1.如图，已知$△ ADE$与$△ ABC$的相似比为$1:2$，则$△ ADE$与$△ ABC$的面积比为（）

A.$1:2$
B.$1:4$
C.$2:1$
D.$4:1$

1.B

【分析】
拿到这道题首先提取题干关键信息：已知△ADE与△ABC相似，相似比为1:2，要求两个三角形的面积比。首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，我们只需要将已知的相似比做平方运算，就能直接得到面积比，不需要额外计算边长、高等数值，直接套用性质即可解题。
【解析】
解：根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
已知△ADE与△ABC的相似比为$1:2$，
因此二者的面积比为$(1:2)^2=1^2:2^2=1:4$。
故本题选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对相似三角形面积比与相似比对应关系的掌握，解题时要注意区分相似三角形的周长比、面积比和相似比的关系，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.9

2.如图,在$□ ABCD$中,$AB=6$,$AD=9$,$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$,交$DC$的延长线于点$F$,$BG⊥ AE$,垂足为$G$,$BG=4\sqrt{2}$,则$△ CEF$的周长为()

A.8
B.9.5
C.10
D.11.5

2.A

【分析】
解题时可按照以下思路推导：①首先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线的定义，推导得出△ABE是等腰三角形，从而求出BE、EC的长度；②结合等腰三角形三线合一的性质，在直角三角形ABG中用勾股定理求出AG的长度，进而得到AE的总长度；③再次利用平行线和角平分线的性质推导△ADF为等腰三角形，求出CF的长度，最后根据相似三角形的周长比等于相似比，计算得出△CEF的周长。
【解析】
解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形
∴$AD// BC$，$AB// CD$，$AB=CD=6$，$AD=BC=9$
∴$∠ DAE=∠ AEB$
∵$AE$平分$∠ BAD$
∴$∠ BAE=∠ DAE$
∴$∠ BAE=∠ AEB$，即$△ ABE$为等腰三角形
∴$BE=AB=6$，则$EC=BC-BE=9-6=3$
∵$BG⊥ AE$，$△ ABE$是等腰三角形
∴$G$是$AE$中点，即$AG=GE$
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，由勾股定理得：
$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{6^2-(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{36-32}=2$
∴$AE=2AG=4$
∵$AB// DF$
∴$∠ BAE=∠ F$，又$∠ BAE=∠ DAE$
∴$∠ DAE=∠ F$，即$△ ADF$为等腰三角形
∴$DF=AD=9$，则$CF=DF-CD=9-6=3$
∵$AB// CF$
∴$△ ABE∽△ FCE$，相似比为$\frac{AB}{CF}=\frac{6}{3}=2$
∴$△ ABE$与$△ CEF$的周长比为$2:1$
$△ ABE$的周长为$AB+BE+AE=6+6+4=16$
∴$△ CEF$的周长为$\frac{16}{2}=8$
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，将平行四边形、等腰三角形、相似三角形的知识点结合考查，解题的关键是熟练掌握"平行线+角平分线=等腰三角形"的常用几何模型，结合相似三角形的性质简化计算。
【难度系数】
0.6

3.将$a^3 - 2a^2 + a$分解因式，结果为。

3.$a(a-1)^2$

【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的基本思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题中三项都含有公因式a，优先提取公因式；第二步观察提取公因式后余下的二次三项式的结构，发现其符合完全平方公式的特征，可套用公式继续分解；最后确认所有因式都不能再分解即可。
【解析】
1. 提取公因式a：
$a^3 - 2a^2 + a = a(a^2 - 2a + 1)$
2. 对括号内的多项式套用完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，此处$m=a$，$n=1$，可得：
$a^2 - 2a + 1=(a-1)^2$
因此原式分解因式的结果为$a(a-1)^2$。
【答案】
$a(a-1)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，解题时注意先提取公因式再套用公式，最终要保证分解结果中的每一个因式都不能再继续分解。
【难度系数】
0.8

4.化简：$\frac{a+1}{a-1} · \frac{a^2 -1}{a+1} -1 =$ 。

4.$a$

【分析】
本题属于分式的混合运算题，解题时遵循先乘除后加减的运算顺序：首先观察到乘法部分的$a^2-1$可以用平方差公式因式分解，先对多项式因式分解，再对分式乘法进行约分，约分后再计算减法即可得到化简结果，计算过程中要注意隐含的分式有意义的条件（$a≠\pm1$）。
【解析】
解：先利用平方差公式因式分解得$a^2-1=(a+1)(a-1)$，代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a+1}{a-1} · \frac{(a+1)(a-1)}{a+1} -1\\&=\frac{\cancel{a+1}}{\cancel{a-1}} · \frac{(\cancel{a+1})\cancel{(a-1)}}{\cancel{a+1}} -1\\&=(a+1)-1\\&=a \quad (a≠\pm1)\end{aligned}$
【答案】
$a$
【知识点】
1. 分式混合运算
2. 平方差公式
3. 分式约分
【点评】
本题是分式化简的基础题型，重点考查运算顺序和因式分解的应用，解题时先处理乘除部分，通过因式分解和约分简化计算，再计算加减即可，属于需要熟练掌握的基础运算。
【难度系数】
0.8

5.不等式组$\begin{cases}2x+5≤ 3(x+2), \\ \dfrac{x-1}{2}＜\dfrac{x}{3}\end{cases}$的整数解的个数为 ______ 。

5.4

【分析】
要解决这个问题，我们遵循解一元一次不等式组的常规思路：首先分别求解两个一元一次不等式，接着找出两个不等式解集的公共部分得到不等式组的总解集，最后在总解集范围内找出所有整数，统计整数的个数即可。解题时要注意：当不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$2x+5≤ 3(x+2)$
去括号得：$2x+5≤3x+6$
移项得：$2x-3x≤6-5$
合并同类项得：$-x≤1$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x≥-1$
2. 解不等式$\dfrac{x-1}{2}＜\dfrac{x}{3}$
两边同时乘6去分母得：$3(x-1)＜2x$
去括号得：$3x-3＜2x$
移项得：$3x-2x＜3$
合并同类项得：$x＜3$
因此不等式组的解集为$-1≤x＜3$，其中的整数解为$-1、0、1、2$，共4个。
【答案】
4
【知识点】
解一元一次不等式、解一元一次不等式组、不等式组整数解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次不等式组的求解及整数解的确定。解题时要注意两处易错点：一是解含负系数的不等式时，不等号方向不要写错；二是确定整数解时，要注意解集的端点是否包含，避免漏解或多算。
【难度系数】
0.8

6.当$m=$时，关于$x$的分式方程$\dfrac{2x+m}{x-3}=-1$无解。

6.$-6$

【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。本题中去分母后得到的是一元一次方程，必然有解，因此只需考虑增根的情况。解题步骤为：①先确定原分式方程的增根（令分母x-3=0，得增根x=3）；②将分式方程去分母转化为整式方程；③将增根代入整式方程即可求出m的值。
【解析】
给分式方程两边同时乘以最简公分母$x-3$（注意$x≠3$），去分母得：
$2x + m = -(x - 3)$
整理整式方程：
$2x + m = -x + 3$
移项合并同类项得：
$3x = 3 - m$
解得：$x = \frac{3 - m}{3}$
因为原分式方程无解，所以该整式方程的解为原分式方程的增根，即$x=3$。
将$x=3$代入$x = \frac{3 - m}{3}$得：
$3 = \frac{3 - m}{3}$
两边同时乘3得：$9 = 3 - m$
解得：$m = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程求参数的常考题型，解题核心是理解分式方程无解的含义，重点要掌握增根的产生原因及应用，本题中整式方程为一元一次方程一定有解，因此仅需将增根代入整式方程计算参数即可。
【难度系数】
0.7

三、解答题
7.根据条件求值：
(1)已知$\frac{1}{x}+x=5$，求$\frac{1}{x^2}+x^2$的值；
(2)已知$4a^2+9b^2-4a+12b+5=0$，求$a,b$的值。

7.解:(1)$\frac{1}{x^2}+x^2=(x+\frac{1}{x})^2-2=5^2-2=23$；
(2)$4a^2+9b^2-4a+12b+5=4a^2-4a+1+9b^2+12b+4=(2a-1)^2+(3b+2)^2$
由已知条件有$(2a-1)^2+(3a+2)^2=0$,$\because (2a-1)^2≥0,(3a+2)^2≥0,\therefore 2a-1=0,3b+2=0$,即$a=\frac{1}{2},b=-\frac{2}{3}$。

【分析】
(1) 观察所求式子$\frac{1}{x^2}+x^2$的结构，可联想到完全平方公式的展开形式：$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$，将公式变形得到$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，代入已知的$x+\frac{1}{x}=5$即可求出结果。
(2) 观察等式左边的多项式，可通过拆分常数项分组凑完全平方：把常数5拆为1和4，分别与$4a^2-4a$、$9b^2+12b$组合得到两个完全平方式的和。根据平方数的非负性，两个非负数相加等于0时每个非负数都为0，列方程即可求出a、b的值。
【解析】
(1) 根据完全平方公式变形可得：
$\frac{1}{x^2}+x^2=(x+\frac{1}{x})^2 - 2$
将$\frac{1}{x}+x=5$代入上式：
原式$=5^2 - 2=25-2=23$
(2) 对等式左边的多项式进行配方：
$4a^2+9b^2-4a+12b+5$
$=(4a^2-4a+1)+(9b^2+12b+4)$
$=(2a-1)^2+(3b+2)^2$
结合已知条件得：$(2a-1)^2+(3b+2)^2=0$
$\because$ 平方数具有非负性，即$(2a-1)^2≥0$，$(3b+2)^2≥0$
$\therefore$ 只有两个平方数同时为0时和才为0，即：
$2a-1=0$，$3b+2=0$
解得：$a=\frac{1}{2}$，$b=-\frac{2}{3}$
【答案】
(1) $\boxed{23}$；(2) $\boxed{a=\frac{1}{2},b=-\frac{2}{3}}$
【知识点】
完全平方公式，配方法的应用，非负数的性质
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活变形和配方法的使用，是代数运算类的基础常考题型，熟练掌握公式变形规律和配方法的凑项技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7