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1. 多项式 $ m(m+n) - n(m+n) $ 因式分解正确的是 $\quad (\quad)$
A.$ (m+n)(m-n) $
B.$ m^2 - n^2 $
C.$ (m+n)^2 $
D.$ (m-n)^2 $
A.$ (m+n)(m-n) $
B.$ m^2 - n^2 $
C.$ (m+n)^2 $
D.$ (m-n)^2 $
答案
A
解析
【分析】
这道题考查因式分解的基础应用，解题思路是先观察多项式的两项，找到公共的因式（即公因式），再用提公因式法进行因式分解，最后对比选项选出正确答案，同时要注意因式分解的结果必须是整式乘积的形式，排除属于整式乘法结果的选项。首先观察多项式$m(m+n)-n(m+n)$，两项中都含有公因式$(m+n)$，提取公因式后把剩下的部分相减，即可得到分解结果。
【解析】
解：观察多项式的两项，可知公因式为$(m+n)$，提取公因式可得：
$m(m+n) - n(m+n) = (m+n)(m - n)$
接下来分析各选项：
A选项：与分解结果一致，正确；
B选项：$m^2-n^2$是原式展开的结果，属于整式乘法，不是因式分解的乘积形式，错误；
C选项：$(m+n)^2 = m^2+2mn+n^2$，与原式不相等，错误；
D选项：$(m-n)^2 = m^2-2mn+n^2$，与原式不相等，错误。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法，因式分解的概念
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题时需先准确识别公因式，同时要注意区分因式分解和整式乘法，避免误选展开后的结果。
【难度系数】
0.9
这道题考查因式分解的基础应用，解题思路是先观察多项式的两项，找到公共的因式（即公因式），再用提公因式法进行因式分解，最后对比选项选出正确答案，同时要注意因式分解的结果必须是整式乘积的形式，排除属于整式乘法结果的选项。首先观察多项式$m(m+n)-n(m+n)$，两项中都含有公因式$(m+n)$，提取公因式后把剩下的部分相减，即可得到分解结果。
【解析】
解：观察多项式的两项，可知公因式为$(m+n)$，提取公因式可得：
$m(m+n) - n(m+n) = (m+n)(m - n)$
接下来分析各选项：
A选项：与分解结果一致，正确；
B选项：$m^2-n^2$是原式展开的结果，属于整式乘法，不是因式分解的乘积形式，错误；
C选项：$(m+n)^2 = m^2+2mn+n^2$，与原式不相等，错误；
D选项：$(m-n)^2 = m^2-2mn+n^2$，与原式不相等，错误。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法，因式分解的概念
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题时需先准确识别公因式，同时要注意区分因式分解和整式乘法，避免误选展开后的结果。
【难度系数】
0.9
2. 下列各式因式分解正确的是 （
A.$4a^2 -4a +1 =4a(a-1)+1$
B.$x^2 -4y^2=(x+4y)(x-4y)$
C.$x^2 +3x -4 =x(x+3-\frac{4}{x})$
D.$x(a-b)+b(b-a)=(a-b)(x-b)$
D
）A.$4a^2 -4a +1 =4a(a-1)+1$
B.$x^2 -4y^2=(x+4y)(x-4y)$
C.$x^2 +3x -4 =x(x+3-\frac{4}{x})$
D.$x(a-b)+b(b-a)=(a-b)(x-b)$
答案
D
解析
【分析】
要判断因式分解是否正确，首先需明确因式分解的核心判定标准：一是变形后的结果必须是几个整式的乘积形式，二是变形前后等式恒成立。我们可以对照这两个标准，逐一分析每个选项，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
因式分解是指将一个多项式转化为几个整式的积的形式，据此逐一判断：
选项A：等号右侧$4a(a-1)+1$是和的形式，不是整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故A错误；
选项B：根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，$x^2-4y^2=x^2-(2y)^2=(x+2y)(x-2y)$，选项中等式右侧展开为$x^2-16y^2$，与左侧不相等，变形不恒等，故B错误；
选项C：等号右侧的因式中含有$\frac{4}{x}$，属于分式，不是整式，不符合因式分解的要求，故C错误；
选项D：先将式子变形为$x(a-b)-b(a-b)$，提取公因式$(a-b)$后可得$(a-b)(x-b)$，符合因式分解的要求且等式恒成立，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义，提公因式法因式分解，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础判定题，易错点在于容易忽略因式分解的结果要求是整式乘积、变形需恒等的规则，只要牢记定义和基础因式分解方法，细心排查即可得分。
【难度系数】
0.8
要判断因式分解是否正确，首先需明确因式分解的核心判定标准：一是变形后的结果必须是几个整式的乘积形式，二是变形前后等式恒成立。我们可以对照这两个标准，逐一分析每个选项，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
因式分解是指将一个多项式转化为几个整式的积的形式，据此逐一判断：
选项A：等号右侧$4a(a-1)+1$是和的形式，不是整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故A错误；
选项B：根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，$x^2-4y^2=x^2-(2y)^2=(x+2y)(x-2y)$，选项中等式右侧展开为$x^2-16y^2$，与左侧不相等，变形不恒等，故B错误；
选项C：等号右侧的因式中含有$\frac{4}{x}$，属于分式，不是整式，不符合因式分解的要求，故C错误；
选项D：先将式子变形为$x(a-b)-b(a-b)$，提取公因式$(a-b)$后可得$(a-b)(x-b)$，符合因式分解的要求且等式恒成立，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义，提公因式法因式分解，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础判定题，易错点在于容易忽略因式分解的结果要求是整式乘积、变形需恒等的规则，只要牢记定义和基础因式分解方法，细心排查即可得分。
【难度系数】
0.8
3. 多项式$-\dfrac{1}{2}a^2b - ab^2$各项提取公因式$-\dfrac{1}{2}ab$后，另一个因式是（
A.$a + 2b$
B.$-a + 2b$
C.$-a - b$
D.$a - 2b$
A
）A.$a + 2b$
B.$-a + 2b$
C.$-a - b$
D.$a - 2b$
答案
A
解析
【分析】
这道题考查提取公因式分解因式的应用，解题思路是：提取公因式后，剩余的另一个因式等于原多项式的每一项分别除以公因式所得的商的和。我们只需要分别计算多项式两项除以公因式$-\dfrac{1}{2}ab$的结果，再相加即可得到答案，计算时要注意符号和同底数幂的除法规则。
【解析】
将原多项式$-\dfrac{1}{2}a^2b - ab^2$的每一项分别除以公因式$-\dfrac{1}{2}ab$，再将商相加：
1. 第一项除以公因式：$-\dfrac{1}{2}a^2b ÷ (-\dfrac{1}{2}ab) = a$
2. 第二项除以公因式：$-ab^2 ÷ (-\dfrac{1}{2}ab) = 2b$
3. 两个商相加得：$a + 2b$，即提取公因式后另一个因式为$a + 2b$。
【答案】
A
【知识点】
提取公因式法分解因式、单项式除以单项式
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题的关键是掌握提取公因式后剩余因式的计算方法，运算过程中要特别注意负号的处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.85
这道题考查提取公因式分解因式的应用，解题思路是：提取公因式后，剩余的另一个因式等于原多项式的每一项分别除以公因式所得的商的和。我们只需要分别计算多项式两项除以公因式$-\dfrac{1}{2}ab$的结果，再相加即可得到答案，计算时要注意符号和同底数幂的除法规则。
【解析】
将原多项式$-\dfrac{1}{2}a^2b - ab^2$的每一项分别除以公因式$-\dfrac{1}{2}ab$，再将商相加：
1. 第一项除以公因式：$-\dfrac{1}{2}a^2b ÷ (-\dfrac{1}{2}ab) = a$
2. 第二项除以公因式：$-ab^2 ÷ (-\dfrac{1}{2}ab) = 2b$
3. 两个商相加得：$a + 2b$，即提取公因式后另一个因式为$a + 2b$。
【答案】
A
【知识点】
提取公因式法分解因式、单项式除以单项式
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题的关键是掌握提取公因式后剩余因式的计算方法，运算过程中要特别注意负号的处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.85
4. 分解因式$6xyz - 4x^2y^2z^2 + 2xz^2$时，应提取的公因式是（
A.$xyz$
B.$2x$
C.$2z$
D.$2xz$
D
）A.$xyz$
B.$2x$
C.$2z$
D.$2xz$
答案
D
解析
【分析】
要确定多项式应提取的公因式，需按照公因式的确定规则分步思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，再取相同字母的最低次幂，最后将系数和字母部分相乘即可得到公因式。
【解析】
步骤1：确定公因式的系数部分
多项式三个项的系数分别为6、-4、2，三个数的最大公约数是2；
步骤2：确定公因式的字母部分
观察三个项：$6xyz$含字母x、y、z，$-4x^2y^2z^2$含字母x、y、z，$2xz^2$含字母x、z，三个项共有的字母是x和z；
其中x的次数分别为1、2、1，最低次幂是$x^1=x$；z的次数分别为1、2、2，最低次幂是$z^1=z$；因为第三项不含字母y，所以公因式不含y；
步骤3：合并系数和字母部分，得到公因式为$2xz$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法；公因式的确定
【点评】
本题考查提公因式法中公因式的确定，核心是掌握“系数取各项系数的最大公约数，相同字母取各项的最低次幂”的判定原则，是因式分解模块的基础题型。
【难度系数】
0.9
要确定多项式应提取的公因式，需按照公因式的确定规则分步思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，再取相同字母的最低次幂，最后将系数和字母部分相乘即可得到公因式。
【解析】
步骤1：确定公因式的系数部分
多项式三个项的系数分别为6、-4、2，三个数的最大公约数是2；
步骤2：确定公因式的字母部分
观察三个项：$6xyz$含字母x、y、z，$-4x^2y^2z^2$含字母x、y、z，$2xz^2$含字母x、z，三个项共有的字母是x和z；
其中x的次数分别为1、2、1，最低次幂是$x^1=x$；z的次数分别为1、2、2，最低次幂是$z^1=z$；因为第三项不含字母y，所以公因式不含y；
步骤3：合并系数和字母部分，得到公因式为$2xz$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法；公因式的确定
【点评】
本题考查提公因式法中公因式的确定，核心是掌握“系数取各项系数的最大公约数，相同字母取各项的最低次幂”的判定原则，是因式分解模块的基础题型。
【难度系数】
0.9
5. 已知$m^2 + n^2 -6m +10n +34=0$，则$m+n$的值是（
A.-2
B.2
C.8
D.-8
A
）A.-2
B.2
C.8
D.-8
答案
A
解析
【分析】
本题给出含两个未知数的二次多项式等于0的等式，仅一个方程无法直接求解两个未知数，因此考虑用配方法将原式变形为两个完全平方式相加的形式，再利用偶次方的非负性（几个非负数的和为0时，每个非负数均为0）求解m、n的值，最后计算m+n即可。
【解析】
第一步：对原式配方，将常数34拆分为9和25，分别对应m、n的完全平方的常数项：
$\begin{aligned}m^2 + n^2 -6m +10n +34&=0\\(m^2 -6m +9)+(n^2 +10n +25)&=0\end{aligned}$
第二步：根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，将上式化简为：
$(m-3)^2 + (n+5)^2 = 0$
第三步：根据平方的非负性可知$(m-3)^2≥0$，$(n+5)^2≥0$，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，可得：
$\begin{cases}m-3=0\\n+5=0\end{cases}$
解得$m=3$，$n=-5$。
第四步：计算$m+n=3+(-5)=-2$。
【答案】
A
【知识点】
配方法；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题是整式变形类的典型题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，正确拆分常数项完成配方，再结合非负数的性质求解未知数，难度不大但需要细心计算。
【难度系数】
0.7
本题给出含两个未知数的二次多项式等于0的等式，仅一个方程无法直接求解两个未知数，因此考虑用配方法将原式变形为两个完全平方式相加的形式，再利用偶次方的非负性（几个非负数的和为0时，每个非负数均为0）求解m、n的值，最后计算m+n即可。
【解析】
第一步：对原式配方，将常数34拆分为9和25，分别对应m、n的完全平方的常数项：
$\begin{aligned}m^2 + n^2 -6m +10n +34&=0\\(m^2 -6m +9)+(n^2 +10n +25)&=0\end{aligned}$
第二步：根据完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，将上式化简为：
$(m-3)^2 + (n+5)^2 = 0$
第三步：根据平方的非负性可知$(m-3)^2≥0$，$(n+5)^2≥0$，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，可得：
$\begin{cases}m-3=0\\n+5=0\end{cases}$
解得$m=3$，$n=-5$。
第四步：计算$m+n=3+(-5)=-2$。
【答案】
A
【知识点】
配方法；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题是整式变形类的典型题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，正确拆分常数项完成配方，再结合非负数的性质求解未知数，难度不大但需要细心计算。
【难度系数】
0.7
6.如果$x^2 + kx + 64$是一个整式的平方,那么$k$的值是 (
A.8
B.-8
C.8或-8
D.16或-16
D
)A.8
B.-8
C.8或-8
D.16或-16
答案
D
解析
【分析】
解题时首先明确“整式的平方”对应完全平方式，需结合完全平方公式的两种形式（和的平方、差的平方）分析。第一步先确定两个平方项的底数：原式中$x^2$对应完全平方公式里的$a^2$，得$a=x$；常数项64是$8^2$，对应公式里的$b^2$，得$b=\pm8$。第二步对应中间项：完全平方式的中间项为$\pm2ab$，和原式的$kx$对应，代入$a、b$的值即可算出$k$的取值，注意两种情况都要考虑，不能漏解。
【解析】
解：
∵ $x^2 + kx + 64$ 是整式的平方，属于完全平方式
其中$x^2=(x)^2$，$64=(\pm8)^2$
∴ 该式可写为$(x+8)^2$或$(x-8)^2$两种形式
分别展开得：
$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$
$(x-8)^2 = x^2 - 16x + 64$
对比原式$x^2 + kx + 64$，可得$k=16$或$k=-16$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，解题的关键是牢记完全平方有和、差两种形式，避免只考虑其中一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确“整式的平方”对应完全平方式，需结合完全平方公式的两种形式（和的平方、差的平方）分析。第一步先确定两个平方项的底数：原式中$x^2$对应完全平方公式里的$a^2$，得$a=x$；常数项64是$8^2$，对应公式里的$b^2$，得$b=\pm8$。第二步对应中间项：完全平方式的中间项为$\pm2ab$，和原式的$kx$对应，代入$a、b$的值即可算出$k$的取值，注意两种情况都要考虑，不能漏解。
【解析】
解：
∵ $x^2 + kx + 64$ 是整式的平方，属于完全平方式
其中$x^2=(x)^2$，$64=(\pm8)^2$
∴ 该式可写为$(x+8)^2$或$(x-8)^2$两种形式
分别展开得：
$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$
$(x-8)^2 = x^2 - 16x + 64$
对比原式$x^2 + kx + 64$，可得$k=16$或$k=-16$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，解题的关键是牢记完全平方有和、差两种形式，避免只考虑其中一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
7.把多项式$(m+1)(m-1)+(m-1)$提取公因式$(m-1)$后,余下的部分是 （
A.$m+1$
B.$2m$
C.$2$
D.$m+2$
D
）A.$m+1$
B.$2m$
C.$2$
D.$m+2$
答案
D
解析
【分析】
本题要求提取公因式$(m-1)$后得到余下的部分，解题思路如下：首先明确多项式共有两项，分别是$(m+1)(m-1)$和$(m-1)$，两项都含有公因式$(m-1)$；提取公因式时，每一项都要除以公因式，将所得的商相加作为剩余部分，要注意单独的$(m-1)$这一项除以$(m-1)$后得到的是1，不能遗漏。
【解析】
对多项式$(m+1)(m-1)+(m-1)$提取公因式$(m-1)$：
1. 拆分两项为公因式乘剩余部分的形式：
第一项$(m+1)(m-1) = (m-1) × (m+1)$，第二项$(m-1) = (m-1) × 1$；
2. 提取公因式$(m-1)$，剩余部分相加得：
原式$=(m-1)[(m+1)+1]$；
3. 化简括号内的式子：$(m+1)+1 = m+2$，即提取公因式后余下的部分为$m+2$。
【答案】
D
【知识点】
提取公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，易错点是提取公因式时，原多项式中仅由公因式构成的项，提取后剩余的系数1容易被忽略，从而误选A选项，计算时要注意逐项核对提取公因式后的剩余部分。
【难度系数】
0.7
本题要求提取公因式$(m-1)$后得到余下的部分，解题思路如下：首先明确多项式共有两项，分别是$(m+1)(m-1)$和$(m-1)$，两项都含有公因式$(m-1)$；提取公因式时，每一项都要除以公因式，将所得的商相加作为剩余部分，要注意单独的$(m-1)$这一项除以$(m-1)$后得到的是1，不能遗漏。
【解析】
对多项式$(m+1)(m-1)+(m-1)$提取公因式$(m-1)$：
1. 拆分两项为公因式乘剩余部分的形式：
第一项$(m+1)(m-1) = (m-1) × (m+1)$，第二项$(m-1) = (m-1) × 1$；
2. 提取公因式$(m-1)$，剩余部分相加得：
原式$=(m-1)[(m+1)+1]$；
3. 化简括号内的式子：$(m+1)+1 = m+2$，即提取公因式后余下的部分为$m+2$。
【答案】
D
【知识点】
提取公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，易错点是提取公因式时，原多项式中仅由公因式构成的项，提取后剩余的系数1容易被忽略，从而误选A选项，计算时要注意逐项核对提取公因式后的剩余部分。
【难度系数】
0.7
8.如果$(x-2)(x+3)=x^2+px+q$，那么$p,q$的值分别是（
A.$p=5,q=6$
B.$p=1,q=-6$
C.$p=1,q=6$
D.$p=5,q=-6$
B
）A.$p=5,q=6$
B.$p=1,q=-6$
C.$p=1,q=6$
D.$p=5,q=-6$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先利用多项式乘多项式的运算法则展开等式左边的式子，再将展开后的式子与等式右边的多项式作对比，根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等的规则，即可分别求出p、q的值。
【解析】
先计算等式左边的多项式乘积：
根据多项式乘多项式法则：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，可得
$(x-2)(x+3)=x· x + x·3 + (-2)· x + (-2)×3 = x^2 + 3x - 2x -6$
合并同类项得：$x^2 + x -6$
已知$(x-2)(x+3)=x^2+px+q$，因此$x^2 + x -6 = x^2 + px + q$
对比等式两边同类项的系数：一次项系数对应得$p=1$，常数项对应得$q=-6$
【答案】
B
【知识点】
1.多项式乘多项式运算
2.多项式对应系数相等
【点评】
本题属于整式乘法的基础考查题，核心是掌握多项式乘法的运算规则，计算时要注意各项的符号，避免符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用多项式乘多项式的运算法则展开等式左边的式子，再将展开后的式子与等式右边的多项式作对比，根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等的规则，即可分别求出p、q的值。
【解析】
先计算等式左边的多项式乘积：
根据多项式乘多项式法则：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，可得
$(x-2)(x+3)=x· x + x·3 + (-2)· x + (-2)×3 = x^2 + 3x - 2x -6$
合并同类项得：$x^2 + x -6$
已知$(x-2)(x+3)=x^2+px+q$，因此$x^2 + x -6 = x^2 + px + q$
对比等式两边同类项的系数：一次项系数对应得$p=1$，常数项对应得$q=-6$
【答案】
B
【知识点】
1.多项式乘多项式运算
2.多项式对应系数相等
【点评】
本题属于整式乘法的基础考查题，核心是掌握多项式乘法的运算规则，计算时要注意各项的符号，避免符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
9. 因式分解：$x^3 - x =$
$x(x+1)(x-1)$
.答案
$x(x+1)(x-1)$
解析
【分析】
解决因式分解问题遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题中两项都含有公因式$x$，优先提取公因式；第二步提取公因式后得到$x^2-1$，刚好符合平方差公式的形式，可套用平方差公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，确认每个因式都不能再分解即完成解题。
【解析】
1. 提取公因式$x$：
$x^3 - x = x(x^2 - 1)$
2. 对$x^2-1$套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（其中$a=x$，$b=1$）继续分解：
$x(x^2 - 1) = x(x+1)(x-1)$
3. 检查结果，所有因式均无法再分解，分解完成。
【答案】
$x(x+1)(x-1)$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考查因式分解的基本操作步骤，需牢记先提取公因式再套用对应公式的原则，同时要注意最终结果必须分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.9
解决因式分解问题遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题中两项都含有公因式$x$，优先提取公因式；第二步提取公因式后得到$x^2-1$，刚好符合平方差公式的形式，可套用平方差公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，确认每个因式都不能再分解即完成解题。
【解析】
1. 提取公因式$x$：
$x^3 - x = x(x^2 - 1)$
2. 对$x^2-1$套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（其中$a=x$，$b=1$）继续分解：
$x(x^2 - 1) = x(x+1)(x-1)$
3. 检查结果，所有因式均无法再分解，分解完成。
【答案】
$x(x+1)(x-1)$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考查因式分解的基本操作步骤，需牢记先提取公因式再套用对应公式的原则，同时要注意最终结果必须分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.9
10.计算:$2005^2 - 1994 × 2006 =$
$20061$
.答案
$20061$
解析
【分析】
观察算式中各数的特点，1994、2006都接近2000，2005也接近2000，若直接计算大数的平方和乘法，运算量大易出错。我们可以将1994改写为2000-6，2006改写为2000+6，二者相乘符合平方差公式的结构，再将2005改写为2000+5，用完全平方公式计算它的平方，展开后相同项可以抵消，大幅简化运算，快速得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=2005^2 - (2000 - 6)×(2000 + 6)\\&=(2000 + 5)^2 - (2000^2 - 6^2)\\&=2000^2 + 2×2000×5 + 5^2 - 2000^2 + 36\\&=20000 + 25 + 36\\&=20061\end{aligned}$
【答案】
$20061$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；有理数简便运算
【点评】
本题是整式乘法公式在有理数运算中的典型应用，核心是通过观察数字特征，把较大的数拆成整千数和较小数的和或差，套用乘法公式简化运算，避免了大数直接计算的繁琐，能有效提升计算准确率和速度。
【难度系数】
0.7
观察算式中各数的特点，1994、2006都接近2000，2005也接近2000，若直接计算大数的平方和乘法，运算量大易出错。我们可以将1994改写为2000-6，2006改写为2000+6，二者相乘符合平方差公式的结构，再将2005改写为2000+5，用完全平方公式计算它的平方，展开后相同项可以抵消，大幅简化运算，快速得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=2005^2 - (2000 - 6)×(2000 + 6)\\&=(2000 + 5)^2 - (2000^2 - 6^2)\\&=2000^2 + 2×2000×5 + 5^2 - 2000^2 + 36\\&=20000 + 25 + 36\\&=20061\end{aligned}$
【答案】
$20061$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；有理数简便运算
【点评】
本题是整式乘法公式在有理数运算中的典型应用，核心是通过观察数字特征，把较大的数拆成整千数和较小数的和或差，套用乘法公式简化运算，避免了大数直接计算的繁琐，能有效提升计算准确率和速度。
【难度系数】
0.7
11.已知$x+y=a,xy=b$,则$xy^2 + yx^2 =$
$ab$
.答案
$ab$
解析
【分析】
解题时首先观察待求代数式的结构，发现两项都含有公因式xy，因此先通过提公因式法对代数式进行变形，将其转化为含有已知条件x+y、xy的形式，再利用整体代入的方法代入已知值计算即可，无需单独求解x、y的具体数值，能大幅简化计算过程。
【解析】
先对待求式提取公因式因式分解：
$xy^2 + yx^2 = xy · y + xy · x = xy(x+y)$
已知$x+y=a$，$xy=b$，将两个已知条件整体代入上式，可得：
原式$=b · a = ab$
【答案】
$ab$
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值类的基础题型，重点考察因式分解的应用和整体代入的数学思想，只要熟练掌握提公因式的方法，就能快速将待求式转化为已知条件的组合形式，进而得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察待求代数式的结构，发现两项都含有公因式xy，因此先通过提公因式法对代数式进行变形，将其转化为含有已知条件x+y、xy的形式，再利用整体代入的方法代入已知值计算即可，无需单独求解x、y的具体数值，能大幅简化计算过程。
【解析】
先对待求式提取公因式因式分解：
$xy^2 + yx^2 = xy · y + xy · x = xy(x+y)$
已知$x+y=a$，$xy=b$，将两个已知条件整体代入上式，可得：
原式$=b · a = ab$
【答案】
$ab$
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值类的基础题型，重点考察因式分解的应用和整体代入的数学思想，只要熟练掌握提公因式的方法，就能快速将待求式转化为已知条件的组合形式，进而得到结果。
【难度系数】
0.8
12. 若$4x^2 - mx +9$是一个完全平方式，则m的值是
$\pm12$
.答案
$\pm12$
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方式的两种结构：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。先确定给定式子$4x^2 - mx +9$中平方项对应的a、b的值，再根据中间项的两种可能情况列等式求解m，注意不要遗漏任意一种情况，避免漏解。
【解析】
完全平方公式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
将$4x^2 - mx +9$的首尾两项变形可得：$4x^2=(2x)^2$，$9=3^2$，即对应完全平方公式中的$a=2x$，$b=3$。
根据完全平方式的结构，中间项应为$\pm 2ab=\pm 2× 2x×3=\pm12x$。
对比原式中间项为$-mx$，可得：$-mx=\pm12x$
两边同时除以x（x≠0），得：$-m=\pm12$
解得：$m=\pm12$
【答案】
$\pm12$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 完全平方式的概念
【点评】
本题主要考查完全平方式的应用，解题的关键是明确完全平方式包含“和的平方”与“差的平方”两种形式，易错点是只考虑其中一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆完全平方式的两种结构：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。先确定给定式子$4x^2 - mx +9$中平方项对应的a、b的值，再根据中间项的两种可能情况列等式求解m，注意不要遗漏任意一种情况，避免漏解。
【解析】
完全平方公式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
将$4x^2 - mx +9$的首尾两项变形可得：$4x^2=(2x)^2$，$9=3^2$，即对应完全平方公式中的$a=2x$，$b=3$。
根据完全平方式的结构，中间项应为$\pm 2ab=\pm 2× 2x×3=\pm12x$。
对比原式中间项为$-mx$，可得：$-mx=\pm12x$
两边同时除以x（x≠0），得：$-m=\pm12$
解得：$m=\pm12$
【答案】
$\pm12$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 完全平方式的概念
【点评】
本题主要考查完全平方式的应用，解题的关键是明确完全平方式包含“和的平方”与“差的平方”两种形式，易错点是只考虑其中一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
13. 用简便方法计算：$2001^2 - 4002 × 2000 + 2000^2 =$
$1$
答案
$1$
解析
【分析】
观察算式中的数字特征，可发现4002恰好等于2×2001，变形后算式的结构和完全平方差公式$a^2-2ab+b^2$的形式完全匹配。我们可以先将4002改写为$2×2001$，再套用完全平方差公式计算，无需直接计算大数的平方，大幅降低计算量。
【解析】
解：$\begin{aligned}原式&=2001^2 - 2×2001×2000 + 2000^2\\&=(2001-2000)^2 \quad \mathrm{（套用完全平方差公式）}\\&=1^2\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
完全平方公式，简便运算
【点评】
本题的解题关键是识别算式的结构特点，通过对中间项系数的合理变形，将原式转化为完全平方公式的标准形式，避开复杂的大数乘法运算，快速得到结果。
【难度系数】
0.7
观察算式中的数字特征，可发现4002恰好等于2×2001，变形后算式的结构和完全平方差公式$a^2-2ab+b^2$的形式完全匹配。我们可以先将4002改写为$2×2001$，再套用完全平方差公式计算，无需直接计算大数的平方，大幅降低计算量。
【解析】
解：$\begin{aligned}原式&=2001^2 - 2×2001×2000 + 2000^2\\&=(2001-2000)^2 \quad \mathrm{（套用完全平方差公式）}\\&=1^2\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
完全平方公式，简便运算
【点评】
本题的解题关键是识别算式的结构特点，通过对中间项系数的合理变形，将原式转化为完全平方公式的标准形式，避开复杂的大数乘法运算，快速得到结果。
【难度系数】
0.7
14. 一个正方形的面积为$x^2 +4x +4(x＞0)$,则它的边长为
$x+2$
.答案
$x+2$
解析
【分析】
解题思路：首先回忆正方形的面积公式，正方形的面积等于边长的平方，因此需要把给出的面积对应的多项式转化为某个整式的平方形式，也就是对$x^2+4x+4$进行因式分解。观察这个多项式的特征，它符合完全平方和公式的结构，分解完成后结合$x＞0$的条件，取正的结果就是正方形的边长。
【解析】
解：设正方形的边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得$S=a^2$，已知面积为$x^2+4x+4$。
利用完全平方和公式对多项式因式分解：
$x^2+4x+4 = x^2 + 2× x×2 + 2^2 = (x+2)^2$
因为$x＞0$，所以$x+2＞0$，满足边长为正数的要求，因此正方形的边长$a=x+2$。
【答案】
$x+2$
【知识点】
完全平方公式因式分解；正方形面积公式
【点评】
本题是基础应用型题目，将几何图形的面积公式和因式分解的知识结合考察，只要熟练掌握完全平方公式的结构特征，结合边长为正的隐含条件以及题目给出的$x＞0$的限定，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆正方形的面积公式，正方形的面积等于边长的平方，因此需要把给出的面积对应的多项式转化为某个整式的平方形式，也就是对$x^2+4x+4$进行因式分解。观察这个多项式的特征，它符合完全平方和公式的结构，分解完成后结合$x＞0$的条件，取正的结果就是正方形的边长。
【解析】
解：设正方形的边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得$S=a^2$，已知面积为$x^2+4x+4$。
利用完全平方和公式对多项式因式分解：
$x^2+4x+4 = x^2 + 2× x×2 + 2^2 = (x+2)^2$
因为$x＞0$，所以$x+2＞0$，满足边长为正数的要求，因此正方形的边长$a=x+2$。
【答案】
$x+2$
【知识点】
完全平方公式因式分解；正方形面积公式
【点评】
本题是基础应用型题目，将几何图形的面积公式和因式分解的知识结合考察，只要熟练掌握完全平方公式的结构特征，结合边长为正的隐含条件以及题目给出的$x＞0$的限定，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.8
