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7.(浙江杭州滨江区期末)计算：$\underbrace{3+3+\dots+3}_{n个3} + \underbrace{2×2×\dots×2}_{m个2} =$（
A.$3n+2^m$
B.$n^3+2m$
C.$3^n+2m$
D.$3n+m^2$
A
）A.$3n+2^m$
B.$n^3+2m$
C.$3^n+2m$
D.$3n+m^2$
答案
7.A [解析]由乘法的意义可得,n个3相加可表示为3n,由乘方的意义可得,m个2相乘可表示为$2^m$,将两部分相加,结果为$3n+2^m$。
解析
【分析】
解题时可以分两步处理式子的两部分：第一步先看n个3相加，我们学过求几个相同加数的和可以用乘法简便计算，所以先把这部分转化为乘法形式；第二步看m个2相乘，求几个相同因数的乘积可以用乘方来表示，再把这两部分的结果相加，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
首先计算第一部分：n个3相加，根据乘法的意义，求几个相同加数的和的简便运算就是乘法，因此n个3相加可写作：$3 × n = 3n$；
再计算第二部分：m个2相乘，根据乘方的意义，求几个相同因数的积的运算叫做乘方，相同的因数是底数，因数的个数是指数，因此m个2相乘可写作：$2^m$；
将两部分相加，最终结果为$3n + 2^m$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
乘法的意义；乘方的意义
【点评】
本题核心是区分相同数相加与相同数相乘的不同表示形式，只要准确掌握乘法和乘方的基本概念，就能轻松选出答案，要注意避免将“几个几相加”和“几个几相乘”的概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题时可以分两步处理式子的两部分：第一步先看n个3相加，我们学过求几个相同加数的和可以用乘法简便计算，所以先把这部分转化为乘法形式；第二步看m个2相乘，求几个相同因数的乘积可以用乘方来表示，再把这两部分的结果相加，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
首先计算第一部分：n个3相加，根据乘法的意义，求几个相同加数的和的简便运算就是乘法，因此n个3相加可写作：$3 × n = 3n$；
再计算第二部分：m个2相乘，根据乘方的意义，求几个相同因数的积的运算叫做乘方，相同的因数是底数，因数的个数是指数，因此m个2相乘可写作：$2^m$；
将两部分相加，最终结果为$3n + 2^m$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
乘法的意义；乘方的意义
【点评】
本题核心是区分相同数相加与相同数相乘的不同表示形式，只要准确掌握乘法和乘方的基本概念，就能轻松选出答案，要注意避免将“几个几相加”和“几个几相乘”的概念混淆。
【难度系数】
0.8
8.(江苏扬州月考)观察下列算式：$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64,2^7=128,2^8=256,···$.根据上述算式中的规律，$2^{2026}$的末位数字是
4
.答案
8.4 [解析]观察算式发现末尾数字按照2,4,8,6的顺序,每四个数循环一次。因为2 026÷4=506……2,所以$2^{2026}$的末位数字是4。
解析
【分析】
解题时先观察给出的2的幂次的末位数字，可发现末位数字按2、4、8、6的顺序循环出现，每4次为一个周期。要确定$2^{2026}$的末位数字，只需计算2026除以周期长度4的余数，余数对应周期中的第几个数，结果就是对应的末位数字。
【解析】
观察已知算式可得，$2^n$的末位数字按2、4、8、6的顺序每4个数为一个周期循环。
计算2026除以4：$2026÷4=506······2$，即2026里包含506个完整周期，还余下2个。
所以$2^{2026}$的末位数字对应周期中的第2个数字，也就是4。
【答案】
4
【知识点】
数字规律探究；周期问题；乘方认识
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，核心是通过观察归纳出末位数字的循环周期，再结合除法的余数判断结果，能很好地锻炼学生的观察和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察给出的2的幂次的末位数字，可发现末位数字按2、4、8、6的顺序循环出现，每4次为一个周期。要确定$2^{2026}$的末位数字，只需计算2026除以周期长度4的余数，余数对应周期中的第几个数，结果就是对应的末位数字。
【解析】
观察已知算式可得，$2^n$的末位数字按2、4、8、6的顺序每4个数为一个周期循环。
计算2026除以4：$2026÷4=506······2$，即2026里包含506个完整周期，还余下2个。
所以$2^{2026}$的末位数字对应周期中的第2个数字，也就是4。
【答案】
4
【知识点】
数字规律探究；周期问题；乘方认识
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，核心是通过观察归纳出末位数字的循环周期，再结合除法的余数判断结果，能很好地锻炼学生的观察和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
9.练思维·规律探究 阅读材料：
计算:$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots+2^{2024}+2^{2025}$.
解:设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots+2^{2024}+2^{2025}$.①
等式两边同时乘2,得
$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+\dots+2^{2025}+2^{2026}$.②
由②$-$①,得$2S-S=2^{2026}-1$,
则$S=2^{2026}-1$,即$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots+2^{2024}+2^{2025}=2^{2026}-1$.
请你仿照此法回答下列问题:
(1)填空:$1+2+2^{2}+2^{3}=$
(2)计算:$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots+2^{9}+2^{10}$;
(3)计算:$1+\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^{2}+(\frac{1}{3})^{3}+\dots+(\frac{1}{3})^{n}$(其中$n$为正整数).
计算:$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots+2^{2024}+2^{2025}$.
解:设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots+2^{2024}+2^{2025}$.①
等式两边同时乘2,得
$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+\dots+2^{2025}+2^{2026}$.②
由②$-$①,得$2S-S=2^{2026}-1$,
则$S=2^{2026}-1$,即$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots+2^{2024}+2^{2025}=2^{2026}-1$.
请你仿照此法回答下列问题:
(1)填空:$1+2+2^{2}+2^{3}=$
15
;(2)计算:$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots+2^{9}+2^{10}$;
(3)计算:$1+\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^{2}+(\frac{1}{3})^{3}+\dots+(\frac{1}{3})^{n}$(其中$n$为正整数).
答案
9.解:(1)15
(2)设$M=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots+2^{9}+2^{10}$.①
等式两边同时乘2,得
$2M=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+\dots+2^{10}+2^{11}$.②
由②$-$①,得$2M-M=2^{11}-1$,
则$M=2^{11}-1$,即$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots+2^{9}+2^{10}=2^{11}-1$.
(3)设$N=1+\dfrac{1}{3}+(\dfrac{1}{3})^{2}+(\dfrac{1}{3})^{3}+\dots+(\dfrac{1}{3})^{n}$.①
等式两边同时乘$\dfrac{1}{3}$,得
$\dfrac{1}{3}N=\dfrac{1}{3}+(\dfrac{1}{3})^{2}+(\dfrac{1}{3})^{3}+(\dfrac{1}{3})^{4}+\dots+(\dfrac{1}{3})^{n+1}$.②
由①$-$②,得$N-\dfrac{1}{3}N=1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}$,
则$\dfrac{2}{3}N=1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}$,
所以$N=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}×(\dfrac{1}{3})^{n+1}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{3})^{n}$,
即$1+\dfrac{1}{3}+(\dfrac{1}{3})^{2}+(\dfrac{1}{3})^{3}+\dots+(\dfrac{1}{3})^{n}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{3})^{n}$.
(2)设$M=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots+2^{9}+2^{10}$.①
等式两边同时乘2,得
$2M=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+\dots+2^{10}+2^{11}$.②
由②$-$①,得$2M-M=2^{11}-1$,
则$M=2^{11}-1$,即$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots+2^{9}+2^{10}=2^{11}-1$.
(3)设$N=1+\dfrac{1}{3}+(\dfrac{1}{3})^{2}+(\dfrac{1}{3})^{3}+\dots+(\dfrac{1}{3})^{n}$.①
等式两边同时乘$\dfrac{1}{3}$,得
$\dfrac{1}{3}N=\dfrac{1}{3}+(\dfrac{1}{3})^{2}+(\dfrac{1}{3})^{3}+(\dfrac{1}{3})^{4}+\dots+(\dfrac{1}{3})^{n+1}$.②
由①$-$②,得$N-\dfrac{1}{3}N=1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}$,
则$\dfrac{2}{3}N=1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}$,
所以$N=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}×(\dfrac{1}{3})^{n+1}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{3})^{n}$,
即$1+\dfrac{1}{3}+(\dfrac{1}{3})^{2}+(\dfrac{1}{3})^{3}+\dots+(\dfrac{1}{3})^{n}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{3})^{n}$.
解析
【分析】
这是一道材料模仿类的规律探究题，核心解题方法是题干给出的“错位相减法”，思考步骤如下：①先设要求的求和式子的总和为一个字母；②将等式两边同时乘式子中相邻两项的固定公比（即后一项除以前一项的固定值，本题中公比分别是2、$\frac{1}{3}$）；③将得到的新式子和原式相减，中间重复的项会抵消，只剩下首尾项，最后整理计算即可得到结果。第(1)问可直接计算各项之和，第(2)问直接照搬题干方法即可，第(3)问将公比替换为$\frac{1}{3}$，按步骤运算即可。
【解析】
(1) 直接计算：$1+2+2^2+2^3=1+2+4+8=15$；
(2) 设$M=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots+2^{9}+2^{10}$ ①
等式两边同时乘2，得：
$2M=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+\dots+2^{10}+2^{11}$ ②
用②$-$①，得$2M-M=2^{11}-1$，即$M=2^{11}-1$；
(3) 设$N=1+\dfrac{1}{3}+(\dfrac{1}{3})^{2}+(\dfrac{1}{3})^{3}+\dots+(\dfrac{1}{3})^{n}$ ①
等式两边同时乘$\dfrac{1}{3}$，得：
$\dfrac{1}{3}N=\dfrac{1}{3}+(\dfrac{1}{3})^{2}+(\dfrac{1}{3})^{3}+(\dfrac{1}{3})^{4}+\dots+(\dfrac{1}{3})^{n+1}$ ②
用①$-$②，得$N-\dfrac{1}{3}N=1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}$，即$\dfrac{2}{3}N=1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}$，
整理得$N=\dfrac{3}{2}×[1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}]=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{3})^{n}$。
【答案】
(1) $\boxed{15}$
(2) $\boxed{2^{11}-1}$
(3) $\boxed{\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{3})^n}$
【知识点】
错位相减法求和，乘方运算，规律探究
【点评】
本题属于阅读类规律探究题，重点考查对新方法的理解、模仿和灵活应用能力，解题的关键是掌握错位相减的操作逻辑，这类题是数列求和类题型的基础考法，熟练掌握后可快速解决同类公比固定的求和问题。
【难度系数】
0.7
这是一道材料模仿类的规律探究题，核心解题方法是题干给出的“错位相减法”，思考步骤如下：①先设要求的求和式子的总和为一个字母；②将等式两边同时乘式子中相邻两项的固定公比（即后一项除以前一项的固定值，本题中公比分别是2、$\frac{1}{3}$）；③将得到的新式子和原式相减，中间重复的项会抵消，只剩下首尾项，最后整理计算即可得到结果。第(1)问可直接计算各项之和，第(2)问直接照搬题干方法即可，第(3)问将公比替换为$\frac{1}{3}$，按步骤运算即可。
【解析】
(1) 直接计算：$1+2+2^2+2^3=1+2+4+8=15$；
(2) 设$M=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\dots+2^{9}+2^{10}$ ①
等式两边同时乘2，得：
$2M=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+\dots+2^{10}+2^{11}$ ②
用②$-$①，得$2M-M=2^{11}-1$，即$M=2^{11}-1$；
(3) 设$N=1+\dfrac{1}{3}+(\dfrac{1}{3})^{2}+(\dfrac{1}{3})^{3}+\dots+(\dfrac{1}{3})^{n}$ ①
等式两边同时乘$\dfrac{1}{3}$，得：
$\dfrac{1}{3}N=\dfrac{1}{3}+(\dfrac{1}{3})^{2}+(\dfrac{1}{3})^{3}+(\dfrac{1}{3})^{4}+\dots+(\dfrac{1}{3})^{n+1}$ ②
用①$-$②，得$N-\dfrac{1}{3}N=1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}$，即$\dfrac{2}{3}N=1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}$，
整理得$N=\dfrac{3}{2}×[1-(\dfrac{1}{3})^{n+1}]=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{3})^{n}$。
【答案】
(1) $\boxed{15}$
(2) $\boxed{2^{11}-1}$
(3) $\boxed{\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{3})^n}$
【知识点】
错位相减法求和，乘方运算，规律探究
【点评】
本题属于阅读类规律探究题，重点考查对新方法的理解、模仿和灵活应用能力，解题的关键是掌握错位相减的操作逻辑，这类题是数列求和类题型的基础考法，熟练掌握后可快速解决同类公比固定的求和问题。
【难度系数】
0.7
10.(安徽)安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿 kW·h,其中521.7亿用科学记数法表示为 (
A.$521.7×10^{8}$
B.$5.217×10^{9}$
C.$5.217×10^{10}$
D.$0.5217×10^{11}$
C
)A.$521.7×10^{8}$
B.$5.217×10^{9}$
C.$5.217×10^{10}$
D.$0.5217×10^{11}$
答案
10.C
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆科学记数法的表示规则：科学记数法是把一个数表示成a×10ⁿ的形式，其中要求1≤a＜10，n为正整数。解题时第一步先把“亿”这个单位换算成普通数字的形式，再调整a的大小满足取值要求，同时对应算出10的指数n，最后和选项对比就能选出正确答案。
【解析】
首先明确单位换算：1亿=100000000，
所以521.7亿=521.7×100000000=52170000000。
按照科学记数法的规则，要把52170000000写成a×10ⁿ（1≤a＜10）的形式：
把52170000000的小数点向左移动10位得到a=5.217，小数点向左移动了10位，所以n=10，
即521.7亿用科学记数法表示为5.217×10¹⁰，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 科学记数法
2. 大数单位换算
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，解题核心是准确进行单位换算，同时严格遵守科学记数法中a的取值要求，数清楚小数点移动的位数即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要回忆科学记数法的表示规则：科学记数法是把一个数表示成a×10ⁿ的形式，其中要求1≤a＜10，n为正整数。解题时第一步先把“亿”这个单位换算成普通数字的形式，再调整a的大小满足取值要求，同时对应算出10的指数n，最后和选项对比就能选出正确答案。
【解析】
首先明确单位换算：1亿=100000000，
所以521.7亿=521.7×100000000=52170000000。
按照科学记数法的规则，要把52170000000写成a×10ⁿ（1≤a＜10）的形式：
把52170000000的小数点向左移动10位得到a=5.217，小数点向左移动了10位，所以n=10，
即521.7亿用科学记数法表示为5.217×10¹⁰，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 科学记数法
2. 大数单位换算
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题型，解题核心是准确进行单位换算，同时严格遵守科学记数法中a的取值要求，数清楚小数点移动的位数即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
11.(内蒙古呼和浩特)已知地球的质量为$6×10^{13}$亿吨，太阳的质量是地球质量的$3.3×10^{5}$倍，则太阳的质量用科学记数法表示为（
A.$1.98×10^{18}$亿吨
B.$1.98×10^{19}$亿吨
C.$1.98×10^{20}$亿吨
D.$1.98×10^{65}$亿吨
答案 P08
B
）A.$1.98×10^{18}$亿吨
B.$1.98×10^{19}$亿吨
C.$1.98×10^{20}$亿吨
D.$1.98×10^{65}$亿吨
答案 P08
答案
11.B [解析]$6×10^{13}×3.3×10^{5}=1.98×10^{19}$(亿吨)。
解析
【分析】
解题时首先明确数量关系：求一个数的几倍是多少，用乘法计算，因此太阳的质量=地球的质量×倍数。接下来计算时，要把科学记数法表示的两个数的系数部分和同底数幂部分分别相乘，最后调整结果为科学记数法的标准形式（a×10ⁿ，其中1≤a＜10，n为正整数）即可。
【解析】
根据题意，太阳的质量为地球质量乘以3.3×10⁵，代入数据计算：
1. 列算式：$\boldsymbol{6×10^{13} × 3.3×10^{5}}$
2. 分别计算系数乘积和同底数幂乘积：
系数部分：$6×3.3=19.8$
同底数幂部分：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得$10^{13}×10^{5}=10^{13+5}=10^{18}$
3. 整理为标准科学记数法：
先得到$19.8×10^{18}$，由于科学记数法要求a满足1≤a＜10，因此将19.8改写为$1.98×10^1$，则：
$19.8×10^{18}=1.98×10^1×10^{18}=1.98×10^{19}$（亿吨）
【答案】
B
【知识点】
1. 科学记数法
2. 同底数幂的乘法
3. 倍数问题计算
【点评】
本题是科学记数法的基础应用类题目，解题的核心是先根据倍数关系正确列出算式，再按规则计算，特别要注意计算完成后需调整系数的取值范围，确保最终结果符合科学记数法的规范要求，避免因忽略系数调整选错答案。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确数量关系：求一个数的几倍是多少，用乘法计算，因此太阳的质量=地球的质量×倍数。接下来计算时，要把科学记数法表示的两个数的系数部分和同底数幂部分分别相乘，最后调整结果为科学记数法的标准形式（a×10ⁿ，其中1≤a＜10，n为正整数）即可。
【解析】
根据题意，太阳的质量为地球质量乘以3.3×10⁵，代入数据计算：
1. 列算式：$\boldsymbol{6×10^{13} × 3.3×10^{5}}$
2. 分别计算系数乘积和同底数幂乘积：
系数部分：$6×3.3=19.8$
同底数幂部分：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得$10^{13}×10^{5}=10^{13+5}=10^{18}$
3. 整理为标准科学记数法：
先得到$19.8×10^{18}$，由于科学记数法要求a满足1≤a＜10，因此将19.8改写为$1.98×10^1$，则：
$19.8×10^{18}=1.98×10^1×10^{18}=1.98×10^{19}$（亿吨）
【答案】
B
【知识点】
1. 科学记数法
2. 同底数幂的乘法
3. 倍数问题计算
【点评】
本题是科学记数法的基础应用类题目，解题的核心是先根据倍数关系正确列出算式，再按规则计算，特别要注意计算完成后需调整系数的取值范围，确保最终结果符合科学记数法的规范要求，避免因忽略系数调整选错答案。
【难度系数】
0.7
