1. 下列不等式组求解的结果,正确的是()

A.不等式组$\begin{cases}x≤ -3, \\x≤ -5\end{cases}$的解集是$x≤ -3$
B.不等式组$\begin{cases}x＞ -5, \\x≥ -4\end{cases}$的解集是$x＞ -5$
C.不等式组$\begin{cases}x＞5, \\x＜ -7\end{cases}$无解
D.不等式组$\begin{cases}x≤ 10, \\x＞ -3\end{cases}$的解集是$-3＜ x≥ 10$

1.C

【分析】
要判断各选项中不等式组的解集是否正确，需掌握一元一次不等式组解集的判定口诀：同大取大（两个不等式均为大于关系，取数值更大的边界为解集的最小边界）、同小取小（两个不等式均为小于关系，取数值更小的边界为解集的最大边界）、大小小大中间找（大于较小的数、小于较大的数，解集在两个数之间）、大大小小找不到（大于较大的数、小于较小的数，不等式组无解）。我们只需将每个选项对应上述规则逐一判断即可。
【解析】
根据一元一次不等式组解集的判定口诀逐一分析选项：
A. 不等式组$\begin{cases}x≤ -3, \\x≤ -5\end{cases}$属于“同小取小”的情况，$-5＜-3$，因此解集应为$x≤ -5$，选项给出的解集错误，不符合题意；
B. 不等式组$\begin{cases}x＞ -5, \\x≥ -4\end{cases}$属于“同大取大”的情况，$-4＞-5$，因此解集应为$x≥ -4$，选项给出的解集错误，不符合题意；
C. 不等式组$\begin{cases}x＞5, \\x＜ -7\end{cases}$属于“大大小小找不到”的情况，不存在同时满足大于5且小于-7的数，因此该不等式组无解，选项说法正确，符合题意；
D. 不等式组$\begin{cases}x≤ 10, \\x＞ -3\end{cases}$属于“大小小大中间找”的情况，解集应为$-3＜x≤10$，选项给出的解集符号使用错误，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
不等式组解集判定；不等式解集表示
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础考查题，核心是对解集判定规则的运用，做题时需注意数值大小的比较和解集不等号的准确书写，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8

2.已知关于$x$的不等式$(1-a)x＞3$的解集为$x＜\dfrac{3}{1-a}$，则$a$的取值范围是()

A.$a＞0$
B.$a＞1$
C.$a＜0$
D.$a＜1$

2.B

【分析】
解这道题的核心是运用不等式的基本性质，首先观察原不等式和最终解集的不等号方向：原不等式是大于号，解集变成了小于号，说明不等式两边同时除以的系数(1-a)是负数，据此列出关于a的不等式，求解即可得到a的取值范围。
【解析】
根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
已知不等式$(1-a)x＞3$的解集为$x＜\dfrac{3}{1-a}$，不等号方向发生了改变，因此除以的系数$1-a$为负数，即：
$1-a＜0$
移项得：$-a＜-1$
不等式两边同时乘$-1$，不等号变向，得：$a＞1$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.不等式的基本性质
2.解一元一次不等式
【点评】
本题是不等式章节的基础常考题，解题关键是根据不等号方向的变化判断未知数系数的正负，重点考查对不等式性质3的掌握情况，做题时要注意区分不等号变向和不变向的条件。
【难度系数】
0.7

3.有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为()

A.$x=1,y=3$
B.$x=3,y=2$
C.$x=4,y=1$
D.$x=2,y=3$

3.B

【分析】
要使废料最少，就是要让截出的小段总长度尽可能接近40mm且不超过40mm。首先根据总长度列出不等式$7x+9y≤40$，其中x、y都是正整数。解题时既可以先确定y的可能取值（9mm的小段更长，取值范围更小，计算更简便），再对每个y值求出对应的最大正整数x，计算对应的废料长度后比较得出结果；也可以直接代入四个选项计算总长度，排除超过40mm的选项，再比较剩余废料的多少。
【解析】
根据题意，截出的小段总长度满足：$7x + 9y ≤ 40$，且x、y均为正整数，废料长度为$40-(7x+9y)$，废料最少即$7x+9y$的可取值最大。我们用代入选项法验证：
A选项：$x=1,y=3$时，总长度$=7×1+9×3=34\mathrm{mm}$，废料$=40-34=6\mathrm{mm}$；
B选项：$x=3,y=2$时，总长度$=7×3+9×2=39\mathrm{mm}$，废料$=40-39=1\mathrm{mm}$；
C选项：$x=4,y=1$时，总长度$=7×4+9×1=37\mathrm{mm}$，废料$=40-37=3\mathrm{mm}$；
D选项：$x=2,y=3$时，总长度$=7×2+9×3=41\mathrm{mm}＞40\mathrm{mm}$，不符合要求，直接排除。
对比可知B选项的废料最少。
【答案】
B
【知识点】
二元一次不等式整数解，最优方案选择
【点评】
本题是典型的实际最优解问题，解题时要注意题目中x、y为正整数的限制条件，选择题型中优先选择代入选项验证的方法，能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7

4.如果不等式组$\begin{cases}x+8＜4x-1, \\x＞m\end{cases}$的解集是$x＞3$，那么$m$的取值范围是( )

A.$m≥3$
B.$m≤3$
C.$m=3$
D.$m＜3$

4.B

【分析】
要解决这个含参数的一元一次不等式组问题，解题思路分两步走：第一步先求解不含参数的一元一次不等式，得到它的解集；第二步结合不等式组“同大取大”的解集确定规则，结合题目给出的最终解集$x＞3$，推导参数$m$的取值范围，注意要验证端点值是否符合要求。
【解析】
1. 先解不等式$x+8＜4x-1$：
移项得：$x-4x＜-1-8$
合并同类项得：$-3x＜-9$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x＞3$
2. 已知不等式组的另一个不等式为$x＞m$，且不等式组的解集为$x＞3$
根据一元一次不等式组“同大取大”的解集判定规则：当两个不等式都是大于号时，解集取较大的那个数对应的范围。
若要最终解集为$x＞3$，则$m$不能大于3：
当$m=3$时，两个不等式均为$x＞3$，解集仍为$x＞3$，符合要求；
当$m＜3$时，取较大的3作为解集边界，解集为$x＞3$，符合要求；
当$m＞3$时，解集会变为$x＞m$，不符合题意。
因此$m$的取值范围是$m≤3$。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式；不等式组解集判定；含参数不等式求解
【点评】
本题核心考查一元一次不等式组的解法及解集规则的应用，易错点是容易忽略$m=3$的情况，求解含参数的不等式组时，单独验证端点值是否符合题意是避免出错的有效方法。
【难度系数】
0.7

5.观察右图，可以得出不等式组$\begin{cases}3x+1＞0,\\-0.5x+1＞0\end{cases}$的解集为（ ）

A.$x＜\dfrac{1}{3}$
B.$-\dfrac{1}{3}＜x＜0$
C.$0＜x＜2$
D.$-\dfrac{1}{3}＜x＜2$

5.D

【分析】
求解该不等式组可从两个思路入手：一是直接分别解两个一元一次不等式，再取解集的公共部分；二是结合一次函数与不等式的关系分析，不等式$kx+b＞0$的解集就是对应一次函数$y=kx+b$图像在x轴上方时x的取值范围，分别找到两个不等式对应x的范围后，取公共部分即可得到不等式组的解集。
【解析】
1. 解不等式$3x+1＞0$：
移项得$3x＞-1$，两边同时除以3，解得$x＞-\frac{1}{3}$。
2. 解不等式$-0.5x+1＞0$：
移项得$-0.5x＞-1$，两边同时乘$-2$（不等号方向改变），解得$x＜2$。
3. 取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-\frac{1}{3}＜x＜2$。
也可结合图像验证：$y=3x+1$与x轴交于$(-\frac{1}{3},0)$，函数值大于0时$x＞-\frac{1}{3}$；$y=-0.5x+1$与x轴交于$(2,0)$，函数值大于0时$x＜2$，公共范围为$-\frac{1}{3}＜x＜2$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与不等式、解一元一次不等式、不等式组解集
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的基础题型，既可以通过常规解不等式的方法求解，也可以用数形结合的方法借助图像直接得到解集，有助于理解代数和几何知识的关联。
【难度系数】
0.8

6.已知三角形三边长分别是3,8,x,若x为偶数,则x的值有个。

6. 3

【分析】
要解决这个问题，首先需要利用三角形三边的关系确定第三边x的取值范围，再结合“x为偶数”的限制条件筛选出符合要求的x值，最后统计个数即可。具体思考步骤：第一步回忆三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；第二步根据三边关系列不等式求出x的取值范围；第三步在取值范围内找出所有偶数，统计数量就是答案。
【解析】
根据三角形三边关系：第三边的长度大于另外两边之差，小于另外两边之和。
可得：$8 - 3 ＜ x ＜ 8 + 3$
计算得：$5 ＜ x ＜ 11$
已知x是偶数，那么在5到11之间的偶数有6、8、10，共3个。
【答案】
3
【知识点】
三角形三边关系，偶数的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确求出第三边的取值范围，再结合附加条件筛选结果，做题时要注意第三边不能等于两边之和或两边之差，避免取值范围出错。
【难度系数】
0.7

7.若不等式组$\begin{cases}x＜2m+1, \\ x＜7-m\end{cases}$的解集为$x＜2m+1$，则m ______ 。

7. ≤2

【分析】
本题考查一元一次不等式组的解集规则，首先回忆不等式组解集的确定口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。题中两个不等式都是“x小于某个数”的形式，属于“同小”的情况，解集应取更小的那个数对应的不等式。已知解集为$x＜2m+1$，说明$2m+1$小于或等于$7-m$，接下来解这个关于m的一元一次不等式即可得到结果，注意不要遗漏两数相等的情况，此时两个不等式的边界值相同，解集也符合要求。
【解析】
解：对于不等式组$\begin{cases}x＜2m+1, \\ x＜7-m\end{cases}$，两个不等式均为小于号，根据“同小取小”的解集确定规则，
∵ 不等式组的解集为$x＜2m+1$，
∴ $2m+1 ≤ 7-m$，
移项得：$2m + m ≤ 7 - 1$，
合并同类项得：$3m ≤ 6$，
两边同时除以3得：$m ≤ 2$。
【答案】
≤2
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解集
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题核心是对不等式组解集“同小取小”规则的运用，易错点是忽略$2m+1$与$7-m$相等的情况，解题时要注意边界值的验证，避免漏解。
【难度系数】
0.7

8. 函数 $y_1=-5x+\frac{1}{2}, y_2=\frac{1}{2}x+1$，使 $y_1 ＜ y_2$ 的最小整数值为。

8. 0

【分析】
要找出使$y_1＜y_2$的最小整数，首先需要将两个函数的表达式代入不等关系，转化为关于$x$的一元一次不等式，解不等式得到$x$的取值范围，再在取值范围内找出最小的整数即可。解题时要注意解不等式时，两边同时乘除负数，不等号方向需要改变，找整数解时要准确判断边界值是否符合要求。
【解析】
根据题意$y_1＜y_2$，代入函数表达式得：
$-5x+\frac{1}{2}＜\frac{1}{2}x+1$
移项，将含$x$的项移到左边，常数项移到右边：
$-5x-\frac{1}{2}x＜1-\frac{1}{2}$
合并同类项：
$-\frac{11}{2}x＜\frac{1}{2}$
两边同时乘以$-\frac{2}{11}$（不等号方向改变）：
$x＞-\frac{1}{11}$
大于$-\frac{1}{11}$的整数有$0,1,2,\dots$，其中最小的整数是$0$。
【答案】
0
【知识点】
一次函数值比较大小；解一元一次不等式；不等式的整数解
【点评】
本题是基础题型，核心是将函数值的大小关系转化为一元一次不等式求解，易错点有两个：一是解不等式时两边同时除以负数忘记改变不等号方向，二是找整数解时忽略边界值的大小关系选错整数。
【难度系数】
0.7

三、计算题
9. $\begin{cases} x-2＞0, \\ 2(x+1)≥ 3x-1。 \end{cases}$

9. $2＜x≤ 3$

【分析】
要解一元一次不等式组，需先分别求出组内每个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。第一步先处理第一个不含括号的不等式，通过移项即可求出解集；第二步处理带括号的第二个不等式，按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，注意系数化为1时如果系数为负数，不等号方向要改变；最后根据解集规律确定两个解集的公共部分即可。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式 $x-2＞0$，
移项可得：$x＞2$。
2. 解不等式 $2(x+1)≥3x-1$，
去括号得：$2x+2≥3x-1$，
移项得：$2x-3x≥-1-2$，
合并同类项得：$-x≥-3$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x≤3$。
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为 $2＜x≤3$。
【答案】
$2 ＜ x ≤ 3$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是不等式组的基础考查题，解题核心是正确求解每个不等式的解集，再准确判断公共解集，需要注意解不等式系数化为1时，若两边同时乘除负数，不等号方向必须改变。
【难度系数】
0.8