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一、填空题
1. 如果$x+y=0$，$xy=-7$，则$x^2y+xy^2=$
1. 如果$x+y=0$，$xy=-7$，则$x^2y+xy^2=$
0
。答案
1. 0
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现两项都含有公因式xy，因此可以先通过提公因式法对代数式因式分解，将其转化为含已知条件x+y、xy的形式，再整体代入已知数值计算即可，无需单独求解x、y的具体值，能简化计算过程。
【解析】
对所求代数式因式分解：
$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$
已知$x+y=0$，$xy=-7$，将其代入上式得：
原式$= (-7) × 0 = 0$
【答案】
0
【知识点】
提公因式法因式分解，整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查因式分解的简单应用，运用整体代入的思想可快速得出结果，避免了求解x、y具体值的繁琐步骤，熟练掌握提公因式法是解这类题的关键。
【难度系数】
0.9
首先观察所求代数式的结构，发现两项都含有公因式xy，因此可以先通过提公因式法对代数式因式分解，将其转化为含已知条件x+y、xy的形式，再整体代入已知数值计算即可，无需单独求解x、y的具体值，能简化计算过程。
【解析】
对所求代数式因式分解：
$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$
已知$x+y=0$，$xy=-7$，将其代入上式得：
原式$= (-7) × 0 = 0$
【答案】
0
【知识点】
提公因式法因式分解，整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，主要考查因式分解的简单应用，运用整体代入的思想可快速得出结果，避免了求解x、y具体值的繁琐步骤，熟练掌握提公因式法是解这类题的关键。
【难度系数】
0.9
2.如图，△ABC为等边三角形，边长为2cm，D为BC的中点，△AEB是△ADC绕点A旋转60°得到的，则∠ABE=
60°
，BE=1
；若连接DE，则△ADE为等边三角形
。答案
2. 60°,1,等边三角形
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是等边三角形，可得其内角均为60°、三边相等，结合D是BC中点可求出DC的长度；再根据旋转的性质，旋转前后的两个三角形全等，对应角相等、对应边相等，且旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角，据此可求出∠ABE和BE的长度；最后判断△ADE的形状时，由旋转可得AE=AD，且旋转角∠EAD=60°，结合等边三角形的判定定理即可得出结论。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，边长为2cm，
∴∠C=60°，BC=2cm，
又
∵D为BC的中点，
∴DC=$\frac{1}{2}$BC=1cm。
∵△AEB是△ADC绕点A旋转60°得到的，
∴△AEB≌△ADC，AE=AD，∠EAD=60°，
∴∠ABE=∠C=60°，BE=DC=1cm。
在△ADE中，AE=AD，且∠EAD=60°，
∴△ADE为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
【答案】
60°，1，等边三角形
【知识点】
1.旋转的性质
2.等边三角形的性质
3.等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，将旋转性质与等边三角形的知识结合考查，解题核心是抓住旋转前后图形全等的特征，得到对应边、角的等量关系，再结合等边三角形的判定规则即可快速求解，能有效检验学生对基础几何定理的掌握程度。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是等边三角形，可得其内角均为60°、三边相等，结合D是BC中点可求出DC的长度；再根据旋转的性质，旋转前后的两个三角形全等，对应角相等、对应边相等，且旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角，据此可求出∠ABE和BE的长度；最后判断△ADE的形状时，由旋转可得AE=AD，且旋转角∠EAD=60°，结合等边三角形的判定定理即可得出结论。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，边长为2cm，
∴∠C=60°，BC=2cm，
又
∵D为BC的中点，
∴DC=$\frac{1}{2}$BC=1cm。
∵△AEB是△ADC绕点A旋转60°得到的，
∴△AEB≌△ADC，AE=AD，∠EAD=60°，
∴∠ABE=∠C=60°，BE=DC=1cm。
在△ADE中，AE=AD，且∠EAD=60°，
∴△ADE为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
【答案】
60°，1，等边三角形
【知识点】
1.旋转的性质
2.等边三角形的性质
3.等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，将旋转性质与等边三角形的知识结合考查，解题核心是抓住旋转前后图形全等的特征，得到对应边、角的等量关系，再结合等边三角形的判定规则即可快速求解，能有效检验学生对基础几何定理的掌握程度。
【难度系数】
0.8
3.如图，$□ ABCD$的对角线相交于点O，且$AB≠AD$，过点O作$OE⊥BD$交BC于点E。
若$△ CDE$的周长为10，则$□ ABCD$的周长为
若$△ CDE$的周长为10，则$□ ABCD$的周长为
20
。答案
3. 20
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先平行四边形的对角线互相平分，可得O是BD的中点，结合OE⊥BD，可知OE是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可推出BE=DE；再将△CDE的周长中的DE替换为BE，可将三角形周长转化为平行四边形一组邻边BC与CD的和，最后根据平行四边形对边相等，周长为邻边和的2倍即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥BD，且O为BD中点，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∵△CDE的周长为10，
∴$CD + CE + DE = 10$，
将DE替换为BE得：$CD + CE + BE = CD + BC = 10$，
∴$□ABCD$的周长 = $2×(BC + CD) = 2×10 = 20$。
【答案】
20
【知识点】
平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，周长计算
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将三角形周长与平行四边形的邻边和关联，解题思路清晰，是平行四边形章节的典型考题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先平行四边形的对角线互相平分，可得O是BD的中点，结合OE⊥BD，可知OE是BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可推出BE=DE；再将△CDE的周长中的DE替换为BE，可将三角形周长转化为平行四边形一组邻边BC与CD的和，最后根据平行四边形对边相等，周长为邻边和的2倍即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥BD，且O为BD中点，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∵△CDE的周长为10，
∴$CD + CE + DE = 10$，
将DE替换为BE得：$CD + CE + BE = CD + BC = 10$，
∴$□ABCD$的周长 = $2×(BC + CD) = 2×10 = 20$。
【答案】
20
【知识点】
平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，周长计算
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将三角形周长与平行四边形的邻边和关联，解题思路清晰，是平行四边形章节的典型考题。
【难度系数】
0.7
4.如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落点恰好在离网6m的位置上,则小明拍击球的高度h为(
A.$\frac{8}{15}$m
B.1m
C.$\frac{4}{3}$m
D.$\frac{8}{5}$m
C
)A.$\frac{8}{15}$m
B.1m
C.$\frac{4}{3}$m
D.$\frac{8}{5}$m
答案
4. C
解析
【分析】
本题可通过相似三角形的性质求解。首先观察实际场景：网球的运动轨迹为直线，球网、击球高度均与地面垂直，因此轨迹、竖直高度、水平距离构成的两个直角三角形相似。相似三角形对应边成比例，我们只需确定两个三角形的对应水平边长和对应竖直高度，列比例式即可求出h的值。
【解析】
解：由题意可得，两个直角三角形相似，对应边成比例。
较小直角三角形的水平长度为6m，竖直高度为0.8m；
较大直角三角形的水平长度为$6+4=10$m，竖直高度为$h$m。
根据相似三角形对应边成比例，列等式：
$\frac{0.8}{h}=\frac{6}{10}$
交叉相乘得：$6h=0.8×10$
计算得：$6h=8$
解得：$h=\frac{4}{3}$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在生活场景中的基础应用题，解题核心是从实际问题中抽象出相似三角形模型，准确找到对应边的比例关系，计算量小，掌握相似三角形的性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
本题可通过相似三角形的性质求解。首先观察实际场景：网球的运动轨迹为直线，球网、击球高度均与地面垂直，因此轨迹、竖直高度、水平距离构成的两个直角三角形相似。相似三角形对应边成比例，我们只需确定两个三角形的对应水平边长和对应竖直高度，列比例式即可求出h的值。
【解析】
解：由题意可得，两个直角三角形相似，对应边成比例。
较小直角三角形的水平长度为6m，竖直高度为0.8m；
较大直角三角形的水平长度为$6+4=10$m，竖直高度为$h$m。
根据相似三角形对应边成比例，列等式：
$\frac{0.8}{h}=\frac{6}{10}$
交叉相乘得：$6h=0.8×10$
计算得：$6h=8$
解得：$h=\frac{4}{3}$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在生活场景中的基础应用题，解题核心是从实际问题中抽象出相似三角形模型，准确找到对应边的比例关系，计算量小，掌握相似三角形的性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
5.如图，E是$□ ABCD$的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于点F，则图中共有相似三角形（
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
C
）A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
5. C
解析
【分析】
解题时先回忆平行四边形对边平行的性质，再结合相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似来逐一寻找，最后利用相似的传递性得到间接相似的三角形，注意不要漏数。首先根据AD平行于BC，找到第一对相似三角形；再根据AB平行于CD，找到第二对相似三角形；最后根据相似的传递性得到第三对相似三角形。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD。
1. 由AD//BE可得：∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，根据两角分别相等的两个三角形相似，得$△ ADF ∽ △ ECF$；
2. 由AB//CD可得：∠B=∠ECF，∠EAB=∠EFC，根据两角分别相等的两个三角形相似，得$△ ECF ∽ △ EBA$；
3. 根据相似三角形的传递性，由$△ ADF ∽ △ ECF$、$△ ECF ∽ △ EBA$，可得$△ ADF ∽ △ EBA$。
综上，图中共有3对相似三角形。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定方法，计数时要注意不要遗漏由相似传递性得到的相似三角形。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平行四边形对边平行的性质，再结合相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似来逐一寻找，最后利用相似的传递性得到间接相似的三角形，注意不要漏数。首先根据AD平行于BC，找到第一对相似三角形；再根据AB平行于CD，找到第二对相似三角形；最后根据相似的传递性得到第三对相似三角形。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD。
1. 由AD//BE可得：∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，根据两角分别相等的两个三角形相似，得$△ ADF ∽ △ ECF$；
2. 由AB//CD可得：∠B=∠ECF，∠EAB=∠EFC，根据两角分别相等的两个三角形相似，得$△ ECF ∽ △ EBA$；
3. 根据相似三角形的传递性，由$△ ADF ∽ △ ECF$、$△ ECF ∽ △ EBA$，可得$△ ADF ∽ △ EBA$。
综上，图中共有3对相似三角形。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定方法，计数时要注意不要遗漏由相似传递性得到的相似三角形。
【难度系数】
0.7
6.如图,AB是斜靠在墙上的长梯,梯脚B距墙脚1.6m,梯上点D距墙1.4m,BD长0.55m,则梯子的长为(
A.3.85m
B.4.00m
C.4.40m
D.4.50m
C
)A.3.85m
B.4.00m
C.4.40m
D.4.50m
答案
6. C
解析
【分析】
观察图形可知，DE、BC均垂直于墙面AC，因此DE//BC，可推出△ADE与△ABC相似。根据相似三角形对应边成比例的性质，我们可以设梯子长为未知数，代入已知线段长度列方程求解即可。解题时要注意找准对应边：AD对应AB，DE对应BC，避免对应关系出错。
【解析】
解：
∵DE⊥AC，BC⊥AC
∴DE//BC
∴△ADE∽△ABC
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$
设梯子AB的长为$x$ m，则AD = AB - BD = $x - 0.55$ m
已知BC=1.6m，DE=1.4m，BD=0.55m，代入比例式得：
$\frac{x - 0.55}{x}=\frac{1.4}{1.6}$
交叉相乘得：$1.6(x - 0.55) = 1.4x$
展开得：$1.6x - 0.88 = 1.4x$
移项合并得：$0.2x = 0.88$
解得：$x = 4.40$
即梯子的长为4.40m。
【答案】C
【知识点】相似三角形判定；相似三角形性质；比例计算
【点评】本题是相似三角形在实际生活中的应用题型，解题核心是通过平行关系判定相似三角形，再利用对应边成比例建立方程求解，掌握相似三角形的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
观察图形可知，DE、BC均垂直于墙面AC，因此DE//BC，可推出△ADE与△ABC相似。根据相似三角形对应边成比例的性质，我们可以设梯子长为未知数，代入已知线段长度列方程求解即可。解题时要注意找准对应边：AD对应AB，DE对应BC，避免对应关系出错。
【解析】
解：
∵DE⊥AC，BC⊥AC
∴DE//BC
∴△ADE∽△ABC
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$
设梯子AB的长为$x$ m，则AD = AB - BD = $x - 0.55$ m
已知BC=1.6m，DE=1.4m，BD=0.55m，代入比例式得：
$\frac{x - 0.55}{x}=\frac{1.4}{1.6}$
交叉相乘得：$1.6(x - 0.55) = 1.4x$
展开得：$1.6x - 0.88 = 1.4x$
移项合并得：$0.2x = 0.88$
解得：$x = 4.40$
即梯子的长为4.40m。
【答案】C
【知识点】相似三角形判定；相似三角形性质；比例计算
【点评】本题是相似三角形在实际生活中的应用题型，解题核心是通过平行关系判定相似三角形，再利用对应边成比例建立方程求解，掌握相似三角形的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
