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9. $\begin{cases} x-3≤ 0, \\ \dfrac{x-1}{2} - \dfrac{2x-1}{3} ＞ 1。 \end{cases}$
答案
9. 解不等式①得x≤3。 解不等式②得x＜-7。故原不等式组的解集为x＜-7。
解析
【分析】
求解一元一次不等式组遵循“先分后合”的思路：第一步先分别解出组内每个不等式的解集，第二步找两个解集的公共部分即为不等式组的解集。解第一个不等式可直接移项得到结果；解第二个带分母的一元一次不等式时，按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算，注意去分母时不要漏乘常数项，系数化为1时若乘除负数，不等号方向要改变，最后根据“同小取小”的规则确定公共解集。
【解析】
解：令$\begin{cases}x-3≤0&①\\\dfrac{x-1}{2}-\dfrac{2x-1}{3}＞1&②\end{cases}$
解不等式①：移项得$x≤3$。
解不等式②：两边同时乘6去分母，得$3(x-1)-2(2x-1)＞6$，
去括号得$3x-3-4x+2＞6$，
合并同类项得$-x-1＞6$，
移项得$-x＞7$，
系数化为1（不等号方向改变）得$x＜-7$。
对比两个解集，取公共部分，可得原不等式组的解集。
【答案】
$x＜-7$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集确定
【点评】
本题是一元一次不等式组求解的基础题型，易错点为解含分母的不等式时漏乘常数项、系数化为1时忘记改变不等号方向，确定解集时要熟练掌握解集取值的判断规则，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
求解一元一次不等式组遵循“先分后合”的思路：第一步先分别解出组内每个不等式的解集，第二步找两个解集的公共部分即为不等式组的解集。解第一个不等式可直接移项得到结果；解第二个带分母的一元一次不等式时，按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算，注意去分母时不要漏乘常数项，系数化为1时若乘除负数，不等号方向要改变，最后根据“同小取小”的规则确定公共解集。
【解析】
解：令$\begin{cases}x-3≤0&①\\\dfrac{x-1}{2}-\dfrac{2x-1}{3}＞1&②\end{cases}$
解不等式①：移项得$x≤3$。
解不等式②：两边同时乘6去分母，得$3(x-1)-2(2x-1)＞6$，
去括号得$3x-3-4x+2＞6$，
合并同类项得$-x-1＞6$，
移项得$-x＞7$，
系数化为1（不等号方向改变）得$x＜-7$。
对比两个解集，取公共部分，可得原不等式组的解集。
【答案】
$x＜-7$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集确定
【点评】
本题是一元一次不等式组求解的基础题型，易错点为解含分母的不等式时漏乘常数项、系数化为1时忘记改变不等号方向，确定解集时要熟练掌握解集取值的判断规则，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
四、解答题
10.某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元。在这20名工人中，设该车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件。
(1)请写出此车间每天所获利润y(元)与x(人)之间的函数关系式；
(2)若只考虑利润问题，要使每天所获利润不低于24 000元，你认为至多要派多少名工人制造甲种零件才合适？
10.某零件制造车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元。在这20名工人中，设该车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件。
(1)请写出此车间每天所获利润y(元)与x(人)之间的函数关系式；
(2)若只考虑利润问题，要使每天所获利润不低于24 000元，你认为至多要派多少名工人制造甲种零件才合适？
答案
10. 解:(1)依题意可得y=150×6x+260×5(20−x)=900x+26 000−1 300x=26 000−400x。
(2)要使每天所获利润不低于24 000元,即26 000−400x≥24 000,解得x≤5。
∵x取最大的正整数,
∴x=5。 故至多要派5名工人去制造甲种零件才合适。
(2)要使每天所获利润不低于24 000元,即26 000−400x≥24 000,解得x≤5。
∵x取最大的正整数,
∴x=5。 故至多要派5名工人去制造甲种零件才合适。
解析
【分析】
(1) 求解利润y与x的函数关系式时，首先明确总利润=制造甲种零件的总利润+制造乙种零件的总利润。先分别计算两部分利润：x名工人造甲种零件，每人每天造6个，每个获利150元，因此甲的总利润为$150×6x$元；剩余$(20-x)$名工人造乙种零件，每人每天造5个，每个获利260元，因此乙的总利润为$260×5(20-x)$元，将两部分利润相加后化简即可得到函数关系式，注意x为工人数量，取值范围是$0≤ x≤20$且x为整数。
(2) 利润不低于24000元即$y≥24000$，将第(1)问的函数关系式代入该不等关系，得到关于x的一元一次不等式，解不等式得到x的取值范围，再结合x是人数、为非负整数的实际意义，取范围内的最大正整数即为最多派去制造甲种零件的人数。
【解析】
(1) 根据总利润的构成列式：
$\begin{aligned}y&=150×6x + 260×5(20-x)\\&=900x + 1300(20-x)\\&=900x + 26000 - 1300x\\&=26000 - 400x\end{aligned}$
其中x的取值范围为$0≤ x≤20$且x为整数。
(2) 由每天利润不低于24000元，列不等式：
$26000 - 400x ≥ 24000$
移项得：$-400x ≥ -2000$
两边同时除以$-400$，不等号方向改变，得：$x ≤ 5$
因为x为工人数量，是正整数，所以x的最大取值为5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=26000-400x}$（$0≤ x≤20$且$x$为整数）
(2) 至多要派$\boldsymbol{5}$名工人制造甲种零件才合适。
【知识点】
一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是典型的利润优化类实际应用题，解题核心是准确梳理数量关系，正确建立函数表达式和不等关系，求解时需注意结合未知数的实际意义确定最终结果，这类题目贴合生活场景，是代数应用的常考题型。
【难度系数】
0.75
(1) 求解利润y与x的函数关系式时，首先明确总利润=制造甲种零件的总利润+制造乙种零件的总利润。先分别计算两部分利润：x名工人造甲种零件，每人每天造6个，每个获利150元，因此甲的总利润为$150×6x$元；剩余$(20-x)$名工人造乙种零件，每人每天造5个，每个获利260元，因此乙的总利润为$260×5(20-x)$元，将两部分利润相加后化简即可得到函数关系式，注意x为工人数量，取值范围是$0≤ x≤20$且x为整数。
(2) 利润不低于24000元即$y≥24000$，将第(1)问的函数关系式代入该不等关系，得到关于x的一元一次不等式，解不等式得到x的取值范围，再结合x是人数、为非负整数的实际意义，取范围内的最大正整数即为最多派去制造甲种零件的人数。
【解析】
(1) 根据总利润的构成列式：
$\begin{aligned}y&=150×6x + 260×5(20-x)\\&=900x + 1300(20-x)\\&=900x + 26000 - 1300x\\&=26000 - 400x\end{aligned}$
其中x的取值范围为$0≤ x≤20$且x为整数。
(2) 由每天利润不低于24000元，列不等式：
$26000 - 400x ≥ 24000$
移项得：$-400x ≥ -2000$
两边同时除以$-400$，不等号方向改变，得：$x ≤ 5$
因为x为工人数量，是正整数，所以x的最大取值为5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=26000-400x}$（$0≤ x≤20$且$x$为整数）
(2) 至多要派$\boldsymbol{5}$名工人制造甲种零件才合适。
【知识点】
一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是典型的利润优化类实际应用题，解题核心是准确梳理数量关系，正确建立函数表达式和不等关系，求解时需注意结合未知数的实际意义确定最终结果，这类题目贴合生活场景，是代数应用的常考题型。
【难度系数】
0.75
11.已知$x$为整数，$\frac{2}{x+3}+\frac{2}{3-x}+\frac{2x+18}{x^2-9}$也是整数，求符合条件的$x$的值。
答案
11. 解:$\frac{2}{x+3}+\frac{2}{3-x}+\frac{2x+18}{x^2-9}=\frac{2}{x-3}$。
∵$\frac{2}{x-3}$是整数,x也是整数,
∴x−3=±1或x−3=±2,即x的值可为1,2,4,5。
∵$\frac{2}{x-3}$是整数,x也是整数,
∴x−3=±1或x−3=±2,即x的值可为1,2,4,5。
解析
【分析】
解题时首先要对给定的分式进行化简：先将分母3-x变形为-(x-3)，确定最简公分母为(x+3)(x-3)，通分后合并分子再约分，得到最简分式；其次要注意分式有意义的条件，即分母不能为0，后续得到的x值需要满足该要求；最后根据“化简后的分式是整数、x为整数”的条件，可知最简分式的分母是分子的整数约数，列举出所有符合条件的约数，即可求出对应的x值。
【解析】
首先化简原式：
$\begin{aligned}&\frac{2}{x+3}+\frac{2}{3-x}+\frac{2x+18}{x^2-9}\\=&\frac{2}{x+3}-\frac{2}{x-3}+\frac{2x+18}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2(x-3)-2(x+3)+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2x-6-2x-6+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2x+6}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2}{x-3} \quad (\mathrm{原分式有意义，故} \ x≠\pm3)\end{aligned}$
∵x为整数，且$\frac{2}{x-3}$为整数，
∴x-3是2的整数约数，即$x-3=\pm1$或$x-3=\pm2$，
分别解得：x=4，x=2，x=5，x=1，所有结果均满足原分式有意义的要求。
【答案】
1，2，4，5
【知识点】
分式化简运算，分式有意义的条件，整数整除性质
【点评】
本题是分式运算与整数性质结合的典型题型，解题核心是先准确化简分式，再结合整数的约数性质求解，需注意优先确认原分式有意义的条件，避免得到不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要对给定的分式进行化简：先将分母3-x变形为-(x-3)，确定最简公分母为(x+3)(x-3)，通分后合并分子再约分，得到最简分式；其次要注意分式有意义的条件，即分母不能为0，后续得到的x值需要满足该要求；最后根据“化简后的分式是整数、x为整数”的条件，可知最简分式的分母是分子的整数约数，列举出所有符合条件的约数，即可求出对应的x值。
【解析】
首先化简原式：
$\begin{aligned}&\frac{2}{x+3}+\frac{2}{3-x}+\frac{2x+18}{x^2-9}\\=&\frac{2}{x+3}-\frac{2}{x-3}+\frac{2x+18}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2(x-3)-2(x+3)+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2x-6-2x-6+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2x+6}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}\\=&\frac{2}{x-3} \quad (\mathrm{原分式有意义，故} \ x≠\pm3)\end{aligned}$
∵x为整数，且$\frac{2}{x-3}$为整数，
∴x-3是2的整数约数，即$x-3=\pm1$或$x-3=\pm2$，
分别解得：x=4，x=2，x=5，x=1，所有结果均满足原分式有意义的要求。
【答案】
1，2，4，5
【知识点】
分式化简运算，分式有意义的条件，整数整除性质
【点评】
本题是分式运算与整数性质结合的典型题型，解题核心是先准确化简分式，再结合整数的约数性质求解，需注意优先确认原分式有意义的条件，避免得到不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
