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一、填空题
1. 不等式组$\begin{cases}4≥2(1-x),\\-x≥2x-3\end{cases}$的解集是 ______ 。
1. 不等式组$\begin{cases}4≥2(1-x),\\-x≥2x-3\end{cases}$的解集是 ______ 。
答案
1. -1≤x≤1
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个一元一次不等式，再找出两个不等式解集的公共部分，即为该不等式组的解集。求解时要注意：不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向需要改变。第一步先解第一个不等式$4≥2(1-x)$，第二步解第二个不等式$-x≥2x-3$，最后取两个解集的公共部分即可。
【解析】
先解不等式$4≥2(1-x)$：
两边同时除以2，得$2≥1-x$，
移项整理，得$x≥-1$。
再解不等式$-x≥2x-3$：
移项合并同类项，得$-3x≥-3$，
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$x≤1$。
两个解集的公共部分为$-1≤ x≤1$。
【答案】
$-1≤ x≤1$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，尤其注意不等式两边乘除负数时不等号方向要改变，再正确确定两个解集的公共部分即可。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个一元一次不等式，再找出两个不等式解集的公共部分，即为该不等式组的解集。求解时要注意：不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向需要改变。第一步先解第一个不等式$4≥2(1-x)$，第二步解第二个不等式$-x≥2x-3$，最后取两个解集的公共部分即可。
【解析】
先解不等式$4≥2(1-x)$：
两边同时除以2，得$2≥1-x$，
移项整理，得$x≥-1$。
再解不等式$-x≥2x-3$：
移项合并同类项，得$-3x≥-3$，
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$x≤1$。
两个解集的公共部分为$-1≤ x≤1$。
【答案】
$-1≤ x≤1$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的求解步骤，尤其注意不等式两边乘除负数时不等号方向要改变，再正确确定两个解集的公共部分即可。
【难度系数】
0.8
2. 三个不等式 $2x - 1 ＞ 9, \frac{1}{2}x - 1 ＞ 3 - \frac{1}{2}x, x - 1 ＞ 2x - 7$ 的解集的公共部分是
5＜x＜6
。答案
2. 5＜x＜6
解析
【分析】
要找到三个不等式解集的公共部分，本质是求这三个不等式组成的不等式组的解集。解题思路为：先按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤分别解出每个一元一次不等式的解集，再根据不等式解集的取集口诀（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到）确定三个解集的公共范围，注意系数为负时系数化1要改变不等号方向。
【解析】
1. 解不等式 $2x - 1 ＞ 9$：
移项得 $2x ＞ 9+1$，即 $2x＞10$，
系数化为1得 $x＞5$。
2. 解不等式 $\frac{1}{2}x - 1 ＞ 3 - \frac{1}{2}x$：
移项得 $\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x ＞ 3+1$，
合并同类项得 $x＞4$。
3. 解不等式 $x - 1 ＞ 2x - 7$：
移项得 $x-2x ＞ -7+1$，
合并同类项得 $-x ＞ -6$，
系数化为1（不等号方向改变）得 $x＜6$。
4. 取三个解集的公共部分：
$x＞5$、$x＞4$、$x＜6$的公共范围为$5＜x＜6$。
【答案】
$5＜x＜6$
【知识点】
一元一次不等式求解；不等式组解集确定
【点评】
本题是基础运算题，核心考查一元一次不等式的解法和公共解集的判断，解题的易错点为解第三个不等式系数化1时，容易忘记改变不等号方向，平时练习时要注意规避这类符号错误。
【难度系数】
0.8
要找到三个不等式解集的公共部分，本质是求这三个不等式组成的不等式组的解集。解题思路为：先按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤分别解出每个一元一次不等式的解集，再根据不等式解集的取集口诀（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到）确定三个解集的公共范围，注意系数为负时系数化1要改变不等号方向。
【解析】
1. 解不等式 $2x - 1 ＞ 9$：
移项得 $2x ＞ 9+1$，即 $2x＞10$，
系数化为1得 $x＞5$。
2. 解不等式 $\frac{1}{2}x - 1 ＞ 3 - \frac{1}{2}x$：
移项得 $\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x ＞ 3+1$，
合并同类项得 $x＞4$。
3. 解不等式 $x - 1 ＞ 2x - 7$：
移项得 $x-2x ＞ -7+1$，
合并同类项得 $-x ＞ -6$，
系数化为1（不等号方向改变）得 $x＜6$。
4. 取三个解集的公共部分：
$x＞5$、$x＞4$、$x＜6$的公共范围为$5＜x＜6$。
【答案】
$5＜x＜6$
【知识点】
一元一次不等式求解；不等式组解集确定
【点评】
本题是基础运算题，核心考查一元一次不等式的解法和公共解集的判断，解题的易错点为解第三个不等式系数化1时，容易忘记改变不等号方向，平时练习时要注意规避这类符号错误。
【难度系数】
0.8
3.已知$3x+4≤6+2(x-2)$，则$|x+1|$的最小值等于
1
。答案
3. 1
解析
【分析】
解题时第一步先求解给定的一元一次不等式，得出x的取值范围；第二步结合绝对值的性质，在x的取值范围内找到使|x+1|取最小值的x的值，代入计算即可得到结果。
【解析】
首先解不等式$3x+4≤6+2(x-2)$：
1. 去括号，得：$3x+4≤6+2x-4$
2. 化简右侧，得：$3x+4≤2x+2$
3. 移项，得：$3x-2x≤2-4$
4. 合并同类项，得：$x≤-2$
再分析$|x+1|$的取值：
由$x≤-2$可得$x+1≤-2+1=-1$，即$x+1$为负数，根据绝对值的性质，$|x+1|=-(x+1)=-x-1$。
要使$|x+1|$最小，需让$-x-1$最小，即x取最大值（x的系数为-1，x越大，$-x$越小）。
在$x≤-2$的范围内，x的最大值为$-2$，代入得$|x+1|=|-2+1|=|-1|=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元一次不等式解法、绝对值的性质
【点评】
本题综合考查一元一次不等式的求解和绝对值的性质，解题关键是先准确求出x的取值范围，再结合绝对值的意义找最小值，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时第一步先求解给定的一元一次不等式，得出x的取值范围；第二步结合绝对值的性质，在x的取值范围内找到使|x+1|取最小值的x的值，代入计算即可得到结果。
【解析】
首先解不等式$3x+4≤6+2(x-2)$：
1. 去括号，得：$3x+4≤6+2x-4$
2. 化简右侧，得：$3x+4≤2x+2$
3. 移项，得：$3x-2x≤2-4$
4. 合并同类项，得：$x≤-2$
再分析$|x+1|$的取值：
由$x≤-2$可得$x+1≤-2+1=-1$，即$x+1$为负数，根据绝对值的性质，$|x+1|=-(x+1)=-x-1$。
要使$|x+1|$最小，需让$-x-1$最小，即x取最大值（x的系数为-1，x越大，$-x$越小）。
在$x≤-2$的范围内，x的最大值为$-2$，代入得$|x+1|=|-2+1|=|-1|=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元一次不等式解法、绝对值的性质
【点评】
本题综合考查一元一次不等式的求解和绝对值的性质，解题关键是先准确求出x的取值范围，再结合绝对值的意义找最小值，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
4. △ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，若∠EBC=∠BAD，则△ABC一定是（
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
A
）A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
答案
4. A
解析
【分析】
解题时先结合三角形高的性质，得到两个直角三角形，利用直角三角形两锐角互余得到两组角的和为90°；再结合已知的等角条件，根据等角的余角相等推导得出△ABC的两个底角相等；最后根据等腰三角形的判定定理即可判断三角形的形状，同时注意没有额外条件可证明三角形为等边或直角三角形，排除其他选项。
【解析】
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD + ∠ABC = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∵BE是AC边上的高，
∴BE⊥AC，即∠BEC=90°，
在Rt△BEC中，∠EBC + ∠C = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
已知∠EBC=∠BAD，根据等角的余角相等，可得∠ABC=∠C。
根据“等角对等边”，可得AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。
题干无额外条件证明△ABC的内角为60°或90°，无法判定为等边三角形、直角三角形或等腰直角三角形，故选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形两锐角互余；余角的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何判定题，核心是利用三角形高的特征构造直角三角形，通过角的等量代换得到角相等关系，进而判断三角形形状，解题时要注意排除没有条件支撑的特殊三角形选项。
【难度系数】
0.75
解题时先结合三角形高的性质，得到两个直角三角形，利用直角三角形两锐角互余得到两组角的和为90°；再结合已知的等角条件，根据等角的余角相等推导得出△ABC的两个底角相等；最后根据等腰三角形的判定定理即可判断三角形的形状，同时注意没有额外条件可证明三角形为等边或直角三角形，排除其他选项。
【解析】
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD + ∠ABC = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∵BE是AC边上的高，
∴BE⊥AC，即∠BEC=90°，
在Rt△BEC中，∠EBC + ∠C = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
已知∠EBC=∠BAD，根据等角的余角相等，可得∠ABC=∠C。
根据“等角对等边”，可得AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。
题干无额外条件证明△ABC的内角为60°或90°，无法判定为等边三角形、直角三角形或等腰直角三角形，故选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形两锐角互余；余角的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何判定题，核心是利用三角形高的特征构造直角三角形，通过角的等量代换得到角相等关系，进而判断三角形形状，解题时要注意排除没有条件支撑的特殊三角形选项。
【难度系数】
0.75
5.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是(
A.18°
B.24°
C.30°
D.36°
A
)A.18°
B.24°
C.30°
D.36°
答案
5. A
解析
【分析】
首先从题干已知条件入手，先判断△ABC是等腰三角形，可根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理先求出底角∠C的度数；再根据BD是AC边上的高，可得△BDC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠C的度数即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，底角∠C=∠ABC，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$
∵BD是AC边上的高，
∴$∠ BDC=90°$，即△BDC是直角三角形，
根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ DBC=90°-∠ C=90°-72°=18°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是熟练运用等腰三角形和直角三角形的基本性质，只要掌握相关基础知识点就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
首先从题干已知条件入手，先判断△ABC是等腰三角形，可根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理先求出底角∠C的度数；再根据BD是AC边上的高，可得△BDC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠C的度数即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，底角∠C=∠ABC，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$
∵BD是AC边上的高，
∴$∠ BDC=90°$，即△BDC是直角三角形，
根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ DBC=90°-∠ C=90°-72°=18°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是熟练运用等腰三角形和直角三角形的基本性质，只要掌握相关基础知识点就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
6.直角三角形两直角边分别是5cm、12cm，其斜边上的高是(
A.13cm
B.$\frac{30}{13}$cm
C.$\frac{60}{13}$cm
D.9cm
C
)A.13cm
B.$\frac{30}{13}$cm
C.$\frac{60}{13}$cm
D.9cm
答案
6. C
解析
【分析】
解题思路分两步走：第一步，已知直角三角形两条直角边，可先利用勾股定理求出斜边的长度；第二步，三角形的面积可以通过“两条直角边乘积的一半”计算，也可以通过“斜边×斜边上的高÷2”计算，两种方式计算的面积相等，据此列等式即可求出斜边上的高。
【解析】
1. 求斜边长度：根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，因此斜边长为$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\mathrm{cm}$。
2. 设斜边上的高为$h$，根据三角形面积相等列方程：
$\frac{1}{2} × 5 × 12 = \frac{1}{2} × 13 × h$
化简左边得30，两边同时乘2消去分母得：$60 = 13h$
解得$h = \frac{60}{13}\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；面积法应用
【点评】
本题是几何基础题型，核心考查勾股定理的使用和面积法求线段长度，掌握面积法的等量关系是解题的关键，这类方法在三角形相关线段求解中十分常用。
【难度系数】
0.8
解题思路分两步走：第一步，已知直角三角形两条直角边，可先利用勾股定理求出斜边的长度；第二步，三角形的面积可以通过“两条直角边乘积的一半”计算，也可以通过“斜边×斜边上的高÷2”计算，两种方式计算的面积相等，据此列等式即可求出斜边上的高。
【解析】
1. 求斜边长度：根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，因此斜边长为$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\mathrm{cm}$。
2. 设斜边上的高为$h$，根据三角形面积相等列方程：
$\frac{1}{2} × 5 × 12 = \frac{1}{2} × 13 × h$
化简左边得30，两边同时乘2消去分母得：$60 = 13h$
解得$h = \frac{60}{13}\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；面积法应用
【点评】
本题是几何基础题型，核心考查勾股定理的使用和面积法求线段长度，掌握面积法的等量关系是解题的关键，这类方法在三角形相关线段求解中十分常用。
【难度系数】
0.8
7.如图,等边三角形AEB和等边三角形BDC在线段AC的同侧,则下列式子中错误的是（
A.$△ ABD ≌ △ EBC$
B.$△ NBC ≌ △ MBD$
C.$△ NBE ≌ △ MBA$
D.$△ ABE ≌ △ BCD$
D
）A.$△ ABD ≌ △ EBC$
B.$△ NBC ≌ △ MBD$
C.$△ NBE ≌ △ MBA$
D.$△ ABE ≌ △ BCD$
答案
7. D
解析
【分析】
解题时先利用等边三角形的性质得到边相等、角相等的结论，再结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA等）逐个验证选项：①先证选项A的三角形全等，得到对应角相等的结论，作为后续证明的条件；②再依次验证B、C选项的全等关系是否成立；③最后判断D选项，注意两个等边三角形的边长不一定相等，即可找出错误选项。
【解析】
已知△AEB和△BDC均为等边三角形，因此可得：
$AB=EB$，$BD=BC$，$∠ ABE=∠ CBD=60°$
1. 验证选项A：
$∠ ABD=∠ ABE+∠ EBD=60°+∠ EBD$，$∠ EBC=∠ CBD+∠ EBD=60°+∠ EBD$，因此$∠ ABD=∠ EBC$。
在$△ ABD$和$△ EBC$中：
$\begin{cases} AB=EB \\ ∠ ABD=∠ EBC \\ BD=BC \end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ EBC(\mathrm{SAS})$，A选项正确。
2. 验证选项B：
由$△ ABD≌△ EBC$可得$∠ BDM=∠ BCN$，又$∠ MBD=180°-∠ ABE-∠ CBD=180°-60°-60°=60°$，即$∠ MBD=∠ NBC=60°$。
在$△ NBC$和$△ MBD$中：
$\begin{cases} ∠ BCN=∠ BDM \\ BC=BD \\ ∠ NBC=∠ MBD \end{cases}$
$\therefore△ NBC≌△ MBD(\mathrm{ASA})$，B选项正确。
3. 验证选项C：
由$△ ABD≌△ EBC$可得$∠ BEN=∠ BAM$，又$∠ EBM=∠ ABN=60°$，$EB=AB$。
在$△ NBE$和$△ MBA$中：
$\begin{cases} ∠ BEN=∠ BAM \\ EB=AB \\ ∠ EBM=∠ ABN \end{cases}$
$\therefore△ NBE≌△ MBA(\mathrm{ASA})$，C选项正确。
4. 验证选项D：
$△ ABE$和$△ BCD$均为等边三角形，但边长$AB$和$BC$不一定相等，因此两个三角形不一定全等，D选项错误。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的典型题型，解题关键是利用等边三角形的性质推导相等的边和角，再结合全等判定定理验证，需要注意题干未说明两个等边三角形边长相等，不能默认两者全等。
【难度系数】
0.7
解题时先利用等边三角形的性质得到边相等、角相等的结论，再结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA等）逐个验证选项：①先证选项A的三角形全等，得到对应角相等的结论，作为后续证明的条件；②再依次验证B、C选项的全等关系是否成立；③最后判断D选项，注意两个等边三角形的边长不一定相等，即可找出错误选项。
【解析】
已知△AEB和△BDC均为等边三角形，因此可得：
$AB=EB$，$BD=BC$，$∠ ABE=∠ CBD=60°$
1. 验证选项A：
$∠ ABD=∠ ABE+∠ EBD=60°+∠ EBD$，$∠ EBC=∠ CBD+∠ EBD=60°+∠ EBD$，因此$∠ ABD=∠ EBC$。
在$△ ABD$和$△ EBC$中：
$\begin{cases} AB=EB \\ ∠ ABD=∠ EBC \\ BD=BC \end{cases}$
$\therefore△ ABD≌△ EBC(\mathrm{SAS})$，A选项正确。
2. 验证选项B：
由$△ ABD≌△ EBC$可得$∠ BDM=∠ BCN$，又$∠ MBD=180°-∠ ABE-∠ CBD=180°-60°-60°=60°$，即$∠ MBD=∠ NBC=60°$。
在$△ NBC$和$△ MBD$中：
$\begin{cases} ∠ BCN=∠ BDM \\ BC=BD \\ ∠ NBC=∠ MBD \end{cases}$
$\therefore△ NBC≌△ MBD(\mathrm{ASA})$，B选项正确。
3. 验证选项C：
由$△ ABD≌△ EBC$可得$∠ BEN=∠ BAM$，又$∠ EBM=∠ ABN=60°$，$EB=AB$。
在$△ NBE$和$△ MBA$中：
$\begin{cases} ∠ BEN=∠ BAM \\ EB=AB \\ ∠ EBM=∠ ABN \end{cases}$
$\therefore△ NBE≌△ MBA(\mathrm{ASA})$，C选项正确。
4. 验证选项D：
$△ ABE$和$△ BCD$均为等边三角形，但边长$AB$和$BC$不一定相等，因此两个三角形不一定全等，D选项错误。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的典型题型，解题关键是利用等边三角形的性质推导相等的边和角，再结合全等判定定理验证，需要注意题干未说明两个等边三角形边长相等，不能默认两者全等。
【难度系数】
0.7
三、解下列不等式(组)
8. $\frac{x+2}{3}＞2x-1$。
8. $\frac{x+2}{3}＞2x-1$。
答案
8. x＜1
解析
【分析】
这是一道一元一次不等式求解的基础题，解题思路遵循一元一次不等式的常规求解步骤：首先利用不等式的基本性质去掉分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解集，注意当未知数系数为负数时，不等号方向要发生改变。
【解析】
解：$\frac{x+2}{3}＞2x-1$
不等式两边同时乘3（正数，不等号方向不变），得：
$x+2＞3(2x-1)$
去括号，得：
$x+2＞6x-3$
移项，得：
$x-6x＞-3-2$
合并同类项，得：
$-5x＞-5$
系数化为1（两边同时除以-5，负数，不等号方向改变），得：
$x＜1$
【答案】
$x＜1$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于一元一次不等式求解的基础题型，核心考查一元一次不等式的求解步骤，易错点为系数化为1时，若未知数的系数为负，需注意改变不等号的方向，熟练掌握求解步骤和不等式的性质即可正确解答。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次不等式求解的基础题，解题思路遵循一元一次不等式的常规求解步骤：首先利用不等式的基本性质去掉分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可得到解集，注意当未知数系数为负数时，不等号方向要发生改变。
【解析】
解：$\frac{x+2}{3}＞2x-1$
不等式两边同时乘3（正数，不等号方向不变），得：
$x+2＞3(2x-1)$
去括号，得：
$x+2＞6x-3$
移项，得：
$x-6x＞-3-2$
合并同类项，得：
$-5x＞-5$
系数化为1（两边同时除以-5，负数，不等号方向改变），得：
$x＜1$
【答案】
$x＜1$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于一元一次不等式求解的基础题型，核心考查一元一次不等式的求解步骤，易错点为系数化为1时，若未知数的系数为负，需注意改变不等号的方向，熟练掌握求解步骤和不等式的性质即可正确解答。
【难度系数】
0.8
