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7.求不等式组$\begin{cases}2x+\dfrac{3}{5}＞x+\dfrac{7}{4},\\4x+\dfrac{3}{2}＜2x+25\end{cases}$的整数解。
答案
7. 不等式组的整数解为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
解析
【分析】
要得到不等式组的整数解，需分三步思考：第一步分别求解两个一元一次不等式，解不等式时按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，分数计算时注意通分准确；第二步找到两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集；第三步在公共解集范围内筛选出所有整数即可。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式 $2x+\frac{3}{5} ＞ x+\frac{7}{4}$
移项得：$2x-x ＞ \frac{7}{4}-\frac{3}{5}$
通分计算右侧：$\frac{7}{4}-\frac{3}{5}=\frac{35}{20}-\frac{12}{20}=\frac{23}{20}=1.15$
得解集：$x＞1.15$
2. 解不等式 $4x+\frac{3}{2} ＜ 2x+25$
移项得：$4x-2x ＜ 25-\frac{3}{2}$
合并同类项得：$2x ＜ \frac{47}{2}=23.5$
系数化为1得：$x＜11.75$
综上，不等式组的解集为 $1.15＜x＜11.75$，范围内的整数为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11。
【答案】
不等式组的整数解为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式组解集确定，整数解求解
【点评】
本题是不等式组的基础常规题型，重点考查解一元一次不等式的运算能力，以及确定公共解集、筛选整数解的逻辑能力，计算时注意分数通分的准确性即可避免失分。
【难度系数】
0.8
要得到不等式组的整数解，需分三步思考：第一步分别求解两个一元一次不等式，解不等式时按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，分数计算时注意通分准确；第二步找到两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集；第三步在公共解集范围内筛选出所有整数即可。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式 $2x+\frac{3}{5} ＞ x+\frac{7}{4}$
移项得：$2x-x ＞ \frac{7}{4}-\frac{3}{5}$
通分计算右侧：$\frac{7}{4}-\frac{3}{5}=\frac{35}{20}-\frac{12}{20}=\frac{23}{20}=1.15$
得解集：$x＞1.15$
2. 解不等式 $4x+\frac{3}{2} ＜ 2x+25$
移项得：$4x-2x ＜ 25-\frac{3}{2}$
合并同类项得：$2x ＜ \frac{47}{2}=23.5$
系数化为1得：$x＜11.75$
综上，不等式组的解集为 $1.15＜x＜11.75$，范围内的整数为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11。
【答案】
不等式组的整数解为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
【知识点】
一元一次不等式解法，不等式组解集确定，整数解求解
【点评】
本题是不等式组的基础常规题型，重点考查解一元一次不等式的运算能力，以及确定公共解集、筛选整数解的逻辑能力，计算时注意分数通分的准确性即可避免失分。
【难度系数】
0.8
四、解答题
8. 已知一次函数 $y_1=-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}a$，$y_2=\frac{3}{2}x-\frac{a-1}{2}$，试问 $a$ 为何值时，两个函数图象的交点在第二象限。
8. 已知一次函数 $y_1=-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}a$，$y_2=\frac{3}{2}x-\frac{a-1}{2}$，试问 $a$ 为何值时，两个函数图象的交点在第二象限。
答案
8. 解:由两函数解析式联立成方程组,可求出$\begin{cases} x=\dfrac{7a-3}{13},\\ y=\dfrac{4a+2}{13}。\end{cases}$ 依题意,有$\begin{cases} \dfrac{7a-3}{13}＜0\\ \dfrac{4a+2}{13}＞0 \end{cases}$ $\therefore -\dfrac{1}{2}＜a＜\dfrac{3}{7}$。
解析
【分析】
要解决这个问题可按三步思考：第一步，两个一次函数图象的交点坐标就是两个解析式联立组成的二元一次方程组的解，因此先联立解析式，用含a的代数式表示出交点的横、纵坐标；第二步，明确第二象限内点的坐标特征是横坐标小于0、纵坐标大于0，据此列出关于a的一元一次不等式组；第三步，解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
联立两个一次函数的解析式，得到方程组：
$\begin{cases} y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}a \\ y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{a-1}{2} \end{cases}$
消去y求解，可得交点坐标为：
$\begin{cases} x=\dfrac{7a-3}{13} \\ y=\dfrac{4a+2}{13} \end{cases}$
因为交点在第二象限，所以横坐标小于0、纵坐标大于0，列不等式组：
$\begin{cases} \dfrac{7a-3}{13}＜0 \\ \dfrac{4a+2}{13}＞0 \end{cases}$
分母13为正数，不等号方向不变，分别解两个不等式：
解$7a-3＜0$，得$a＜\dfrac{3}{7}$；
解$4a+2＞0$，得$a＞-\dfrac{1}{2}$。
取两个解集的公共部分，即得a的取值范围。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}＜a＜\dfrac{3}{7}$
【知识点】
一次函数交点问题；象限内点的坐标特征；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是一次函数与方程组、不等式组的综合常规题型，解题核心是掌握函数交点与方程组解的对应关系，能将几何的位置特征转化为代数的不等式问题求解，练习时要注意体会数形结合的思想。
【难度系数】
0.65
要解决这个问题可按三步思考：第一步，两个一次函数图象的交点坐标就是两个解析式联立组成的二元一次方程组的解，因此先联立解析式，用含a的代数式表示出交点的横、纵坐标；第二步，明确第二象限内点的坐标特征是横坐标小于0、纵坐标大于0，据此列出关于a的一元一次不等式组；第三步，解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
联立两个一次函数的解析式，得到方程组：
$\begin{cases} y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}a \\ y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{a-1}{2} \end{cases}$
消去y求解，可得交点坐标为：
$\begin{cases} x=\dfrac{7a-3}{13} \\ y=\dfrac{4a+2}{13} \end{cases}$
因为交点在第二象限，所以横坐标小于0、纵坐标大于0，列不等式组：
$\begin{cases} \dfrac{7a-3}{13}＜0 \\ \dfrac{4a+2}{13}＞0 \end{cases}$
分母13为正数，不等号方向不变，分别解两个不等式：
解$7a-3＜0$，得$a＜\dfrac{3}{7}$；
解$4a+2＞0$，得$a＞-\dfrac{1}{2}$。
取两个解集的公共部分，即得a的取值范围。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}＜a＜\dfrac{3}{7}$
【知识点】
一次函数交点问题；象限内点的坐标特征；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是一次函数与方程组、不等式组的综合常规题型，解题核心是掌握函数交点与方程组解的对应关系，能将几何的位置特征转化为代数的不等式问题求解，练习时要注意体会数形结合的思想。
【难度系数】
0.65
9.已知$m=\frac{1}{\sqrt{3}-2},n=\frac{1}{\sqrt{3}+2}$，化简并求值：$( \frac{m-n}{m^2 - 2mn + n^2} $
$ \frac{mn + n^2}{m^2 - n^2} ) · \frac{mn}{n - 1}$
$ \frac{mn + n^2}{m^2 - n^2} ) · \frac{mn}{n - 1}$答案
9. 解:化简结果为:$\dfrac{mn}{n-m}$, $\because m=-\sqrt{3}-2,n=2-\sqrt{3}$, $\therefore$ 原式的值为$-\dfrac{1}{4}$。
解析
【分析】
本题是分式化简求值题，解题思路可分为三步：首先对括号内两个分式的分子、分母分别因式分解，约分后计算括号内的减法；再将括号内的运算结果与后面的分式相乘，约分化简得到最简代数式；最后先对m、n进行分母有理化得到最简形式，再代入化简后的式子计算结果，先化简再代入的方法能大幅简化运算，降低出错概率。
【解析】
1. 对分式因式分解并化简括号内部分：
根据完全平方公式得$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，根据平方差公式得$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$，对分子提公因式得$mn+n^2=n(m+n)$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=( \frac{m-n}{(m-n)^2} - \frac{n(m+n)}{(m-n)(m+n)} ) · \frac{mn}{n-1}\\&=( \frac{1}{m-n} - \frac{n}{m-n} ) · \frac{mn}{n-1}\\&=\frac{1-n}{m-n} · \frac{mn}{n-1}\end{aligned}$
2. 完成乘法运算化简：
注意$n-1=-(1-n)$，约分得：
$\mathrm{原式}=\frac{1-n}{m-n} · \frac{mn}{-(1-n)}=\frac{-mn}{m-n}=\frac{mn}{n-m}$
3. 分母有理化求m、n的值：
对m有理化：$m=\frac{1}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=\frac{\sqrt{3}+2}{3-4}=-\sqrt{3}-2$
对n有理化：$n=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{2-\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$
4. 代入计算：
先算$mn=(-\sqrt{3}-2)(2-\sqrt{3})=-1$，再算$n-m=(2-\sqrt{3})-(-\sqrt{3}-2)=4$，因此原式$=\frac{mn}{n-m}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{mn}{n-m}$，求值结果为$-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
分式化简，分母有理化，因式分解
【点评】
本题重点考查分式运算的基本方法和二次根式有理化的技巧，解题时先因式分解约分再运算可有效简化计算过程，需要注意运算中符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.6
本题是分式化简求值题，解题思路可分为三步：首先对括号内两个分式的分子、分母分别因式分解，约分后计算括号内的减法；再将括号内的运算结果与后面的分式相乘，约分化简得到最简代数式；最后先对m、n进行分母有理化得到最简形式，再代入化简后的式子计算结果，先化简再代入的方法能大幅简化运算，降低出错概率。
【解析】
1. 对分式因式分解并化简括号内部分：
根据完全平方公式得$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，根据平方差公式得$m^2-n^2=(m-n)(m+n)$，对分子提公因式得$mn+n^2=n(m+n)$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=( \frac{m-n}{(m-n)^2} - \frac{n(m+n)}{(m-n)(m+n)} ) · \frac{mn}{n-1}\\&=( \frac{1}{m-n} - \frac{n}{m-n} ) · \frac{mn}{n-1}\\&=\frac{1-n}{m-n} · \frac{mn}{n-1}\end{aligned}$
2. 完成乘法运算化简：
注意$n-1=-(1-n)$，约分得：
$\mathrm{原式}=\frac{1-n}{m-n} · \frac{mn}{-(1-n)}=\frac{-mn}{m-n}=\frac{mn}{n-m}$
3. 分母有理化求m、n的值：
对m有理化：$m=\frac{1}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=\frac{\sqrt{3}+2}{3-4}=-\sqrt{3}-2$
对n有理化：$n=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{2-\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}$
4. 代入计算：
先算$mn=(-\sqrt{3}-2)(2-\sqrt{3})=-1$，再算$n-m=(2-\sqrt{3})-(-\sqrt{3}-2)=4$，因此原式$=\frac{mn}{n-m}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{mn}{n-m}$，求值结果为$-\dfrac{1}{4}$
【知识点】
分式化简，分母有理化，因式分解
【点评】
本题重点考查分式运算的基本方法和二次根式有理化的技巧，解题时先因式分解约分再运算可有效简化计算过程，需要注意运算中符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.6
10.已知:如图,E为$□ ABCD$中DC边的延长线上的一点,且$CE=DC$,连接AE分别交BC,BD于点F,G,连接AC交BD于点O,连接OF。求证:$AB=2OF$。
答案
10. 证明:连接 BE。
$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形 $\therefore AB=DC,AB// DC,AO=OC$(平行四边形的对角线互相平分)。
$\because CE=DC,\therefore AB=CE$,且$AB// CE$ $\therefore$ 四边形 ABEC 是平行四边形,
$\therefore BF=FC$(平行四边形的对角线互相平分)。$\therefore OF$ 是$△ AEC$ 的中位线,$\therefore AB=2OF$。
$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形 $\therefore AB=DC,AB// DC,AO=OC$(平行四边形的对角线互相平分)。
$\because CE=DC,\therefore AB=CE$,且$AB// CE$ $\therefore$ 四边形 ABEC 是平行四边形,
$\therefore BF=FC$(平行四边形的对角线互相平分)。$\therefore OF$ 是$△ AEC$ 的中位线,$\therefore AB=2OF$。
解析
【分析】
要证明AB=2OF，此类线段倍分关系通常优先考虑用三角形中位线定理推导：三角形的中位线长度等于第三边的一半。首先由平行四边形ABCD的性质可知，其对角线交点O是AC的中点，因此只需证明F是BC的中点，即可得到OF是对应三角形的中位线，进而推出结论。要证F是BC中点，结合已知CE=DC，以及平行四边形对边平行且相等的性质，可推出AB与CE平行且相等，即可证明四边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质就能得到F是BC中点，顺利完成证明。
【解析】
证明：连接BE。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB=DC$，$AB// DC$，$AO=OC$（平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分）。
∵ $CE=DC$，
∴ $AB=CE$，且$AB// CE$，
∴ 四边形ABEC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ $BF=FC$（平行四边形的对角线互相平分）。
∵ $AO=OC$，$BF=FC$，
∴ OF是$△ AEC$的中位线，
∴ $OF=\frac{1}{2}CE$，又$CE=AB$，
∴ $AB=2OF$。
【答案】
证明:连接 BE。
$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形 $\therefore AB=DC,AB// DC,AO=OC$(平行四边形的对角线互相平分)。
$\because CE=DC,\therefore AB=CE$,且$AB// CE$ $\therefore$ 四边形 ABEC 是平行四边形,
$\therefore BF=FC$(平行四边形的对角线互相平分)。$\therefore OF$ 是$△ AEC$ 的中位线,$\therefore AB=2OF$。
【知识点】
平行四边形的判定、平行四边形的性质、三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，核心考查平行四边形性质和判定的灵活运用，以及三角形中位线定理的应用，解题的关键是合理添加辅助线构造平行四边形，得到线段中点关系，进而推导线段倍分结论，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
要证明AB=2OF，此类线段倍分关系通常优先考虑用三角形中位线定理推导：三角形的中位线长度等于第三边的一半。首先由平行四边形ABCD的性质可知，其对角线交点O是AC的中点，因此只需证明F是BC的中点，即可得到OF是对应三角形的中位线，进而推出结论。要证F是BC中点，结合已知CE=DC，以及平行四边形对边平行且相等的性质，可推出AB与CE平行且相等，即可证明四边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质就能得到F是BC中点，顺利完成证明。
【解析】
证明：连接BE。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB=DC$，$AB// DC$，$AO=OC$（平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分）。
∵ $CE=DC$，
∴ $AB=CE$，且$AB// CE$，
∴ 四边形ABEC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ $BF=FC$（平行四边形的对角线互相平分）。
∵ $AO=OC$，$BF=FC$，
∴ OF是$△ AEC$的中位线，
∴ $OF=\frac{1}{2}CE$，又$CE=AB$，
∴ $AB=2OF$。
【答案】
证明:连接 BE。
$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形 $\therefore AB=DC,AB// DC,AO=OC$(平行四边形的对角线互相平分)。
$\because CE=DC,\therefore AB=CE$,且$AB// CE$ $\therefore$ 四边形 ABEC 是平行四边形,
$\therefore BF=FC$(平行四边形的对角线互相平分)。$\therefore OF$ 是$△ AEC$ 的中位线,$\therefore AB=2OF$。
【知识点】
平行四边形的判定、平行四边形的性质、三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，核心考查平行四边形性质和判定的灵活运用，以及三角形中位线定理的应用，解题的关键是合理添加辅助线构造平行四边形，得到线段中点关系，进而推导线段倍分结论，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
