因式，将原式转化为熟悉的平方形式，再结合非负数性质判断取值，熟练掌握因式分解的基本方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
