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三、解答题
15. 用提公因式法分解因式：
(1)$a^2 - 2ab$；
(2)$x - 3x^3$。
15. 用提公因式法分解因式：
(1)$a^2 - 2ab$；
(2)$x - 3x^3$。
答案
(1)$a(a-2b)$
(2)$x(1-3x^2)$
(2)$x(1-3x^2)$
解析
【分析】
使用提公因式法分解因式的核心思路分两步：第一步先准确找出多项式各项的公因式，找公因式的方法为：先取各项系数的最大公约数，再取各项都含有的相同字母的最低次幂，两部分的乘积就是公因式；第二步将公因式提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，把得到的结果作为括号内的项即可。
针对本题两个小题：(1)多项式$a^2-2ab$的两项系数最大公约数为1，共有的相同字母是$a$且最低次幂是1次，因此公因式是$a$，提取后计算剩余项即可。(2)多项式$x-3x^3$的两项系数最大公约数为1，共有的相同字母是$x$且最低次幂是1次，因此公因式是$x$，注意提取后第一项$x$除以$x$得到1，不能遗漏。
【解析】
(1) 确定公因式为$a$，则：
$a^2 - 2ab = a· a - a· 2b = a(a-2b)$
(2) 确定公因式为$x$，则：
$x - 3x^3 = x·1 - x· 3x^2 = x(1-3x^2)$
【答案】
(1)$a(a-2b)$
(2)$x(1-3x^2)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题，主要考查提公因式法的基本应用，解题时需注意公因式要找完整，提取公因式后剩余的项不能漏写，尤其当多项式的某一项恰好是公因式本身时，提取后剩余的1不可省略。
【难度系数】
0.9
使用提公因式法分解因式的核心思路分两步：第一步先准确找出多项式各项的公因式，找公因式的方法为：先取各项系数的最大公约数，再取各项都含有的相同字母的最低次幂，两部分的乘积就是公因式；第二步将公因式提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，把得到的结果作为括号内的项即可。
针对本题两个小题：(1)多项式$a^2-2ab$的两项系数最大公约数为1，共有的相同字母是$a$且最低次幂是1次，因此公因式是$a$，提取后计算剩余项即可。(2)多项式$x-3x^3$的两项系数最大公约数为1，共有的相同字母是$x$且最低次幂是1次，因此公因式是$x$，注意提取后第一项$x$除以$x$得到1，不能遗漏。
【解析】
(1) 确定公因式为$a$，则：
$a^2 - 2ab = a· a - a· 2b = a(a-2b)$
(2) 确定公因式为$x$，则：
$x - 3x^3 = x·1 - x· 3x^2 = x(1-3x^2)$
【答案】
(1)$a(a-2b)$
(2)$x(1-3x^2)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题，主要考查提公因式法的基本应用，解题时需注意公因式要找完整，提取公因式后剩余的项不能漏写，尤其当多项式的某一项恰好是公因式本身时，提取后剩余的1不可省略。
【难度系数】
0.9
16. 用公式法分解因式：
(1)$x^2y^2 - 4xy^2 + 4y^2$；
(2)$4(x + y)^2 - 20(x + y) + 25$。
(1)$x^2y^2 - 4xy^2 + 4y^2$；
(2)$4(x + y)^2 - 20(x + y) + 25$。
答案
(1) 原式$= y^2(x^2 -4x +4) = y^2(x-2)^2$
(2) 原式$=(2x+2y-5)^2$
(2) 原式$=(2x+2y-5)^2$
解析
【分析】
解决这两道因式分解题，需遵循因式分解的常规步骤：先观察多项式是否存在公因式，有公因式优先提取公因式，再判断剩余部分是否符合乘法公式的特征，套用公式完成分解即可。
(1) 观察原式各项，均含有公因式$y^2$，先提取公因式后，剩余的二次三项式刚好符合完全平方差公式的结构特征，代入公式即可完成分解。
(2) 可将$(x+y)$看作一个整体，观察发现原式符合"首平方、尾平方，二倍乘积在中央"的完全平方差公式特征，直接套用公式后化简即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$y^2$：
原式$= y^2(x^2 - 4x + 4)$
剩余部分$x^2-4x+4$符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（此处$a=x$，$b=2$），因此：
$= y^2(x-2)^2$
(2) 将$(x+y)$看作整体，原式变形为：
原式$=[2(x+y)]^2 - 2× 2(x+y)×5 + 5^2$
符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（此处$a=2(x+y)$，$b=5$），代入得：
$=[2(x+y)-5]^2$
去括号化简得：
$=(2x+2y-5)^2$
【答案】
(1) $y^2(x-2)^2$
(2) $(2x+2y-5)^2$
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式，整体代换思想
【点评】
这两道是因式分解的基础典型题，解题时要牢记因式分解的优先顺序：先提公因式，再用公式法验证，遇到重复出现的多项式整体时可将其看作单独的项简化判断，注意最终分解结果要保证不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
解决这两道因式分解题，需遵循因式分解的常规步骤：先观察多项式是否存在公因式，有公因式优先提取公因式，再判断剩余部分是否符合乘法公式的特征，套用公式完成分解即可。
(1) 观察原式各项，均含有公因式$y^2$，先提取公因式后，剩余的二次三项式刚好符合完全平方差公式的结构特征，代入公式即可完成分解。
(2) 可将$(x+y)$看作一个整体，观察发现原式符合"首平方、尾平方，二倍乘积在中央"的完全平方差公式特征，直接套用公式后化简即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$y^2$：
原式$= y^2(x^2 - 4x + 4)$
剩余部分$x^2-4x+4$符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（此处$a=x$，$b=2$），因此：
$= y^2(x-2)^2$
(2) 将$(x+y)$看作整体，原式变形为：
原式$=[2(x+y)]^2 - 2× 2(x+y)×5 + 5^2$
符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（此处$a=2(x+y)$，$b=5$），代入得：
$=[2(x+y)-5]^2$
去括号化简得：
$=(2x+2y-5)^2$
【答案】
(1) $y^2(x-2)^2$
(2) $(2x+2y-5)^2$
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式，整体代换思想
【点评】
这两道是因式分解的基础典型题，解题时要牢记因式分解的优先顺序：先提公因式，再用公式法验证，遇到重复出现的多项式整体时可将其看作单独的项简化判断，注意最终分解结果要保证不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
17. 若$x^2 + 2x + y^2 - 6y + 10 = 0$,试求$x,y$的值.
答案
原式$=(x^2+2x+1)+(y^2-6y+9)=(x+1)^2+(y-3)^2=0$,又因为$(x+1)^2\ge0$,$(y-3)^2\ge0$,所以$x+1=0$,$y-3=0$,所以$x=-1$,$y=3$.
解析
【分析】
观察等式左边的式子，包含x的二次项、一次项，y的二次项、一次项和常数项，我们可以结合完全平方公式的结构特点，把常数项10拆成1和9，分别和x的相关项、y的相关项组合，凑成两个完全平方式的和。再根据平方数的非负性，两个非负数相加等于0时，每个非负数都为0，即可求出x、y的值。
【解析】
解：对原式左边变形，将常数项10拆分为1+9：
$\begin{aligned}x^2 + 2x + y^2 - 6y + 10&=0\\(x^2+2x+1)+(y^2-6y+9)&=0\\(x+1)^2 + (y-3)^2&=0\end{aligned}$
因为任意数的平方都是非负数，所以$(x+1)^2\ge0$，$(y-3)^2\ge0$。
两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$x+1=0$，解得$x=-1$；
$y-3=0$，解得$y=3$。
【答案】
$x=-1,y=3$
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，配方法
【点评】
本题是代数式变形的典型习题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，合理拆分常数项凑出完全平方式，再结合非负数的性质求解，掌握方法后难度较低。
【难度系数】
0.7
观察等式左边的式子，包含x的二次项、一次项，y的二次项、一次项和常数项，我们可以结合完全平方公式的结构特点，把常数项10拆成1和9，分别和x的相关项、y的相关项组合，凑成两个完全平方式的和。再根据平方数的非负性，两个非负数相加等于0时，每个非负数都为0，即可求出x、y的值。
【解析】
解：对原式左边变形，将常数项10拆分为1+9：
$\begin{aligned}x^2 + 2x + y^2 - 6y + 10&=0\\(x^2+2x+1)+(y^2-6y+9)&=0\\(x+1)^2 + (y-3)^2&=0\end{aligned}$
因为任意数的平方都是非负数，所以$(x+1)^2\ge0$，$(y-3)^2\ge0$。
两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$x+1=0$，解得$x=-1$；
$y-3=0$，解得$y=3$。
【答案】
$x=-1,y=3$
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，配方法
【点评】
本题是代数式变形的典型习题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，合理拆分常数项凑出完全平方式，再结合非负数的性质求解，掌握方法后难度较低。
【难度系数】
0.7
18.已知$x^2 -4=0$，求代数式$x(x+1)^2 -x(x^2 +x)-x -7$的值.
答案
原式$=x(x^2+2x+1)-x(x^2+x)-x-7=x(x^2+x)+x(x+1)-x(x^2+x)-x-7=x^2+x-x-7=x^2-7$,因为$x^2-4=0$,所以$x^2=4$,所以原式$=4-7=-3$.
解析
【分析】
本题属于代数式求值类题目，若先求解x的取值再代入原式计算过程繁琐，因此优先选择“先化简、再代入”的思路解题。第一步先利用完全平方公式展开$(x+1)^2$，第二步去括号后合并同类项将代数式化到最简，最后结合已知条件得出$x^2=4$，整体代入最简式即可快速算出结果。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}x(x+1)^2 -x(x^2 +x)-x -7&=x(x^2+2x+1)-x(x^2+x)-x-7\\&=x(x^2+x)+x(x+1)-x(x^2+x)-x-7\\&=x^2+x-x-7\\&=x^2 -7\end{aligned}$
已知$x^2 -4=0$，因此$x^2=4$，将$x^2=4$代入化简后的式子：
原式$=4-7=-3$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
整式化简求值，完全平方公式，整体代入思想
【点评】
本题考查整式运算与代数式求值的结合，解题核心是先化简代数式再代入计算，通过整体代入已知条件的方式可以避免求解x的取值，简化计算流程，是代数式求值类问题的常用解题方法。
【难度系数】
0.8
本题属于代数式求值类题目，若先求解x的取值再代入原式计算过程繁琐，因此优先选择“先化简、再代入”的思路解题。第一步先利用完全平方公式展开$(x+1)^2$，第二步去括号后合并同类项将代数式化到最简，最后结合已知条件得出$x^2=4$，整体代入最简式即可快速算出结果。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}x(x+1)^2 -x(x^2 +x)-x -7&=x(x^2+2x+1)-x(x^2+x)-x-7\\&=x(x^2+x)+x(x+1)-x(x^2+x)-x-7\\&=x^2+x-x-7\\&=x^2 -7\end{aligned}$
已知$x^2 -4=0$，因此$x^2=4$，将$x^2=4$代入化简后的式子：
原式$=4-7=-3$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
整式化简求值，完全平方公式，整体代入思想
【点评】
本题考查整式运算与代数式求值的结合，解题核心是先化简代数式再代入计算，通过整体代入已知条件的方式可以避免求解x的取值，简化计算流程，是代数式求值类问题的常用解题方法。
【难度系数】
0.8
