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答案见P09
有理数的运算
运算法则
加法
同号两数相加
绝对值不相等的异号两数相加
互为①
一个数与0相加
减法
减去一个数，等于加这个数的相反数
乘法
两数相乘，同号得②
任何数与0相乘，都得④
除法
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的⑤
乘方
正数的任何次幂都是⑥
负数的奇次幂是⑦
0的任何正整数次幂都是0
运算律
交换律
$a+b=b+a$，$ab=ba$
结合律
$(a+b)+c=a+(b+c)$，$(ab)c=a(bc)$
分配律
$a(b+c)=⑨$
答案见P09
有理数的运算
运算法则
加法
同号两数相加
绝对值不相等的异号两数相加
互为①
相反数
的两数相加一个数与0相加
减法
减去一个数，等于加这个数的相反数
乘法
两数相乘，同号得②
正
，异号得③负
，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积任何数与0相乘，都得④
0
除法
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的⑤
倒数
乘方
正数的任何次幂都是⑥
正数
负数的奇次幂是⑦
负数
，负数的偶次幂是⑧正数
0的任何正整数次幂都是0
运算律
交换律
$a+b=b+a$，$ab=ba$
结合律
$(a+b)+c=a+(b+c)$，$(ab)c=a(bc)$
分配律
$a(b+c)=⑨$
$ab+ac$
答案
①相反数 ②正 ③负 ④0 ⑤倒数 ⑥正数 ⑦负数 ⑧正数 ⑨$ab+ac$
解析
【分析】
本题考查有理数运算的相关基础法则与运算律，属于识记类基础题，解题时只需要逐一对应有理数加法、乘法、除法、乘方的运算法则，以及乘法分配律的内容，回忆对应知识点直接填空即可。
【解析】
①根据有理数加法法则的分类，互为相反数的两个数相加和为0，因此此处填相反数；
②根据有理数乘法的符号法则：两数相乘，同号得正，因此此处填正；
③根据有理数乘法的符号法则：两数相乘，异号得负，因此此处填负；
④根据乘法的性质，任何数与0相乘，结果都为0，因此此处填0；
⑤根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，因此此处填倒数；
⑥根据乘方的符号规律：正数的任何次幂都是正数，因此此处填正数；
⑦根据乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，因此此处填负数；
⑧根据乘方的符号规律：负数的偶次幂是正数，因此此处填正数；
⑨根据乘法分配律的字母表示，$a(b+c)=ab+ac$，因此此处填$ab+ac$。
【答案】
①相反数 ②正 ③负 ④0 ⑤倒数 ⑥正数 ⑦负数 ⑧正数 ⑨$ab+ac$
【知识点】
有理数运算法则、有理数运算律、乘方的性质
【点评】
本题是有理数运算的基础概念考查题，所涉及的法则和运算律是所有有理数运算的核心基础，熟练掌握这些内容才能准确进行后续的混合运算、整式运算等相关计算。
【难度系数】
0.9
本题考查有理数运算的相关基础法则与运算律，属于识记类基础题，解题时只需要逐一对应有理数加法、乘法、除法、乘方的运算法则，以及乘法分配律的内容，回忆对应知识点直接填空即可。
【解析】
①根据有理数加法法则的分类，互为相反数的两个数相加和为0，因此此处填相反数；
②根据有理数乘法的符号法则：两数相乘，同号得正，因此此处填正；
③根据有理数乘法的符号法则：两数相乘，异号得负，因此此处填负；
④根据乘法的性质，任何数与0相乘，结果都为0，因此此处填0；
⑤根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，因此此处填倒数；
⑥根据乘方的符号规律：正数的任何次幂都是正数，因此此处填正数；
⑦根据乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，因此此处填负数；
⑧根据乘方的符号规律：负数的偶次幂是正数，因此此处填正数；
⑨根据乘法分配律的字母表示，$a(b+c)=ab+ac$，因此此处填$ab+ac$。
【答案】
①相反数 ②正 ③负 ④0 ⑤倒数 ⑥正数 ⑦负数 ⑧正数 ⑨$ab+ac$
【知识点】
有理数运算法则、有理数运算律、乘方的性质
【点评】
本题是有理数运算的基础概念考查题，所涉及的法则和运算律是所有有理数运算的核心基础，熟练掌握这些内容才能准确进行后续的混合运算、整式运算等相关计算。
【难度系数】
0.9
1.下列运算中,正确的是 （
A.$(-5)+9=-(9-5)$
B.$7-(-10)=7-10$
C.$(-5)×0=-5$
D.$(-8)÷(-4)=8÷4$
D
）A.$(-5)+9=-(9-5)$
B.$7-(-10)=7-10$
C.$(-5)×0=-5$
D.$(-8)÷(-4)=8÷4$
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查有理数的四则基本运算，解题时只需逐个选项对应运算法则计算，判断左右两边是否相等即可。我们可以先回忆有理数加减、乘除的运算规则：异号两数相加的计算方法、去括号的变号规则、0乘任何数的结果、同号两数相除的符号规则，依次验证每个选项就能得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：左边$(-5)+9$是异号两数相加，取绝对值较大的正数的符号，用大的绝对值减小的绝对值，结果为$9-5=4$；右边$-(9-5)=-4$，左右两边不相等，A错误。
B选项：减去一个负数等于加上这个数的相反数，因此左边$7-(-10)=7+10=17$；右边$7-10=-3$，左右两边不相等，B错误。
C选项：任何数和0相乘都得0，因此左边$(-5)×0=0≠-5$，C错误。
D选项：两个负数相除，商为正数，等于两数的绝对值相除，因此左边$(-8)÷(-4)=2$，右边$8÷4=2$，左右两边相等，D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数加减运算，有理数乘除运算，去括号法则
【点评】
本题属于基础常考题，主要考察有理数四则运算的基本规则，熟练掌握运算法则、注意运算过程中的符号变化即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
这道题考查有理数的四则基本运算，解题时只需逐个选项对应运算法则计算，判断左右两边是否相等即可。我们可以先回忆有理数加减、乘除的运算规则：异号两数相加的计算方法、去括号的变号规则、0乘任何数的结果、同号两数相除的符号规则，依次验证每个选项就能得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：左边$(-5)+9$是异号两数相加，取绝对值较大的正数的符号，用大的绝对值减小的绝对值，结果为$9-5=4$；右边$-(9-5)=-4$，左右两边不相等，A错误。
B选项：减去一个负数等于加上这个数的相反数，因此左边$7-(-10)=7+10=17$；右边$7-10=-3$，左右两边不相等，B错误。
C选项：任何数和0相乘都得0，因此左边$(-5)×0=0≠-5$，C错误。
D选项：两个负数相除，商为正数，等于两数的绝对值相除，因此左边$(-8)÷(-4)=2$，右边$8÷4=2$，左右两边相等，D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数加减运算，有理数乘除运算，去括号法则
【点评】
本题属于基础常考题，主要考察有理数四则运算的基本规则，熟练掌握运算法则、注意运算过程中的符号变化即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
2.当算式“−3□1”的值最小时，“□”中填入的运算符号是（
A.+
B.−
C.×
D.÷
B
）A.+
B.−
C.×
D.÷
答案
2.B
解析
【分析】
要找到让“−3□1”值最小的运算符号，我们可以用代入验证的思路：先把四个选项的运算符号分别代入式子算出结果，再比较所有结果的大小，最小结果对应的运算符号就是正确答案。
【解析】
我们逐个计算每个选项对应的结果：
A. 填入“+”时：$-3 + 1 = -2$
B. 填入“−”时：$-3 - 1 = -4$
C. 填入“×”时：$-3 × 1 = -3$
D. 填入“÷”时：$-3 ÷ 1 = -3$
接下来比较结果的大小：负数比较大小时，绝对值越大的数越小，因此$-4 ＜ -3 = -3 ＜ -2$，最小的结果是-4，对应的运算符号是“−”。
【答案】
B
【知识点】
有理数四则运算；有理数大小比较
【点评】
本题是基础运算类题目，解题核心是通过代入法逐个计算不同运算的结果，再比较大小即可，计算时注意遵守负数的运算规则就能避免出错。
【难度系数】
0.8
要找到让“−3□1”值最小的运算符号，我们可以用代入验证的思路：先把四个选项的运算符号分别代入式子算出结果，再比较所有结果的大小，最小结果对应的运算符号就是正确答案。
【解析】
我们逐个计算每个选项对应的结果：
A. 填入“+”时：$-3 + 1 = -2$
B. 填入“−”时：$-3 - 1 = -4$
C. 填入“×”时：$-3 × 1 = -3$
D. 填入“÷”时：$-3 ÷ 1 = -3$
接下来比较结果的大小：负数比较大小时，绝对值越大的数越小，因此$-4 ＜ -3 = -3 ＜ -2$，最小的结果是-4，对应的运算符号是“−”。
【答案】
B
【知识点】
有理数四则运算；有理数大小比较
【点评】
本题是基础运算类题目，解题核心是通过代入法逐个计算不同运算的结果，再比较大小即可，计算时注意遵守负数的运算规则就能避免出错。
【难度系数】
0.8
3.下列各组数中,数值相等的一组是 （
A.$-(-1)$与$-|-1|$
B.$-3^2$与$(-3)^2$
C.$(-4)^3$与$-4^3$
D.$\frac{2^2}{3}$与$(\frac{2}{3})^2$
C
）A.$-(-1)$与$-|-1|$
B.$-3^2$与$(-3)^2$
C.$(-4)^3$与$-4^3$
D.$\frac{2^2}{3}$与$(\frac{2}{3})^2$
答案
3.C
解析
【分析】
本题要求选出数值相等的一组数，解题思路是逐一计算每个选项中两个式子的结果，再对比结果是否相同。计算时要注意三类易错规则：①相反数的计算，负负得正；②绝对值的化简，正数的绝对值是它本身，再添负号要变号；③乘方运算的顺序，底数不带括号时，负号不属于底数，先算乘方再添负号；底数带括号时，负号属于底数，要整体参与乘方运算，通过逐个排除错误选项就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个计算各选项的两个数值：
A选项：$-(-1)=1$，$-|-1|=-1$，$1≠-1$，两组数不相等，排除A；
B选项：$-3^2=-(3×3)=-9$，$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，$-9≠9$，两组数不相等，排除B；
C选项：$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)=-64$，$-4^3=-(4×4×4)=-64$，两数相等，符合要求；
D选项：$\frac{2^2}{3}=\frac{2×2}{3}=\frac{4}{3}$，$(\frac{2}{3})^2=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，$\frac{4}{3}≠\frac{4}{9}$，两组数不相等，排除D。
【答案】
C
【知识点】
乘方运算，绝对值化简，相反数运算
【点评】
本题是有理数基础运算的常考题，核心考查运算顺序和符号处理规则，只要区分清楚乘方运算中括号对底数的影响，熟练掌握相反数、绝对值的化简方法，就能避免出错。
【难度系数】
0.7
本题要求选出数值相等的一组数，解题思路是逐一计算每个选项中两个式子的结果，再对比结果是否相同。计算时要注意三类易错规则：①相反数的计算，负负得正；②绝对值的化简，正数的绝对值是它本身，再添负号要变号；③乘方运算的顺序，底数不带括号时，负号不属于底数，先算乘方再添负号；底数带括号时，负号属于底数，要整体参与乘方运算，通过逐个排除错误选项就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个计算各选项的两个数值：
A选项：$-(-1)=1$，$-|-1|=-1$，$1≠-1$，两组数不相等，排除A；
B选项：$-3^2=-(3×3)=-9$，$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，$-9≠9$，两组数不相等，排除B；
C选项：$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)=-64$，$-4^3=-(4×4×4)=-64$，两数相等，符合要求；
D选项：$\frac{2^2}{3}=\frac{2×2}{3}=\frac{4}{3}$，$(\frac{2}{3})^2=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，$\frac{4}{3}≠\frac{4}{9}$，两组数不相等，排除D。
【答案】
C
【知识点】
乘方运算，绝对值化简，相反数运算
【点评】
本题是有理数基础运算的常考题，核心考查运算顺序和符号处理规则，只要区分清楚乘方运算中括号对底数的影响，熟练掌握相反数、绝对值的化简方法，就能避免出错。
【难度系数】
0.7
4.定义了一种新运算“⊕”，规则如下：$a\oplus b = a× b - 2× a$。$(-2)\oplus 3$的值为（
A.−2
B.−10
C.2
D.10
A
）A.−2
B.−10
C.2
D.10
答案
4.A [解析] 因为 $a\oplus b=a×b-2×a,所以(-2)\oplus 3=(-2)×3-2×(-2)=(-6)-(-4)=-2.$
解析
【分析】
遇到新定义运算类题目，第一步要先明确给出的运算规则，找到运算符号前后的数分别对应规则里的哪个字母。本题中⊕前面的数是-2，对应规则里的a，后面的数是3，对应规则里的b，接下来把a=-2、b=3代入给出的运算公式，再按照有理数的运算顺序计算即可，计算时要注意负数的运算符号不要出错。
【解析】
根据新运算规则$a\oplus b = a× b - 2× a$，计算$(-2)\oplus 3$时，$a=-2$，$b=3$，代入公式得：
$\begin{aligned}(-2)\oplus 3 &= (-2)×3 - 2×(-2) \\&= -6 - (-4) \\&= -6 + 4 \\&= -2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义运算的基础题，主要考查对新运算规则的理解能力和有理数运算的准确性，做题时只要找准对应数值，仔细处理运算符号即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
遇到新定义运算类题目，第一步要先明确给出的运算规则，找到运算符号前后的数分别对应规则里的哪个字母。本题中⊕前面的数是-2，对应规则里的a，后面的数是3，对应规则里的b，接下来把a=-2、b=3代入给出的运算公式，再按照有理数的运算顺序计算即可，计算时要注意负数的运算符号不要出错。
【解析】
根据新运算规则$a\oplus b = a× b - 2× a$，计算$(-2)\oplus 3$时，$a=-2$，$b=3$，代入公式得：
$\begin{aligned}(-2)\oplus 3 &= (-2)×3 - 2×(-2) \\&= -6 - (-4) \\&= -6 + 4 \\&= -2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义运算的基础题，主要考查对新运算规则的理解能力和有理数运算的准确性，做题时只要找准对应数值，仔细处理运算符号即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
5.下列说法正确的是 （
A.若用科学记数法表示的近似数为 $3.14 × 10^5$，则原数为31 400 000
B.近似数 $3.14 × 10^5$ 精确到十分位
C.数123 000用科学记数法表示为 $123 × 1000$
D.近似数 $3.14 × 10^5$ 精确到千位
D
）A.若用科学记数法表示的近似数为 $3.14 × 10^5$，则原数为31 400 000
B.近似数 $3.14 × 10^5$ 精确到十分位
C.数123 000用科学记数法表示为 $123 × 1000$
D.近似数 $3.14 × 10^5$ 精确到千位
答案
5.D [解析] 若用科学记数法表示的近似数为 $3.14×10^5$,设原数为 $a$,则 $3.135×10^5≤ a＜3.145×10^5$,A选项不符合题意；
近似数 $3.14×10^5$ 精确到千位,B选项不符合题意,D选项符合题意；
数 123 000 用科学记数法表示为 $1.23×10^5$,C选项不符合题意.
近似数 $3.14×10^5$ 精确到千位,B选项不符合题意,D选项符合题意；
数 123 000 用科学记数法表示为 $1.23×10^5$,C选项不符合题意.
解析
【分析】
这道题考查科学记数法的相关概念和近似数精确度的判断，解题时我们可以逐个分析选项：第一步先明确科学记数法的规范形式是$a × 10^n$，其中$1≤ |a| ＜10$，n为整数；第二步判断近似数的精确度时，需要先把科学记数法表示的数还原成原数，再看$a$的最后一位数字对应原数的哪一位，就是精确到哪一位，最后对比选项选出正确答案即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$3.14 × 10^5 = 3.14 × 100000 = 314000$，且近似数的原数是一个范围（$3.135×10^5≤$原数$＜3.145×10^5$），不是固定的31400000，故A不符合题意；
B选项：将$3.14×10^5$还原为314000，其中$3.14$的最后一位数字4对应原数的千位，因此该近似数精确到千位，不是十分位，故B不符合题意；
C选项：科学记数法要求$1≤ a ＜10$，123000用科学记数法应表示为$1.23×10^5$，故C不符合题意；
D选项：结合B选项的分析可知，近似数$3.14×10^5$精确到千位，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法；近似数的精确度
【点评】
本题是科学记数法和近似数的基础考查题，易错点是判断科学记数法表示的近似数的精确度时，容易直接看$a$的小数位判断，忽略要还原原数看对应数位的要求，掌握相关规则就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
这道题考查科学记数法的相关概念和近似数精确度的判断，解题时我们可以逐个分析选项：第一步先明确科学记数法的规范形式是$a × 10^n$，其中$1≤ |a| ＜10$，n为整数；第二步判断近似数的精确度时，需要先把科学记数法表示的数还原成原数，再看$a$的最后一位数字对应原数的哪一位，就是精确到哪一位，最后对比选项选出正确答案即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$3.14 × 10^5 = 3.14 × 100000 = 314000$，且近似数的原数是一个范围（$3.135×10^5≤$原数$＜3.145×10^5$），不是固定的31400000，故A不符合题意；
B选项：将$3.14×10^5$还原为314000，其中$3.14$的最后一位数字4对应原数的千位，因此该近似数精确到千位，不是十分位，故B不符合题意；
C选项：科学记数法要求$1≤ a ＜10$，123000用科学记数法应表示为$1.23×10^5$，故C不符合题意；
D选项：结合B选项的分析可知，近似数$3.14×10^5$精确到千位，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法；近似数的精确度
【点评】
本题是科学记数法和近似数的基础考查题，易错点是判断科学记数法表示的近似数的精确度时，容易直接看$a$的小数位判断，忽略要还原原数看对应数位的要求，掌握相关规则就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
